A forgó mozgás erőinek eredő nyomatéka. I.4.2 a forgó mozgás dinamikájának alaptörvénye. A transzlációs és forgó mozgást jellemző mennyiségek kapcsolata

Figyelembe véve a transzlációs és forgó mozgásokat, analógiát állapíthatunk meg közöttük. A transzlációs mozgás kinematikája útvonalat használ s, sebesség  és a gyorsulás A. A forgómozgásban szerepüket a  forgásszög,  szögsebesség és ε szöggyorsulás játssza. A transzlációs mozgás dinamikájában az erő és a tömeg fogalmát használják Tés impulzus A forgó mozgásban az erő szerepét a pillanat játssza
erők, tömeg szerepe - tehetetlenségi nyomaték én z és a lendület szerepe - szögimpulzus A transzlációs mozgás képleteinek ismeretében könnyen felírható a forgó mozgás képlete. Például egyenletes mozgás esetén a megtett távolságot a következő képlettel számítjuk ki: s =  t, és elfordulási szöggel - a  =  képlet szerint t. Newton második törvénye
És
a forgómozgás dinamikájának alaptörvénye pedig az
És
A transzlációs mozgás során a test lendülete egyenlő
forgómozgás közben pedig a szögimpulzus az
Ezt az analógiát tovább lehet folytatni.

Erőműködés a transzlációs mozgás során. Erő

Legyen egy test (anyagi pont) állandó erő hatására , állandó szöget a mozgás irányával, egyenes vonalúan mozog valamilyen vonatkoztatási rendszerben és áthalad a pályán l. Majd az iskolai fizikatanfolyamból ismeretes a munka A ezt az erőt a következő képlet határozza meg:

A= Fl· cos  = F l l, (1)

Tekintsük most a munkaszámítás általános esetét, amikor egy test egy ívelt pályán transzlációsan mozog változó erő hatására. Úton l válasszon egy elemi szakaszt dl, amelyen belül az erő figyelembe vehető és  szög állandó értékek, maga a szakasz pedig egyenes. Akkor dolgozz dA ebben a részben az (1) képlet segítségével találjuk: dA = F· dl· cos. Munka A a teljes út mentén egyenlő a munka összegével dA, azaz

(2)

Ikon l integrált eszközökkel, hogy az integráció a teljes út mentén megtörténik l.

A (2) képletet más formában is megadhatjuk, ha vektorok skaláris szorzatát használjuk. Aztán az integrand dA a következő formában lesz írva: dA = F· dl· cos=
Ahol az elemi elmozdulás vektora, és

(3)

Az (1) képletből világos, hogy a munka algebrai mennyiség. A munka előjele a  szögtől függ. Ha a  szög hegyes, akkor cos  > 0 és a munka pozitív, de ha a  tompaszög, akkor a munka negatív.

A munka SI mértékegysége a joule (J). Az (1) képletből vezetjük be, amelyben feltételezzük, hogy cos  = 1. 1 J az az 1 N erő által 1 m-es pályán végzett munka, feltéve, hogy az erő és az elmozdulás iránya egybeesik.

A munka sebességének jellemzésére bevezetjük a teljesítmény fogalmát, amely egyenlő az időegység alatt végzett munkával. Ha egy elemi időszak dt elemi munkát végeznek dA, majd a hatalom R egyenlő

(4)

Az SI-mértékegységekben a teljesítményt wattban (W) mérik. A (4) pontból következik, hogy 1 W = 1 J/1 s, azaz. 1 W- Ez az a teljesítmény, amellyel 1 J munkát végeznek 1 s alatt.

Erőmunka forgó mozgás közben

Tekintsünk egy merev testet, amely változó erő hatására tengely körül forog z valamilyen szögben. Ez az erő nyomatékot hoz létre M z, a test forgatásával. Az erő érintőlegesen arra a körre irányul, amely mentén az erő alkalmazási pontja elmozdul. Ezért szög = 0. Ezt figyelembe véve, a mechanikai munka képletével (lásd (2)) analóg módon, megkapjuk azt a kifejezést, amellyel a forgó mozgás során végzett munka kiszámítható:

(5)

A munka akkor lesz pozitív, ha az erő tangenciális összetevőjének iránya egybeesik a forgás irányával, és negatív, ha ellentétes irányú.

Ez a cikk a fizika egy fontos részét írja le - „A forgó mozgás kinematikája és dinamikája”.

A forgó mozgás kinematikai alapfogalmai

Anyagi pont fix tengely körüli forgómozgásának nevezzük azt a mozgást, amelynek pályája a tengelyre merőleges síkban elhelyezkedő kör, középpontja pedig a forgástengelyen van.

A merev test forgó mozgása olyan mozgás, amelyben a test minden pontja koncentrikus (amelynek középpontja ugyanazon a tengelyen van) körök mentén mozog az anyagi pont forgómozgására vonatkozó szabálynak megfelelően.

Forogjon egy tetszőleges T merev test az O tengely körül, amely merőleges a rajz síkjára. Válasszuk ki ezen a testen az M pontot, amely elforgatva egy kört ír le, amelynek sugara az O tengely körül r.

Egy idő után a sugár az eredeti helyzetéhez képest Δφ szöggel elfordul.

A jobb oldali csavar iránya (az óramutató járásával megegyezően) a pozitív forgásirány. A forgásszög időbeli változását merev test forgási egyenletének nevezzük:

φ = φ(t).

Ha φ-t radiánban mérjük (1 rad a sugarával egyenlő hosszúságú ívnek megfelelő szög), akkor annak a ΔS körívnek a hossza, amelyen az M anyagi pont Δt idő alatt áthalad, egyenlő:

ΔS = Δφr.

Az egyenletes forgómozgás kinematikájának alapelemei

Egy anyagi pont rövid idő alatti mozgásának mértéke dt elemi forgásvektorként szolgál dφ.

Egy anyagi pont vagy test szögsebessége olyan fizikai mennyiség, amelyet egy elemi forgás vektorának a forgás időtartamához viszonyított aránya határoz meg. A vektor iránya a jobb oldali csavar szabályával határozható meg az O tengely mentén Skaláris formában:

ω = dφ/dt.

Ha ω = dφ/dt = állandó, akkor az ilyen mozgást egyenletes forgómozgásnak nevezzük. Ezzel a szögsebességet a képlet határozza meg

ω = φ/t.

Az előzetes képlet szerint a szögsebesség dimenziója

[ω] = 1 rad/s.

Egy test egyenletes forgómozgása a forgási periódussal írható le. A T forgási periódus egy fizikai mennyiség, amely meghatározza azt az időt, amely alatt egy test egy teljes fordulatot tesz a forgástengely körül ([T] = 1 s). Ha a szögsebesség képletében t = T, φ = 2 π (egy teljes r sugarú fordulat) veszünk fel, akkor

ω = 2π/T,

Ezért a forgási periódust a következőképpen határozzuk meg:

T = 2π/ω.

A test által egységnyi idő alatt megtett fordulatok számát ν forgási frekvenciának nevezzük, amely egyenlő:

ν = 1/T.

Frekvencia mértékegységei: [ν] = 1/s = 1 s -1 = 1 Hz.

Összehasonlítva a szögsebesség és a forgási frekvencia képleteit, az alábbi mennyiségeket összekötő kifejezést kapunk:

ω = 2πν.

Az egyenetlen forgómozgás kinematikájának alapelemei

A merev test vagy anyagi pont egyenetlen forgási mozgását egy rögzített tengely körül a szögsebessége jellemzi, amely idővel változik.

Vektor ε A szögsebesség változási sebességét jellemző szöggyorsulási vektornak nevezzük:

ε = dω/dt.

Ha egy test forog, gyorsul, az dω/dt > 0, a vektor iránya a tengely mentén azonos irányú, mint ω.

Ha a forgási mozgás lassú - dω/dt< 0 , akkor az ε és ω vektorok ellentétes irányúak.

Megjegyzés. Egyenetlen forgási mozgás esetén az ω vektor nemcsak nagyságrendjében, hanem irányában is változhat (a forgástengely elforgatásakor).

A transzlációs és forgó mozgást jellemző mennyiségek kapcsolata

Ismeretes, hogy az ív hosszát a sugár elfordulási szögével és annak értékével összefügg az összefüggés

ΔS = Δφ r.

Ekkor a forgó mozgást végző anyagi pont lineáris sebessége

υ = ΔS/Δt = Δφr/Δt = ωr.

A forgó transzlációs mozgást végző anyagi pont normál gyorsulását a következőképpen határozzuk meg:

a = υ 2 /r = ω 2 r 2 /r.

Tehát skaláris formában

a = ω 2 r.

Tangenciálisan gyorsított anyagpont, amely forgó mozgást végez

a = ε r.

Anyagi pont lendülete

Az m i tömegű anyagi pont pályájának sugárvektorának és impulzusának vektorszorzatát e pont forgástengely körüli impulzusimpulzusának nevezzük. A vektor iránya a jobb oldali csavarszabály segítségével határozható meg.

Egy anyagi pont lendülete ( L i) merőleges az r i-n és υ i-n keresztül húzott síkra, és ezekkel vektorok jobb oldali hármasát alkotja (vagyis amikor a vektor végétől elmozdulunk r i Nak nek υ i a jobb oldali csavar mutatja a vektor irányát Lén).

Skaláris formában

L = m i υ i r i sin(υ i, r i).

Figyelembe véve, hogy a körben való mozgás során az i-edik anyagpont sugárvektora és lineáris sebességvektora egymásra merőleges,

sin(υ i , r i) = 1.

Tehát egy anyagi pont szögimpulzusa a forgó mozgáshoz felveszi a formát

L = m i υ i r i.

Az i-edik anyagi pontra ható erőnyomaték

Az erő alkalmazási pontjára húzott sugárvektor vektorszorzatát és ezt az erőt az i-edik anyagi pontra ható erőnyomatéknak nevezzük a forgástengelyhez képest.

Skaláris formában

M i = r i F i sin(r i, F i).

Tekintve, hogy r i sinα = l i ,M i = l i F i .

Nagyságrend l i, amely egyenlő a forgáspontból az erő hatásirányába süllyesztett merőleges hosszával, az erő karjának nevezzük F i.

A forgó mozgás dinamikája

A forgó mozgás dinamikájának egyenlete a következőképpen van felírva:

M = dl/dt.

A törvény megfogalmazása a következő: egy rögzített tengely körül forgó test impulzusimpulzusának változási sebessége egyenlő a testre ható összes külső erő e tengelyéhez viszonyított eredő nyomatékkal.

Impulzusnyomaték és tehetetlenségi nyomaték

Ismeretes, hogy az i-edik anyagi pontra a szögimpulzus skaláris formában a következő képlettel adódik

L i = m i υ i r i .

Ha a lineáris sebesség helyett a kifejezését szögsebességgel helyettesítjük:

υ i = ωr i ,

akkor a szögimpulzus kifejezése olyan formát ölt

L i = m i r i 2 ω.

Nagyságrend I i = m i r i 2 Egy abszolút merev test tömegközéppontján átmenő i-edik anyagi pont tengelyéhez viszonyított tehetetlenségi nyomatéknak nevezzük. Ezután felírjuk az anyagi pont szögimpulzusát:

L i = I i ω.

Egy abszolút merev test impulzusimpulzusát a testet alkotó anyagi pontok szögimpulzusának összegeként írjuk fel:

L = Iω.

Erőnyomaték és tehetetlenségi nyomaték

A forgó mozgás törvénye kimondja:

M = dl/dt.

Ismeretes, hogy egy test szögimpulzusa a tehetetlenségi nyomatékon keresztül ábrázolható:

L = Iω.

M = Idω/dt.

Figyelembe véve, hogy a szöggyorsulást a kifejezés határozza meg

ε = dω/dt,

képletet kapunk az erőnyomatékra, amelyet a tehetetlenségi nyomatékon keresztül ábrázolunk:

M = Iε.

Megjegyzés. Az erőnyomatékot akkor tekintjük pozitívnak, ha az azt okozó szöggyorsulás nagyobb, mint nulla, és fordítva.

Steiner tétele. A tehetetlenségi nyomatékok összeadásának törvénye

Ha egy test forgástengelye nem megy át a tömegközéppontján, akkor ehhez a tengelyhez viszonyítva Steiner tételével meghatározhatjuk a tehetetlenségi nyomatékát:
I = I 0 + ma 2,

Ahol én 0- a test kezdeti tehetetlenségi nyomatéka; m- testtömeg; a- a tengelyek közötti távolság.

Ha egy rögzített tengely körül forgó rendszer abból áll n testek, akkor az ilyen típusú rendszer teljes tehetetlenségi nyomatéka egyenlő lesz összetevői nyomatékainak összegével (a tehetetlenségi nyomatékok összeadásának törvénye).

A forgatónyomaték legjobb definíciója az, hogy egy erő hajlamos egy tárgyat egy tengely, támaszpont vagy forgáspont körül elforgatni. A nyomaték kiszámítható az erő és a nyomatékkar (a tengely és az erő hatásvonala közötti merőleges távolság) vagy a tehetetlenségi nyomaték és a szöggyorsulás segítségével.

Lépések

Erő- és nyomatékáttétel alkalmazása

1. Határozza meg a testre ható erőket és a megfelelő nyomatékokat! Ha az erő nem merőleges a kérdéses nyomatékkarra (azaz szögben hat), akkor előfordulhat, hogy meg kell találnia az összetevőit trigonometrikus függvények, például szinusz vagy koszinusz segítségével.

   • A figyelembe vett erőösszetevő a merőleges erőegyenértéktől függ.
   • Képzeljünk el egy vízszintes rudat, amelyre a vízszintes sík felett 30°-os szögben 10 N erőt kell kifejteni, hogy a középpontja körül elforgatja.
   • Mivel olyan erőt kell alkalmazni, amely nem merőleges a nyomatékkarra, ezért a rúd elforgatásához szükség van az erő függőleges összetevőjére.
   • Ezért figyelembe kell venni az y-komponenst, vagy az F = 10sin30° N értéket kell használni.

2. Használja a τ = Fr nyomatékegyenletet, és egyszerűen cserélje ki a változókat adott vagy kapott adatokra.

   • Egy egyszerű példa: Képzeljünk el egy 30 kg súlyú gyereket, aki egy hintadeszka egyik végén ül. A hinta egyik oldalának hossza 1,5 m.
   • Mivel a hinta forgástengelye a középpontban van, nem kell a hosszt megszorozni.
   • Meg kell határoznia a gyermek által kifejtett erőt a tömeg és a gyorsulás segítségével.
   • Mivel a tömeg adott, meg kell szorozni a gravitációs gyorsulással, g, amely 9,81 m/s 2 . Ennélfogva:
   • Most már rendelkezik minden szükséges adattal a pillanatnyi egyenlet használatához:

3. Használjon jeleket (plusz vagy mínusz), hogy mutassa a pillanat irányát. Ha az erő az óramutató járásával megegyező irányba forgatja a testet, akkor a nyomaték negatív. Ha az erő az óramutató járásával ellentétes irányba forgatja a testet, akkor a nyomaték pozitív.

   • Több kifejtett erő esetén egyszerűen össze kell adni a testben lévő összes momentumot.
   • Mivel az egyes erők különböző forgásirányokat okoznak, fontos, hogy a forgásjelet használjuk az egyes erők irányának nyomon követésére.
   • Például egy 0,050 m átmérőjű kerék peremére két erőt fejtettek ki: F 1 = 10,0 N az óramutató járásával megegyezően, és F 2 = 9,0 N, az óramutató járásával ellentétes irányban.
   • Mivel ez a test egy kör, a rögzített tengely a középpontja. El kell osztania az átmérőt, és meg kell kapnia a sugarat. A sugár mérete nyomatékkarként fog szolgálni. Ezért a sugár 0,025 m.
   • Az áttekinthetőség kedvéért a megfelelő erőből adódó nyomatékok mindegyikére külön egyenletet tudunk megoldani.
   • Az 1. erő esetében a cselekvés az óramutató járásával megegyező irányban irányul, ezért a létrehozás pillanata negatív:
   • A 2. erő esetében a cselekvés az óramutató járásával ellentétes irányban irányul, ezért a létrehozás pillanata pozitív:
   • Most összeadhatjuk az összes pillanatot, hogy megkapjuk a kapott nyomatékot:

   A tehetetlenségi nyomaték és a szöggyorsulás felhasználása

   1. A probléma megoldásának megkezdéséhez értse meg, hogyan működik a test tehetetlenségi nyomatéka. A test tehetetlenségi nyomatéka a test ellenállása a forgó mozgással szemben. A tehetetlenségi nyomaték mind a tömegtől, mind az eloszlás természetétől függ.

      • Ennek világos megértéséhez képzeljünk el két azonos átmérőjű, de eltérő tömegű hengert.
      • Képzelje el, hogy mindkét hengert a központi tengelye körül kell forgatnia.
      • Nyilvánvaló, hogy egy nagyobb tömegű hengert nehezebb lesz forgatni, mint egy másik hengert, mert „nehezebb”.
      • Most képzeljünk el két különböző átmérőjű, de azonos tömegű hengert. Ahhoz, hogy hengeresnek tűnjön és eltérő tömegűek legyenek, ugyanakkor eltérő átmérőjük legyen, mindkét henger alakjának vagy tömegeloszlásának eltérőnek kell lennie.
      • A nagyobb átmérőjű henger lapos, lekerekített lemeznek, míg a kisebb henger egy tömör szövetcsőnek fog kinézni.
      • A nagyobb átmérőjű hengert nehezebb forgatni, mert nagyobb erőt kell kifejtenie a hosszabb nyomatékkar leküzdéséhez.

   2. Válassza ki a tehetetlenségi nyomaték kiszámításához használni kívánt egyenletet. Számos egyenlet használható erre.

      • Az első egyenlet a legegyszerűbb: az összes részecske tömegének és nyomatékkarának összegzése.
      • Ezt az egyenletet anyagi pontokra vagy részecskékre használják. Ideális részecske olyan test, amelynek van tömege, de nem foglal helyet.
      • Más szavakkal, ennek a testnek az egyetlen jelentős jellemzője a tömeg; nem kell ismernie a méretét, alakját vagy szerkezetét.
      • Az anyagrészecske gondolatát széles körben használják a fizikában a számítások egyszerűsítésére, valamint az ideális és elméleti sémák használatára.
      • Most képzeljünk el egy tárgyat, például egy üreges hengert vagy egy tömör, egyenletes gömböt. Ezeknek a tárgyaknak világos és meghatározott alakja, mérete és szerkezete van.
      • Ezért nem tekintheti őket anyagi szempontnak.
      • Szerencsére használhat olyan képleteket, amelyek néhány gyakori objektumra vonatkoznak:

   3. Keresse meg a tehetetlenségi nyomatékot. A nyomaték kiszámításának megkezdéséhez meg kell találnia a tehetetlenségi nyomatékot. Használja a következő példát útmutatóként:

      • Két kis, 5,0 kg és 7,0 kg tömegű „súly” van felszerelve egymástól 4,0 m távolságra egy fényrúdra (amelynek tömege elhanyagolható). A forgástengely a rúd közepén van. A rúd nyugalmi helyzetéből 30,0 rad/s szögsebességre forog 3,00 másodperc alatt. Számítsa ki a megtermelt nyomatékot.
      • Mivel a forgástengely a rúd közepén van, mindkét terhelés nyomatékkarja egyenlő a hosszának felével, azaz. 2,0 m.
      • Mivel a „terhelések” alakja, mérete és szerkezete nincs megadva, feltételezhetjük, hogy a terhelések anyagi részecskék.
      • A tehetetlenségi nyomaték a következőképpen számítható ki:

   4. Keresse meg az α szöggyorsulást. A szöggyorsulás kiszámításához használhatja az α= at/r képletet.

      • Az első képlet, α= at/r, akkor használható, ha az érintőleges gyorsulás és a sugár adott.
      • A tangenciális gyorsulás a mozgás irányára érintőlegesen irányuló gyorsulás.
      • Képzeljen el egy tárgyat, amely egy görbe pályán mozog. A tangenciális gyorsulás egyszerűen annak lineáris gyorsulása a teljes út bármely pontjában.
      • A második képlet esetében a legegyszerűbb úgy szemléltetni, hogy összekapcsoljuk a kinematikai fogalmakkal: elmozdulás, lineáris sebesség és lineáris gyorsulás.
      • Az elmozdulás egy tárgy által megtett távolság (SI mértékegysége méter, m); a lineáris sebesség az időegységenkénti elmozdulás változásának mutatója (SI egység - m/s); a lineáris gyorsulás a lineáris sebesség időegységenkénti változásának mutatója (SI egység - m/s 2).
      • Most nézzük meg ezeknek a mennyiségeknek analógjait forgó mozgásban: szögeltolódás, θ - egy bizonyos pont vagy szegmens elfordulási szöge (SI egység - rad); szögsebesség, ω – a szögelmozdulás változása egységnyi idő alatt (SI egység – rad/s); és szöggyorsulás, α – a szögsebesség változása egységnyi idő alatt (SI egység – rad/s 2).
      • Példánkhoz visszatérve szögimpulzusra és időre kaptunk adatokat. Mivel a forgás nyugalomból indult, a kezdeti szögsebesség 0. Az egyenlet segítségével megtalálhatjuk:

   5. Használja a τ = Iα egyenletet a nyomaték meghatározásához. Egyszerűen cserélje ki a változókat az előző lépésekben kapott válaszokra.

      • Észreveheti, hogy a „rad” mértékegység nem fér bele a mértékegységeinkbe, mivel dimenzió nélküli mennyiségnek számít.
      • Ez azt jelenti, hogy figyelmen kívül hagyhatja, és folytathatja a számításokat.
      • A mértékegységek elemzéséhez a szöggyorsulást s -2 -ben fejezhetjük ki.
   • Az első módszernél, ha a test egy kör és a forgástengelye a középpontban van, akkor nincs szükség az erő összetevőinek kiszámítására (feltéve, hogy az erőt nem szögben fejtik ki), mivel az erő a kör érintőjén, azaz. merőleges a nyomatékkarra.
   • Ha nehezen tudja elképzelni, hogyan történik a forgás, akkor fogjon egy tollat, és próbálja meg újra előállítani a problémát. A pontosabb reprodukció érdekében ne felejtse el lemásolni a forgástengely helyzetét és az alkalmazott erő irányát.

Merev test forgómozgásának dinamikája.

Tehetetlenségi nyomaték.

A hatalom pillanata. A forgó mozgás dinamikájának alapegyenlete.

Az impulzus pillanata.

Tehetetlenségi nyomaték.

(Vegyük fontolóra a gördülő hengerekkel végzett kísérletet.)

A forgó mozgásnál új fizikai fogalmakat kell bevezetni: tehetetlenségi nyomaték, erőnyomaték, impulzusnyomaték.

A tehetetlenségi nyomaték a test tehetetlenségének mértéke a test forgó mozgása során egy rögzített tengely körül.

Tehetetlenségi nyomaték egy anyagi pont egy rögzített forgástengelyhez viszonyított értéke egyenlő tömegének a vizsgált forgástengely távolságának négyzetével (1. ábra):

Csak az anyagi pont tömegétől és a forgástengelyhez viszonyított helyzetétől függ, és nem függ magától a forgás jelenlététől.

Tehetetlenségi nyomaték - skaláris és additív mennyiség

Egy test tehetetlenségi nyomatéka egyenlő az összes pontja tehetetlenségi nyomatékának összegével

.

Folyamatos tömegeloszlás esetén ez az összeg az integrálra csökken:

,

ahol a test kis térfogatának tömege, a test sűrűsége, az elem távolsága a forgástengelytől.

A tehetetlenségi nyomaték a tömeg analógja a forgó mozgás során. Minél nagyobb a test tehetetlenségi nyomatéka, annál nehezebb megváltoztatni a forgó test szögsebességét. A tehetetlenségi nyomatéknak csak a forgástengely adott helyzetében van értelme.

Nincs értelme egyszerűen a „tehetetlenségi pillanatról” beszélni. Attól függ:

1) a forgástengely helyzetéből;

2) a testtömegnek a forgástengelyhez viszonyított eloszlásából, azaz. a test alakjáról és méretéről.

Ennek kísérleti bizonyítéka a gördülő hengerekkel végzett kísérlet.

Néhány homogén testre integrálva a következő képleteket kaphatjuk (a forgástengely átmegy a test tömegközéppontján):

Egy karika (a falvastagságot figyelmen kívül hagyjuk) vagy egy üreges henger tehetetlenségi nyomatéka:

R sugarú tárcsa vagy tömör henger tehetetlenségi nyomatéka:

Ahol .

A labda tehetetlenségi nyomatéka

A rúd tehetetlenségi nyomatéka

E Ha egy testre ismert a tömegközépponton átmenő tengely körüli tehetetlenségi nyomaték, akkor bármely, az elsővel párhuzamos tengely körüli tehetetlenségi nyomaték megtalálható a Steiner tétele: egy test tehetetlenségi nyomatéka egy tetszőleges tengelyhez viszonyítva megegyezik a J 0 tehetetlenségi nyomatékkal az adott tengelyhez képest párhuzamos és a test tömegközéppontján átmenő tengelyhez képest, hozzáadva a testtömeg szorzatához és a tengelyek közötti távolság négyzete.

Ahol d távolság a tömegközépponttól a forgástengelyig.

A tömegközéppont egy képzeletbeli pont, amelynek helyzete egy adott test tömegének eloszlását jellemzi. Egy test tömegközéppontja ugyanúgy mozog, ahogy egy azonos tömegű anyagi pont az adott testre ható összes külső erő hatására mozogna.

A tehetetlenségi nyomaték fogalmát L. Euler hazai tudós vezette be a mechanikába a 18. század közepén, és azóta széles körben alkalmazzák a merev test dinamikájának számos problémájának megoldásában. A tehetetlenségi nyomaték értékét a gyakorlatban ismerni kell a különféle forgó alkatrészek és rendszerek (lendkerekek, turbinák, villanymotor rotorok, giroszkópok) számításakor. A tehetetlenségi nyomaték benne van egy test (hajó, repülőgép, lövedék stb.) mozgásegyenleteiben. Akkor határozzák meg, amikor egy repülőgép tömegközéppont körüli forgó mozgásának paramétereit akarjuk megismerni külső zavarás hatására (szélroham stb.). Változó tömegű testek (rakéta) esetén a tömeg és a tehetetlenségi nyomaték idővel változik.

2 .A hatalom pillanata.

Ugyanaz az erő különböző szöggyorsulást kölcsönözhet a forgó testnek annak irányától és alkalmazási helyétől függően. Egy erő forgó hatásának jellemzésére bevezetjük az erőnyomaték fogalmát.

Megkülönböztetik a rögzített pont és a rögzített tengely körüli erőnyomatékot. Az O ponthoz (pólushoz) viszonyított erőnyomaték egy vektormennyiség, amely megegyezik az O pontból az erővektor által az erő alkalmazási pontjáig húzott sugárvektor vektorszorzatával:

ábra magyarázza ezt a definíciót. A 3-at azzal a feltételezéssel tesszük, hogy az O pont és a vektor a rajz síkjában fekszik, akkor a vektor is ebben a síkban helyezkedik el, és a felé irányuló  vektor tőlünk elfelé irányul (2 vektor vektorszorzataként; a jobb gimlet szabály szerint).

Az erőnyomaték modulusa számszerűen egyenlő a kar által kifejtett erő szorzatával:

ahol az erő karja az O ponthoz képest,  az irányok és az irányok közötti szög, .

Váll - a legrövidebb távolság a forgás középpontjától az erő hatásvonaláig.

Az erőnyomaték vektora a jobb oldali karmantyú transzlációs mozgásával együtt irányul, ha a fogantyúját az erő forgási irányába forgatjuk. Az erőnyomaték tengelyirányú (szabad) vektor, a forgástengely mentén irányul, nem kapcsolódik meghatározott hatásvonalhoz, átvihető

önmagával párhuzamos tér.

Az álló Z tengelyhez viszonyított erőnyomaték a vektor vetülete erre a tengelyre (az O ponton áthaladva).

E Ha egy testre több erő hat, akkor a rögzített Z tengelyhez viszonyított erőnyomaték a testre ható összes erő e tengelyéhez viszonyított nyomatékok algebrai összegével egyenlő.

Ha a testre ható erő nem a forgási síkban fekszik, akkor 2 komponensre bontható: a forgássíkban fekvőre és  rá F n. Amint a 4. ábrán látható, az Fn nem hoz létre elfordulást, hanem csak a test deformációjához vezet; a test forgása csak az F  komponensnek köszönhető.

A forgó test anyagi pontok gyűjteményeként ábrázolható.

BAN BEN válasszunk önkényesen valamilyen tömegű pontot m én, amelyre erő hat, gyorsulást kölcsönözve a pontnak (5. ábra). Mivel a forgatás csak érintőleges komponenst hoz létre, a levezetés egyszerűsítése érdekében merőleges a forgástengelyre.

Ebben az esetben

Newton második törvénye szerint: . Szorozzuk meg az egyenlőség mindkét oldalát r én ;

,

hol van az anyagi pontra ható erő nyomatéka,

Anyagi pont tehetetlenségi nyomatéka.

Ennélfogva, .

Az egész testre:,

azok. a test szöggyorsulása egyenesen arányos a rá ható külső erők nyomatékával és fordítottan arányos a tehetetlenségi nyomatékával. Az egyenlet

(1) egy merev test forgási mozgásának dinamikájának egyenlete egy rögzített tengelyhez képest, vagy Newton második törvénye a forgó mozgásra.

3 . Az impulzus pillanata.

A forgási és transzlációs mozgás törvényeinek összehasonlításakor analógia látható.

Az impulzus analógja a szögimpulzus. A szögimpulzus fogalma fix ponthoz és fix tengelyhez viszonyítva is bevezethető, de a legtöbb esetben a következőképpen definiálható. Ha egy anyagi pont egy rögzített tengely körül forog, akkor ehhez a tengelyhez viszonyított szögimpulzusa egyenlő nagyságú

Ahol m én- egy anyagi pont tömege,

 i - lineáris sebessége

r én- távolság a forgástengelytől.

Mert forgó mozgáshoz

ahol egy anyagi pont tehetetlenségi nyomatéka ehhez a tengelyhez képest.

Egy merev test szögimpulzusa egy rögzített tengelyhez viszonyítva egyenlő az összes pontjának ehhez a tengelyhez viszonyított szögimpulzusainak összegével:

G de a test tehetetlenségi nyomatéka.

Így egy merev test szögnyomatéka egy rögzített forgástengelyhez viszonyítva egyenlő az ehhez a tengelyhez viszonyított tehetetlenségi nyomatékának és a szögsebességnek a szorzatával, és együtt van irányítva a szögsebesség-vektorral.

Megkülönböztetjük a (2) egyenletet az idő függvényében:

A (3) egyenlet egy másik formája a merev test fix tengelyhez viszonyított forgómozgásának dinamikájának alapegyenletének: a nyomaték deriváltja.

egy merev test impulzusa egy rögzített forgástengelyhez viszonyítva egyenlő a külső erők ugyanazon tengelyhez viszonyított nyomatékával

Ez az egyenlet a rakétadinamika egyik legfontosabb egyenlete. A rakéta mozgása során tömegközéppontjának helyzete folyamatosan változik, aminek következtében különféle erőmomentumok keletkeznek: légellenállás, aerodinamikai erő, a felvonó által keltett erők. A rakéta forgómozgásának egyenlete a rá ható összes erőnyomaték hatására, a rakéta tömegközéppontjának mozgásegyenleteivel és az ismert kezdeti feltételekkel rendelkező kinematikai egyenletekkel együtt lehetővé teszi a rakéta helyzetének meghatározását. a rakéta az űrben bármikor.

Ezt a témát egy speciális erőtípus – a tehetetlenségi erők – figyelembevételével fogjuk szentelni. Ezeknek az erőknek a sajátossága a következő. Minden mechanikai erő – legyen az gravitációs, rugalmas vagy súrlódási erő – akkor keletkezik, amikor egy testet más testek befolyásolnak. A tehetetlenségi erőkkel más a helyzet.

Először is emlékezzünk meg, mi az a tehetetlenség. A tehetetlenség egy fizikai jelenség, amely abból áll, hogy a test mindig arra törekszik, hogy megtartsa eredeti sebességét. Tehetetlenségi erők pedig akkor keletkeznek, amikor a test sebessége megváltozik – pl. gyorsulás jelenik meg. Attól függően, hogy a test milyen mozgásban vesz részt, ilyen vagy olyan gyorsulást tapasztal, és ilyen vagy olyan tehetetlenségi erőt hoz létre. De mindezeket az erőket ugyanaz a minta egyesíti: a tehetetlenségi erő mindig az azt generáló gyorsulással ellentétes irányban irányul.

A tehetetlenségi erők természetüknél fogva különböznek a többi mechanikai erőtől. Az összes többi mechanikai erő az egyik test másik testre gyakorolt ​​hatásának eredményeként jön létre. Míg a tehetetlenségi erőket a test mechanikai mozgásának tulajdonságai okozzák. Egyébként attól függően, hogy a test milyen mozgásban vesz részt, egy vagy másik tehetetlenségi erő keletkezik:

A mozgás lehet egyenes, és akkor kezdődik a beszélgetés a transzlációs mozgás tehetetlenségi erejéről;

A mozgás lehet görbe vonalú, és akkor lesz a tehetetlenségi centrifugális erőről;

Végül a mozgás lehet egyenes és görbe vonalú is (ha a test forgó rendszerben mozog, vagy forgás közben mozog), és akkor beszélünk a Coriolis-erőről.

Tekintsük részletesebben a tehetetlenségi erők fajtáit és fellépésük feltételeit.

1. ELŐRE MOZGÁS TEhetetlenségi ereje i . Akkor fordul elő, amikor egy test egyenes úton halad. Ennek az erőnek a hatásával folyamatosan találkozunk egyenes úton haladó járműveknél, fékezéskor és gyorsításkor. Fékezéskor előre lökünk, mert... a mozgás sebessége meredeken csökken, és a szervezetünk igyekszik fenntartani a sebességét. A sebesség felvételekor ugyanezen okból beszorulunk az ülés hátuljába. ábrán. 2.1

Ábrázoljuk a transzlációs mozgás gyorsulási irányait és tehetetlenségi erejét sebességcsökkenés esetén: a gyorsulás a mozgással ellentétes, a tehetetlenségi erő pedig a gyorsulással ellentétes irányt mutat. A tehetetlenségi erő képletét Newton második törvénye adja meg: . A mínusz jel annak a ténynek köszönhető, hogy a és a vektorok ellentétes irányúak. Ennek az erőnek a számértékét (modulusát) ennek megfelelően a következő képlettel számítjuk ki:

F = ma (3.1)

2. CENTRIFUGÁLIS TETÉSI ERŐ i . Annak megértéséhez, hogy ez az erő hogyan keletkezik, nézze meg a 1. ábrát. 3.2. ábra, amely egy vízszintes síkban forgó korongot ábrázol, amelynek közepéhez húzókötéssel (például rugalmas szalaggal) csatlakozik egy golyó. Amikor a korong forogni kezd, a labda hajlamos eltávolodni tőle

középre, és megfeszíti a rugalmas szalagot. Sőt, minél gyorsabban forog a korong, annál távolabb kerül a labda a korong közepétől. A golyónak ezt a mozgását a korong síkja mentén egy ún centrifugális tehetetlenségi erő (F cb) . És így, A centrifugális erő forgás közben lép fel, és a forgás középpontjától a sugár mentén irányul.F cb egy tehetetlenségi erő, ami azt jelenti, hogy fellépése a gyorsulás jelenlétének köszönhető, amelyet ezzel az erővel ellentétes irányban kell irányítani. Ha a centrifugális erő a középpontból irányul, akkor nyilvánvaló, hogy ennek az erőnek az oka a normál (centripetális) gyorsulás és n , mert pontosan ez irányul a forgás középpontja felé (lásd 1. témakör, 1.2, 3. bekezdés). Ez alapján megkapjuk a centrifugális erő képletét. Newton második törvénye szerint F=ma , Ahol m - testtömeg. Ekkor a centrifugális tehetetlenségi erőre az összefüggés érvényes:

F cb = ma n.

Figyelembe véve (1.18) és (1.19) a következőket kapjuk:

(3.2) és F cb = mω 2 r (3.3).

3. CORIOLIS FORCE F K . Ha kétféle mozgást kombinálunk: forgó és transzlációs, egy másik erő jelenik meg, amelyet Coriolis-erőnek (vagy Coriolis-erőnek) neveznek. Gustav Gaspard Coriolis (1792-1843) francia szerelőről nevezték el, aki ezt az erőt számította ki.

ábrán látható kísérlet példáján a Coriolis-erő megjelenése érzékelhető. 3.3. Vízszintesen forgó korongot ábrázol

Rizs. 3.3 felülnézet

repülőgép. Rajzoljunk egy OA sugárirányú egyenest a korongra, és indítsunk el egy labdát O-ból A irányába v sebességgel. Ha a korong nem forog, a labda az általunk megrajzolt egyenes mentén fog elgurulni. Ha a korongot a nyíllal jelzett irányba hozzuk forgásba, akkor a golyó a szaggatott vonallal jelölt OB görbe mentén elgurul, és υ sebessége megváltoztatja az irányát (lásd 3.3 (b) ábra). Következésképpen a forgó vonatkoztatási rendszerhez (és ebben az esetben egy korongról van szó) a golyó úgy viselkedik, mintha egy bizonyos, a v sebességre merőleges erő hatna rá. Ez a Coriolis-erő F K . Ez az, ami miatt a labda eltér az OA egyenes pályától. Az erőt leíró képletet ismét Newton második törvénye határozza meg, csak ezúttal az ún. Coriolis gyorsulás K : ,F K =2mυω (3,5).

Tehát, mint már említettük, ahhoz, hogy a Coriolis-erő megnyilvánuljon, kétféle mozgást kell kombinálni. És itt két lehetőség van: 1). A test egy forgó referenciakerethez képest mozog. Ezt az esetet ábrázolja a 3.3. ábra. 2). A forgó test transzlációs mozgást végez, példaként tekinthetjük az úgynevezett „görbe” labdákat - a futballban használt technikát -, amikor a labdát úgy találják el, hogy repülés közben forog.