Výsledný moment síl rotačného pohybu. I.4.2 základný zákon dynamiky rotačného pohybu. Vzťah medzi veličinami charakterizujúcimi translačný a rotačný pohyb

Po zvážení translačných a rotačných pohybov môžeme medzi nimi vytvoriť analógiu. Kinematika translačného pohybu využíva dráhu s, rýchlosť  a zrýchlenie A. Ich úlohu v rotačnom pohybe zohrávajú uhol natočenia , uhlová rýchlosť  a uhlové zrýchlenie ε. V dynamike translačného pohybu sa používajú pojmy sila a hmotnosť T a hybnosť Pri rotačnom pohybe zohráva úlohu sily moment
sily, úloha hmoty – moment zotrvačnosti ja z a úloha hybnosti – moment hybnosti Keď poznáme vzorce pre translačný pohyb, je ľahké zapísať vzorce pre rotačný pohyb. Napríklad pri rovnomernom pohybe sa prejdená vzdialenosť vypočíta podľa vzorca: s =  t, a s uhlom natočenia - podľa vzorca  =  t. Druhý Newtonov zákon
A
a základný zákon dynamiky rotačného pohybu je
A
Počas translačného pohybu sa hybnosť telesa rovná
a pri rotačnom pohybe je moment hybnosti
V tejto analógii možno pokračovať ďalej.

Práca sily počas translačného pohybu. Moc

Nechajte teleso (hmotný bod) pôsobením konštantnej sily , zviera konštantný uhol so smerom pohybu, pohybuje sa priamočiaro v určitej referenčnej sústave a prechádza dráhou l. Potom, ako je známe zo školského kurzu fyziky, práca A túto silu nájdeme podľa vzorca:

A= Fl· pretože  = F l l, (1)

Uvažujme teraz o všeobecnom prípade výpočtu práce, keď sa teleso pohybuje translačne po zakrivenej dráhe pod vplyvom premenlivej sily. Na ceste l vyberte základnú sekciu dl, v rámci ktorej možno uvažovať o sile a uhol  sú konštantné hodnoty a samotný rez je priamočiary. Potom pracujte dA v tejto časti nájdeme pomocou vzorca (1): dA = F· dl· čos. Job A pozdĺž celej cesty sa rovná súčtu práce dA, t.j.

(2)

Ikona l s integrálnou znamená, že integrácia sa vykonáva pozdĺž celej cesty l.

Vzorec (2) môže mať iný tvar, ak použijeme skalárny súčin vektorov. Potom integrand dA bude napísané v tvare: dA = F· dl· cos=
Kde je vektor elementárneho posunutia a

(3)

Zo vzorca (1) je zrejmé, že práca je algebraická veličina. Znak diela závisí od uhla . Ak je uhol  ostrý, potom cos  > 0 a práca je kladná, ale ak je uhol  tupý, práca je záporná.

Jednotkou práce v SI je joule (J). Zavádza sa zo vzorca (1), v ktorom sa predpokladá cos  = 1. 1 J je práca vykonaná silou 1 N na dráhe 1 m za predpokladu, že smery sily a posunu sa zhodujú.

Na charakterizáciu rýchlosti práce sa zavádza pojem výkonu, ktorý sa rovná práci vykonanej za jednotku času. Ak elementárne časové obdobie dt základná práca je vykonaná dA, potom sila R rovná

(4)

V jednotkách SI sa výkon meria vo wattoch (W). Ako vyplýva z (4), 1 W = 1 J / 1 s, t.j. 1 W- Toto je výkon, pri ktorom sa vykoná 1 J práce za 1 s.

Práca sily pri rotačnom pohybe

Uvažujme tuhé teleso, ktoré pod vplyvom premenlivej sily otáča sa okolo osi z v určitom uhle. Táto sila vytvára krútiaci moment M z, otáčanie tela. Sila smeruje tangenciálne ku kružnici, po ktorej sa pohybuje bod pôsobenia sily. Preto uhol = 0. Ak to vezmeme do úvahy, analogicky so vzorcom pre mechanickú prácu (pozri (2)), nájdeme výraz, ktorým sa vypočíta práca pri rotačnom pohybe:

(5)

Práca bude kladná, ak sa smer tangenciálnej zložky sily zhoduje so smerom otáčania, a záporná, ak sú v opačnom smere.

Tento článok popisuje dôležitú časť fyziky - „Kinematika a dynamika rotačného pohybu“.

Základné pojmy kinematiky rotačného pohybu

Rotačný pohyb hmotného bodu okolo pevnej osi sa nazýva taký pohyb, ktorého trajektóriou je kružnica ležiaca v rovine kolmej na os a jej stred leží na osi otáčania.

Rotačný pohyb tuhého telesa je pohyb, pri ktorom sa všetky body telesa pohybujú po sústredných (ktorých stredy ležia na rovnakej osi) kružniciach v súlade s pravidlom pre rotačný pohyb hmotného bodu.

Nech sa ľubovoľné tuhé teleso T otáča okolo osi O, ktorá je kolmá na rovinu výkresu. Vyberme na tomto telese bod M. Pri otočení bude tento bod opisovať kružnicu s polomerom okolo osi O r.

Po určitom čase sa polomer otočí vzhľadom na svoju pôvodnú polohu o uhol Δφ.

Smer pravej skrutky (v smere hodinových ručičiek) sa považuje za kladný smer otáčania. Zmena uhla natočenia v priebehu času sa nazýva rovnica rotačného pohybu tuhého telesa:

φ = φ(t).

Ak sa φ meria v radiánoch (1 rad je uhol zodpovedajúci oblúku dĺžky rovnajúcej sa jeho polomeru), potom dĺžka kruhového oblúka ΔS, ktorým hmotný bod M prejde za čas Δt, sa rovná:

ΔS = Δφr.

Základné prvky kinematiky rovnomerného rotačného pohybu

Miera pohybu hmotného bodu počas krátkeho časového obdobia dt slúži ako elementárny vektor rotácie dφ.

Uhlová rýchlosť hmotného bodu alebo telesa je fyzikálna veličina, ktorá je určená pomerom vektora elementárnej rotácie k dobe trvania tejto rotácie. Smer vektora možno určiť pravidlom pravej skrutky pozdĺž osi O. V skalárnej forme:

ω = dφ/dt.

Ak ω = dφ/dt = konšt., potom sa takýto pohyb nazýva rovnomerný rotačný pohyb. S ním je uhlová rýchlosť určená vzorcom

ω = φ/t.

Podľa predbežného vzorca rozmer uhlovej rýchlosti

[co] = 1 rad/s.

Rovnomerný rotačný pohyb telesa možno opísať periódou rotácie. Perióda rotácie T je fyzikálna veličina, ktorá určuje čas, počas ktorého teleso vykoná jednu úplnú otáčku okolo osi rotácie ([T] = 1 s). Ak vo vzorci pre uhlovú rýchlosť vezmeme t = T, φ = 2 π (jedna celá otáčka polomeru r), potom

ω = 2π/T,

Preto definujeme obdobie rotácie takto:

T = 2π/ω.

Počet otáčok, ktoré teleso vykoná za jednotku času, sa nazýva frekvencia otáčania ν, ktorá sa rovná:

v = 1/T.

Jednotky frekvencie: [v] = 1/s = 1 s-1 = 1 Hz.

Porovnaním vzorcov pre uhlovú rýchlosť a frekvenciu otáčania dostaneme výraz spájajúci tieto veličiny:

ω = 2πν.

Základné prvky kinematiky nerovnomerného rotačného pohybu

Nerovnomerný rotačný pohyb tuhého telesa alebo hmotného bodu okolo pevnej osi je charakterizovaný jeho uhlovou rýchlosťou, ktorá sa mení s časom.

Vektor ε , charakterizujúci rýchlosť zmeny uhlovej rýchlosti, sa nazýva vektor uhlového zrýchlenia:

ε = dω/dt.

Ak sa teleso otáča, zrýchľuje, tzn dω/dt > 0, vektor má smer pozdĺž osi v rovnakom smere ako ω.

Ak je rotačný pohyb pomalý - dω/dt< 0 , potom vektory ε a ω smerujú opačne.

Komentujte. Pri nerovnomernom rotačnom pohybe sa vektor ω môže meniť nielen vo veľkosti, ale aj v smere (pri rotácii osi rotácie).

Vzťah medzi veličinami charakterizujúcimi translačný a rotačný pohyb

Je známe, že dĺžka oblúka s uhlom natočenia polomeru a jeho hodnota sú spojené vzťahom

ΔS = Δφ r.

Potom lineárna rýchlosť bodu materiálu vykonávajúceho rotačný pohyb

υ = ΔS/Δt = Δφr/Δt = ωr.

Normálne zrýchlenie hmotného bodu, ktorý vykonáva rotačný translačný pohyb, je definované takto:

a = υ2/r = ω2r2/r.

Takže v skalárnej forme

a = ω 2 r.

Tangenciálny zrýchlený materiálový bod, ktorý vykonáva rotačný pohyb

a = ε r.

Hybnosť hmotného bodu

Vektorový súčin polomerového vektora trajektórie hmotného bodu o hmotnosti m i a jeho hybnosti sa nazýva moment hybnosti tohto bodu okolo osi otáčania. Smer vektora možno určiť pomocou pravého skrutkového pravidla.

Hybnosť hmotného bodu ( L i) smeruje kolmo na rovinu vedenú cez r i a υ i a tvorí s nimi pravostrannú trojicu vektorov (to znamená pri pohybe od konca vektora RI Komu υ i pravá skrutka ukáže smer vektora L i).

V skalárnej forme

L = m i υ i r i sin(υ i, r i).

Ak vezmeme do úvahy, že pri pohybe po kruhu sú vektor polomeru a vektor lineárnej rýchlosti pre i-tý hmotný bod navzájom kolmé,

sin(υ i, r i) = 1.

Takže moment hybnosti hmotného bodu pre rotačný pohyb bude mať tvar

L = m i υ i r i.

Moment sily, ktorý pôsobí na i-tý hmotný bod

Vektorový súčin vektora polomeru, ktorý sa ťahá do bodu pôsobenia sily a tejto sily sa nazýva moment sily pôsobiaci na i-tý hmotný bod vzhľadom na os otáčania.

V skalárnej forme

Mi = r i F i sin(ri, F i).

Zvažujem to r i sinα = l i ,Mi = l i F i.

Rozsah l i, ktorá sa rovná dĺžke kolmice spustenej z bodu otáčania do smeru pôsobenia sily, sa nazýva rameno sily F i.

Dynamika rotačného pohybu

Rovnica pre dynamiku rotačného pohybu je napísaná takto:

M = dl/dt.

Formulácia zákona je nasledovná: rýchlosť zmeny momentu hybnosti telesa, ktoré sa otáča okolo pevnej osi, sa rovná výslednému momentu vzhľadom na túto os všetkých vonkajších síl pôsobiacich na teleso.

Moment impulzu a moment zotrvačnosti

Je známe, že pre i-tý hmotný bod je moment hybnosti v skalárnom tvare daný vzorcom

L i = m i υ i r i.

Ak namiesto lineárnej rýchlosti nahradíme jej vyjadrenie uhlovou rýchlosťou:

υ i = ωr i,

potom výraz pre moment hybnosti nadobudne tvar

L i = m i r i 2 ω.

Rozsah I i = m i r i 2 sa nazýva moment zotrvačnosti vzhľadom na os i-tého hmotného bodu absolútne tuhého telesa prechádzajúceho jeho ťažiskom. Potom zapíšeme moment hybnosti hmotného bodu:

L i = I i ω.

Moment hybnosti absolútne tuhého telesa zapíšeme ako súčet momentov hybnosti hmotných bodov, ktoré tvoria toto teleso:

L = Iω.

Moment sily a moment zotrvačnosti

Zákon o rotačnom pohybe hovorí:

M = dl/dt.

Je známe, že moment hybnosti telesa možno znázorniť prostredníctvom momentu zotrvačnosti:

L = Iω.

M = Idco/dt.

Vzhľadom na to, že uhlové zrýchlenie je určené výrazom

ε = dω/dt,

získame vzorec pre moment sily reprezentovaný momentom zotrvačnosti:

M = Ie.

Komentujte. Moment sily sa považuje za pozitívny, ak je uhlové zrýchlenie, ktoré ho spôsobuje, väčšie ako nula a naopak.

Steinerova veta. Zákon sčítania momentov zotrvačnosti

Ak os rotácie telesa neprechádza jeho ťažiskom, potom vo vzťahu k tejto osi možno nájsť jeho moment zotrvačnosti pomocou Steinerovej vety:
I = I 0 + ma 2,

Kde ja 0- počiatočný moment zotrvačnosti tela; m- telesná hmotnosť; a- vzdialenosť medzi nápravami.

Ak sa systém, ktorý sa otáča okolo pevnej osi, skladá z n telies, potom sa celkový moment zotrvačnosti tohto typu sústavy bude rovnať súčtu momentov jej zložiek (zákon sčítania momentov zotrvačnosti).

Najlepšia definícia krútiaceho momentu je tendencia sily otáčať objekt okolo osi, otočného bodu alebo otočného bodu. Krútiaci moment možno vypočítať pomocou ramena sily a momentu (kolmá vzdialenosť od osi k pôsobeniu sily), alebo pomocou momentu zotrvačnosti a uhlového zrýchlenia.

Kroky

Použitie sily a momentovej páky

Určte sily pôsobiace na teleso a zodpovedajúce momenty. Ak sila nie je kolmá na príslušné rameno momentu (t. j. pôsobí pod uhlom), možno budete musieť nájsť jej zložky pomocou goniometrických funkcií, ako je sínus alebo kosínus.
- Uvažovaná zložka sily bude závisieť od ekvivalentu kolmej sily.
- Predstavte si vodorovnú tyč, na ktorú je potrebné pôsobiť silou 10 N pod uhlom 30° nad vodorovnou rovinou, aby sa otočila okolo jej stredu.
- Keďže musíte použiť silu, ktorá nie je kolmá na rameno momentu, na otáčanie tyče potrebujete vertikálnu zložku sily.
- Preto je potrebné zvážiť zložku y alebo použiť F = 10sin30° N.
Použite momentovú rovnicu τ = Fr a jednoducho nahraďte premenné danými alebo prijatými údajmi.
- Jednoduchý príklad: Predstavte si dieťa s hmotnosťou 30 kg, ktoré sedí na jednom konci hojdacej dosky. Dĺžka jednej strany hojdačky je 1,5 m.
- Keďže os otáčania hojdačky je v strede, nemusíte dĺžku násobiť.
- Musíte určiť silu vyvíjanú dieťaťom pomocou hmotnosti a zrýchlenia.
- Keďže hmotnosť je daná, musíte ju vynásobiť gravitačným zrýchlením g, ktoré sa rovná 9,81 m/s 2 . Preto:
- Teraz máte všetky potrebné údaje na použitie momentovej rovnice:
Použite znamienka (plus alebo mínus) na zobrazenie smeru momentu. Ak sila otáča telo v smere hodinových ručičiek, potom je moment záporný. Ak sila otáča telo proti smeru hodinových ručičiek, potom je moment kladný.
- V prípade viacerých aplikovaných síl jednoducho spočítajte všetky momenty v tele.
- Keďže každá sila má tendenciu spôsobovať rôzne smery otáčania, je dôležité používať značku otáčania na sledovanie smeru každej sily.
- Napríklad dve sily pôsobili na ráfik kolesa s priemerom 0,050 m, F1 = 10,0 N, smeroval v smere hodinových ručičiek, a F2 = 9,0 N, smeroval proti smeru hodinových ručičiek.
- Keďže toto teleso je kruh, pevnou osou je jeho stred. Musíte rozdeliť priemer a získať polomer. Veľkosť polomeru bude slúžiť ako momentové rameno. Preto je polomer 0,025 m.
- Pre prehľadnosť môžeme pre každý z momentov vznikajúcich z príslušnej sily riešiť samostatné rovnice.
- Pre silu 1 je akcia nasmerovaná v smere hodinových ručičiek, preto je moment jej vytvorenia záporný:
- Pre silu 2 je akcia nasmerovaná proti smeru hodinových ručičiek, preto je moment, keď sa vytvorí, pozitívny:
- Teraz môžeme sčítať všetky momenty, aby sme dostali výsledný krútiaci moment:
Použitie momentu zotrvačnosti a uhlového zrýchlenia
1. Ak chcete začať riešiť problém, pochopte, ako funguje moment zotrvačnosti tela. Moment zotrvačnosti telesa je odpor telesa voči rotačnému pohybu. Moment zotrvačnosti závisí od hmotnosti a od charakteru jej rozloženia.
  - Aby ste to jasne pochopili, predstavte si dva valce rovnakého priemeru, ale rôznej hmotnosti.
  - Predstavte si, že potrebujete otáčať oba valce okolo ich stredovej osi.
  - Je zrejmé, že valec s väčšou hmotnosťou sa bude otáčať ťažšie ako iný valec, pretože je „ťažší“.
  - Teraz si predstavte dva valce rôznych priemerov, ale rovnakej hmotnosti. Aby vyzerali ako valcové a mali rôzne hmotnosti, ale zároveň mali rôzne priemery, tvar alebo rozloženie hmoty oboch valcov musí byť odlišné.
  - Valec s väčším priemerom bude vyzerať ako plochá, zaoblená doska, zatiaľ čo menší valec bude vyzerať ako pevná hadica z látky.
  - Valec s väčším priemerom sa bude otáčať ťažšie, pretože na prekonanie dlhšieho momentového ramena musíte vyvinúť väčšiu silu.
2. Vyberte rovnicu, ktorú použijete na výpočet momentu zotrvačnosti. Na tento účel sa dá použiť niekoľko rovníc.
  - Prvá rovnica je najjednoduchšia: súčet hmotností a momentových ramien všetkých častíc.
  - Táto rovnica sa používa pre hmotné body alebo častice. Ideálna častica je teleso, ktoré má hmotnosť, ale nezaberá priestor.
  - Inými slovami, jedinou významnou charakteristikou tohto tela je hmotnosť; nepotrebujete poznať jeho veľkosť, tvar ani štruktúru.
  - Myšlienka materiálovej častice je vo fyzike široko používaná na zjednodušenie výpočtov a využitie ideálnych a teoretických schém.
  - Teraz si predstavte objekt ako dutý valec alebo pevná homogénna guľa. Tieto objekty majú jasný a definovaný tvar, veľkosť a štruktúru.
  - Preto ich nemôžete považovať za materiálny bod.
  - Našťastie môžete použiť vzorce, ktoré sa vzťahujú na niektoré bežné objekty:
3. Nájdite moment zotrvačnosti. Ak chcete začať počítať krútiaci moment, musíte nájsť moment zotrvačnosti. Ako pomôcku použite nasledujúci príklad:
  - Dve malé „závažia“ s hmotnosťou 5,0 kg a 7,0 kg sú namontované vo vzdialenosti 4,0 m od seba na ľahkej tyči (ktorej hmotnosť možno zanedbať). Os otáčania je v strede tyče. Tyč sa roztočí z pokoja na uhlovú rýchlosť 30,0 rad/s za 3,00 s. Vypočítajte vytvorený krútiaci moment.
  - Keďže os otáčania je v strede tyče, momentové rameno oboch zaťažení sa rovná polovici jej dĺžky, t.j. 2,0 m.
  - Keďže tvar, veľkosť a štruktúra „zaťažení“ nie sú špecifikované, môžeme predpokladať, že ide o častice materiálu.
  - Moment zotrvačnosti možno vypočítať takto:
4. Nájdite uhlové zrýchlenie α. Na výpočet uhlového zrýchlenia môžete použiť vzorec α= at/r.
  - Prvý vzorec, α= at/r, možno použiť, keď je dané tangenciálne zrýchlenie a polomer.
  - Tangenciálne zrýchlenie je zrýchlenie smerované tangenciálne k smeru pohybu.
  - Predstavte si, že sa objekt pohybuje po zakrivenej dráhe. Tangenciálne zrýchlenie je jednoducho jeho lineárne zrýchlenie v akomkoľvek bode pozdĺž celej dráhy.
  - V prípade druhého vzorca je najjednoduchšie ho ilustrovať spojením s pojmami z kinematiky: posun, lineárna rýchlosť a lineárne zrýchlenie.
  - Posun je vzdialenosť, ktorú prejde objekt (jednotka SI sú metre, m); lineárna rýchlosť je indikátorom zmeny posunu za jednotku času (jednotka SI - m/s); lineárne zrýchlenie je ukazovateľom zmeny lineárnej rýchlosti za jednotku času (jednotka SI - m/s 2).
  - Teraz sa pozrime na analógy týchto veličín v rotačnom pohybe: uhlové posunutie, θ - uhol natočenia určitého bodu alebo segmentu (jednotka SI - rad); uhlová rýchlosť, ω – zmena uhlového posunu za jednotku času (jednotka SI – rad/s); a uhlové zrýchlenie, α – zmena uhlovej rýchlosti za jednotku času (jednotka SI – rad/s 2).
  - Keď sa vrátime k nášmu príkladu, dostali sme údaje pre uhlovú hybnosť a čas. Keďže rotácia začala z pokoja, počiatočná uhlová rýchlosť je 0. Pomocou rovnice môžeme nájsť:
5. Na zistenie krútiaceho momentu použite rovnicu τ = Iα. Jednoducho nahraďte premenné odpoveďami získanými v predchádzajúcich krokoch.
  - Môžete si všimnúť, že jednotka "rad" sa nezmestí do našich meracích jednotiek, pretože sa považuje za bezrozmernú veličinu.
  - To znamená, že ho môžete ignorovať a pokračovať vo výpočtoch.
  - Na analýzu jednotiek merania môžeme vyjadriť uhlové zrýchlenie v s -2 .
- V prvej metóde, ak je teleso kruh a jeho os otáčania je v strede, potom nie je potrebné počítať zložky sily (za predpokladu, že sila nepôsobí pod uhlom), pretože sila leží na dotyčnici ku kružnici, t.j. kolmo na rameno momentu.
- Ak je pre vás ťažké predstaviť si, ako dochádza k rotácii, vezmite si pero a skúste úlohu zopakovať. Pre presnejšiu reprodukciu nezabudnite skopírovať polohu osi otáčania a smer aplikovanej sily.

Dynamika rotačného pohybu tuhého telesa.

Moment zotrvačnosti.

Moment sily. Základná rovnica dynamiky rotačného pohybu.

Moment impulzu.

Moment zotrvačnosti.

(Zvážte experiment s rolovacími valcami.)

Pri uvažovaní o rotačnom pohybe je potrebné zaviesť nové fyzikálne pojmy: moment zotrvačnosti, moment sily, moment impulzu.

Moment zotrvačnosti je miera zotrvačnosti telesa počas rotačného pohybu telesa okolo pevnej osi.

Moment zotrvačnosti hmotného bodu vzhľadom na pevnú os otáčania sa rovná súčinu jeho hmotnosti so štvorcom vzdialenosti od uvažovanej osi otáčania (obr. 1):

Závisí len od hmotnosti hmotného bodu a jeho polohy vzhľadom na os rotácie a nezávisí od samotnej prítomnosti rotácie.

Moment zotrvačnosti - skalárne a aditívne množstvo

Moment zotrvačnosti telesa sa rovná súčtu momentov zotrvačnosti všetkých jeho bodov

V prípade spojitého rozdelenia hmoty sa tento súčet redukuje na integrál:

kde je hmotnosť malého objemu telesa, je hustota telesa, je vzdialenosť od prvku k osi otáčania.

Moment zotrvačnosti je analógom hmoty počas rotačného pohybu. Čím väčší je moment zotrvačnosti telesa, tým ťažšie je meniť uhlovú rýchlosť rotujúceho telesa. Moment zotrvačnosti má zmysel len pre danú polohu osi otáčania.

Nemá zmysel hovoriť jednoducho o „momente zotrvačnosti“. Záleží:

1) z polohy osi otáčania;

2) z rozloženia telesnej hmoty vzhľadom na os rotácie, t.j. na tvare tela a jeho veľkosti.

Experimentálnym dôkazom toho je experiment s valcovacími valcami.

Integráciou pre niektoré homogénne telesá môžeme získať nasledujúce vzorce (os rotácie prechádza ťažiskom telesa):

Moment zotrvačnosti obruče (hrúbku steny zanedbávame) alebo dutého valca:

Moment zotrvačnosti disku alebo plného valca s polomerom R:

Kde .

Moment zotrvačnosti lopty

Moment zotrvačnosti tyče

E Ak je pre teleso známy moment zotrvačnosti okolo osi prechádzajúcej cez ťažisko, potom moment zotrvačnosti okolo ktorejkoľvek osi rovnobežnej s prvou sa zistí podľa Steinerova veta: moment zotrvačnosti telesa voči ľubovoľnej osi sa rovná momentu zotrvačnosti J 0 voči osi rovnobežnej s danou a prechádzajúcej ťažiskom telesa, pripočítaný k súčinu hmotnosti telesa a štvorec vzdialenosti medzi osami.

Kde d vzdialenosť od ťažiska k osi rotácie.

Ťažisko je pomyselný bod, ktorého poloha charakterizuje rozloženie hmotnosti daného telesa. Ťažisko telesa sa pohybuje rovnako, ako by sa pohyboval hmotný bod rovnakej hmotnosti pod vplyvom všetkých vonkajších síl pôsobiacich na dané teleso.

Pojem moment zotrvačnosti zaviedol do mechaniky domáci vedec L. Euler v polovici 18. storočia a odvtedy je široko používaný pri riešení mnohých problémov dynamiky tuhého telesa. Hodnota momentu zotrvačnosti musí byť v praxi známa pri výpočte rôznych rotačných komponentov a systémov (zotrvačníky, turbíny, rotory elektromotorov, gyroskopy). Moment zotrvačnosti je zahrnutý v pohybových rovniciach telesa (loď, lietadlo, projektil atď.). Zisťuje sa, keď niekto chce poznať parametre rotačného pohybu lietadla okolo ťažiska pod vplyvom vonkajšej poruchy (náryv vetra a pod.). Pre telesá s premenlivou hmotnosťou (raketa) sa hmotnosť a moment zotrvačnosti v čase menia.

2 .Moment sily.

Rovnaká sila môže rotujúcemu telesu udeliť rôzne uhlové zrýchlenia v závislosti od jeho smeru a bodu pôsobenia. Na charakterizáciu rotačného pôsobenia sily sa zavádza pojem moment sily.

Rozlišuje sa moment sily okolo pevného bodu a okolo pevnej osi. Moment sily vzhľadom na bod O (pól) je vektorová veličina rovnajúca sa vektorovému súčinu vektora polomeru nakresleného z bodu O do bodu pôsobenia sily vektorom sily:

Obr vysvetľujúci túto definíciu. 3 je urobený za predpokladu, že bod O a vektor ležia v rovine kresby, potom sa v tejto rovine nachádza aj vektor a vektor  k nemu smeruje preč od nás (ako vektorový súčin 2 vektorov; podľa správneho gimletového pravidla).

Modul momentu sily sa číselne rovná súčinu sily ramena:

kde je rameno sily vzhľadom na bod O,  je uhol medzi smermi a, .

Rameno - najkratšia vzdialenosť od stredu otáčania k línii pôsobenia sily.

Vektor momentu sily je spolusmerovaný s translačným pohybom pravého krídlu, ak sa jeho rukoväť otáča v smere rotačného pôsobenia sily. Moment sily je axiálny (voľný) vektor, je nasmerovaný pozdĺž osi otáčania, nie je spojený s konkrétnou líniou pôsobenia, možno ho preniesť na

priestor paralelný sám so sebou.

Moment sily vzhľadom na stacionárnu os Z je priemet vektora na túto os (prechádzajúci bodom O).

E Ak na teleso pôsobí viacero síl, tak výsledný moment síl voči pevnej osi Z sa rovná algebraickému súčtu momentov všetkých síl pôsobiacich na teleso voči tejto osi.

Ak sila pôsobiaca na teleso neleží v rovine rotácie, možno ju rozložiť na 2 zložky: ležiace v rovine rotácie a  k nej F n. Ako je zrejmé z obrázku 4, Fn nevytvára rotáciu, ale vedie iba k deformácii tela; rotácia telesa je spôsobená len zložkou F .

Rotujúce teleso môže byť reprezentované ako súbor hmotných bodov.

IN vyberme si ľubovoľne nejaký bod s hmotnosťou m i, na ktorý pôsobí sila udeľujúca zrýchlenie bodu (obr. 5). Keďže rotácia vytvára iba tangenciálnu zložku, je nasmerovaná kolmo na os rotácie, aby sa zjednodušilo odvodenie.

V tomto prípade

Podľa druhého Newtonovho zákona: . Vynásobte obe strany rovnosti číslom r i ;

kde je moment sily pôsobiaci na hmotný bod,

Moment zotrvačnosti hmotného bodu.

Preto, .

Pre celé telo: ,

tie. uhlové zrýchlenie telesa je priamo úmerné momentu vonkajších síl, ktoré naň pôsobia, a nepriamo úmerné jeho momentu zotrvačnosti. Rovnica

(1) je rovnica pre dynamiku rotačného pohybu tuhého telesa vo vzťahu k pevnej osi alebo druhý Newtonov zákon pre rotačný pohyb.

3 . Moment impulzu.

Pri porovnaní zákonov rotačného a translačného pohybu vidíme analógiu.

Analógom impulzu je moment hybnosti. Pojem moment hybnosti možno zaviesť aj vo vzťahu k pevnému bodu a relatívnej k pevnej osi, ale vo väčšine prípadov ho možno definovať nasledovne. Ak sa hmotný bod otáča okolo pevnej osi, potom sa jeho moment hybnosti vzhľadom na túto os rovná veľkosti

Kde m i- hmotnosť hmotného bodu,

 i - jeho lineárna rýchlosť

r i- vzdialenosť k osi otáčania.

Pretože pre rotačný pohyb

kde je moment zotrvačnosti hmotného bodu vzhľadom na túto os.

Moment hybnosti tuhého telesa vzhľadom na pevnú os sa rovná súčtu uhlových impulzov všetkých jeho bodov vzhľadom na túto os:

G de je moment zotrvačnosti telesa.

Moment hybnosti tuhého telesa vzhľadom na pevnú os otáčania sa teda rovná súčinu jeho momentu zotrvačnosti vzhľadom na túto os a uhlovej rýchlosti a je spolusmerovaný s vektorom uhlovej rýchlosti.

Rozlišujme rovnicu (2) vzhľadom na čas:

Rovnica (3) je ďalšou formou základnej rovnice pre dynamiku rotačného pohybu tuhého telesa vzhľadom na pevnú os: derivácia momentu

hybnosť tuhého telesa voči pevnej osi otáčania sa rovná momentu vonkajších síl voči tej istej osi

Táto rovnica je jednou z najdôležitejších rovníc dynamiky rakiet. Pri pohybe rakety sa neustále mení poloha jej ťažiska, v dôsledku čoho vznikajú rôzne momenty síl: odpor, aerodynamická sila, sily vytvárané výškovkou. Rovnica rotačného pohybu rakety pod vplyvom všetkých na ňu pôsobiacich momentov sily spolu s pohybovými rovnicami ťažiska rakety a kinematickými rovnicami so známymi počiatočnými podmienkami umožňujú určiť polohu rakety vo vesmíre kedykoľvek.

Táto téma bude venovaná úvahe o špeciálnom druhu sily - zotrvačných silách. Zvláštnosť týchto síl je nasledovná. Všetky mechanické sily – či už gravitačné, elastické alebo trecie sily – vznikajú, keď je teleso ovplyvňované inými telesami. Pri zotrvačných silách je situácia iná.

Najprv si pripomeňme, čo je to zotrvačnosť. Zotrvačnosť je fyzikálny jav spočívajúci v tom, že teleso sa vždy snaží udržať svoju pôvodnú rýchlosť. A zotrvačné sily vznikajú pri zmene rýchlosti telesa – t.j. objaví sa zrýchlenie. V závislosti od pohybu, ktorého sa telo zúčastňuje, zažíva jedno alebo druhé zrýchlenie a vytvára jednu alebo druhú zotrvačnú silu. Všetky tieto sily sú však spojené rovnakým vzorom: sila zotrvačnosti je vždy smerovaná opačne ako zrýchlenie, ktoré ju vytvorilo.

Svojím charakterom sa zotrvačné sily líšia od iných mechanických síl. Všetky ostatné mechanické sily vznikajú v dôsledku pôsobenia jedného telesa na druhé. Pričom zotrvačné sily sú spôsobené vlastnosťami mechanického pohybu telesa. Mimochodom, v závislosti od pohybu, do ktorého je telo zapojené, vzniká jedna alebo druhá zotrvačná sila:

Pohyb môže byť priamočiary a potom sa začne rozhovor o sile zotrvačnosti translačného pohybu;

Pohyb môže byť krivočiary a potom bude o odstredivej sile zotrvačnosti;

Nakoniec, pohyb môže byť priamočiary aj krivočiary (ak sa telo pohybuje v rotačnom systéme alebo sa pohybuje pri otáčaní) a potom budeme hovoriť o Coriolisovej sile.

Pozrime sa podrobnejšie na typy zotrvačných síl a podmienky ich výskytu.

1. SILA ZOTRVAČNÉHO POHYBU VPREDU i . Vyskytuje sa, keď sa telo pohybuje po priamej dráhe. S pôsobením tejto sily sa neustále stretávame vo vozidlách pohybujúcich sa po rovnej ceste, pri brzdení a pri akcelerácii. Pri brzdení nás vrhne dopredu, pretože... rýchlosť pohybu prudko klesá a naše telo sa snaží udržať rýchlosť, ktorú malo. Pri naberaní rýchlosti sme z rovnakého dôvodu tlačení do operadla sedadla. Na obr. 2.1

Znázornené sú smery zrýchlenia a zotrvačnej sily translačného pohybu v prípade poklesu rýchlosti: zrýchlenie smeruje opačne k pohybu a zotrvačná sila je nasmerovaná opačne k zrýchleniu. Vzorec zotrvačnej sily je daný druhým Newtonovým zákonom: . Znamienko mínus je spôsobené tým, že vektory a majú opačné smery. Číselná hodnota (modul) tejto sily sa zodpovedajúcim spôsobom vypočíta podľa vzorca:

F = ma (3.1)

2. ODSTREDOVÁ SILA ZOTRVAČNOSTI i . Aby ste pochopili, ako táto sila vzniká, zvážte obr. 3.2, ktorý zobrazuje kotúč otáčajúci sa v horizontálnej rovine s guľou pripevnenou k stredu kotúča pomocou ťahového spojenia (napríklad elastického pásu). Keď sa disk začne otáčať, guľa má tendenciu sa vzďaľovať

stred a utiahne elastický pás. Navyše, čím rýchlejšie sa disk otáča, tým ďalej sa guľa vzďaľuje od stredu disku. Tento pohyb gule po rovine disku je spôsobený pôsobením sily tzv odstredivá sila zotrvačnosti (F cb) . teda odstredivá sila vzniká pri otáčaní a smeruje pozdĺž polomeru od stredu otáčania.F cb je sila zotrvačnosti, čo znamená, že jej výskyt je spôsobený prítomnosťou zrýchlenia, ktoré musí smerovať opačne k tejto sile. Ak odstredivá sila smeruje zo stredu, potom je zrejmé, že príčinou tejto sily je normálne (dostredivé) zrýchlenie a n , pretože je to práve ona, ktorá smeruje k stredu otáčania (pozri tému 1, §1.2, odsek 3). Na základe toho získame vzorec pre odstredivú silu. Podľa druhého Newtonovho zákona F=ma , Kde m - telesná hmotnosť. Potom platí vzťah pre odstredivú silu zotrvačnosti:

F cb = ma n.

Ak vezmeme do úvahy (1.18) a (1.19), dostaneme:

(3.2) a F cb = mω 2 r (3.3).

3. CORIOLISOVÁ SILA F K . Keď sa skombinujú dva typy pohybu: rotačný a translačný, objaví sa ďalšia sila, nazývaná Coriolisova sila (alebo Coriolisova sila). pomenované po francúzskom mechanikovi Gustavovi Gaspardovi Coriolisovi (1792-1843), ktorý túto silu vypočítal.

Vzhľad Coriolisovej sily možno zistiť v príklade experimentu znázornenom na obr. 3.3. Zobrazuje disk otáčajúci sa v horizontále

Ryža. 3.3 pohľad zhora

lietadlo. Nakreslíme na kotúč radiálnu čiaru OA a vypustíme guľu v smere z O do A rýchlosťou v. Ak sa disk neotáča, guľa sa bude kotúľať po priamke, ktorú sme nakreslili. Ak sa kotúč otočí v smere označenom šípkou, gulička sa bude kotúľať pozdĺž krivky OB znázornenej bodkovanou čiarou a jej rýchlosť υ zmení svoj smer (pozri obr. 3.3 (b)). V dôsledku toho sa loptička vzhľadom na rotujúcu vzťažnú sústavu (a v tomto prípade je to kotúč) správa tak, ako keby na ňu pôsobila určitá sila kolmá na rýchlosť v. Toto je Coriolisova sila F K . Práve to spôsobuje odchýlenie lopty od priamej dráhy OA. Vzorec, ktorý opisuje túto silu, je opäť určený druhým Newtonovým zákonom, len tentoraz funguje tzv. Coriolisovo zrýchlenie K :,F K = 2mυω (3,5).

Takže ako už bolo spomenuté, aby sa Coriolisova sila prejavila, je potrebné skombinovať 2 druhy pohybu. A tu sú dve možnosti: 1). Teleso sa pohybuje vzhľadom na rotujúci referenčný rámec. Práve tento prípad je znázornený na obr. 3.3. 2). Rotujúce teleso vykonáva translačný pohyb, ako príklad môžeme uviesť takzvané „krivkové“ lopty - technika používaná vo futbale, kedy je lopta zasiahnutá tak, že sa počas letu otáča.