Pöörleva liikumise jõudude tekkiv moment. I.4.2 pöörleva liikumise dünaamika põhiseadus. Translatsioonilist ja pöörlevat liikumist iseloomustavate suuruste seos

Võttes arvesse translatsiooni- ja pöörlemisliigutusi, saame nende vahel luua analoogia. Translatsioonilise liikumise kinemaatika kasutab rada s, kiirus  ja kiirendus A. Nende rolli pöörlevas liikumises mängivad pöördenurk , nurkkiirus  ja nurkiirendus ε. Translatsioonilise liikumise dünaamikas kasutatakse jõu ja massi mõisteid T ja hoogu Pöörleval liikumisel mängib jõu rolli hetk
jõud, massi roll - inertsimoment I z ja impulsi roll - nurkimpulss Teades translatsioonilise liikumise valemeid, on lihtne üles kirjutada pöörleva liikumise valemeid. Näiteks ühtlase liikumise korral arvutatakse läbitud vahemaa järgmise valemiga: s =  t, ja pöördenurgaga - vastavalt valemile  =  t. Newtoni teine seadus
Ja
ja pöörleva liikumise dünaamika põhiseadus on
Ja
Translatsioonilise liikumise ajal on keha impulss võrdne
ja pöörleva liikumise ajal nurkimpulss on
Seda analoogiat saab jätkata.

Jõu töö translatsioonilise liikumise ajal. Võimsus

Olgu keha (materiaalne punkt) püsiva jõu mõjul , moodustades konstantse nurga liikumise suunaga, liigub sirgjooneliselt kindlas tugisüsteemis ja läbib tee l. Siis, nagu kooli füüsikakursusest teada, töö A see jõud leitakse valemiga:

A= Fl· cos  = F l l, (1)

Vaatleme nüüd üldist töö arvutamise juhtumit, kui keha liigub translatsiooniliselt mööda kõverat rada muutuva jõu mõjul. Teel l vali elementaarne osa dl, mille piires saab jõudu arvestada ja nurk  on konstantsed väärtused ja lõik ise on sirgjooneline. Siis tööta dA selles jaotises leiame valemi (1) abil: dA = F· dl· cos. Töö A kogu tee ulatuses on võrdne töö summaga dA, st.

(2)

Ikoon l integraal tähendab, et integreerimine toimub kogu tee ulatuses l.

Valemile (2) võib anda teistsuguse kuju, kui kasutada vektorite skalaarkorrutist. Siis integrand dA kirjutatakse kujul: dA = F· dl· cos=
Kus on elementaarnihke vektor ja

(3)

Valemist (1) on selge, et töö on algebraline suurus. Töö märk sõltub nurgast . Kui nurk  on terav, siis cos  > 0 ja töö on positiivne, aga kui nurk  on nüri, on töö negatiivne.

SI tööühik on džaul (J). See on toodud valemist (1), milles eeldatakse, et cos  = 1. 1 J on töö, mis tehakse jõuga 1 N 1 m pikkusel teel, eeldusel, et jõu ja nihke suunad langevad kokku.

Töö kiiruse iseloomustamiseks võetakse kasutusele võimsuse mõiste, mis võrdub ajaühikus tehtud tööga. Kui elementaarne ajaperiood dt elementaarne töö on tehtud dA, siis jõudu R võrdne

(4)

SI-ühikutes mõõdetakse võimsust vattides (W). Nagu tuleneb punktist (4), 1 W = 1 J / 1 s, st. 1 W- See on võimsus, millega tehakse 1 J tööd 1 sekundiga.

Jõu töö pöörleva liikumise ajal

Vaatleme jäika keha, mis on muutuva jõu mõjul pöörleb ümber telje z mingi nurga all. See jõud tekitab pöördemomendi M z, kere pöörlemine. Jõud on suunatud tangentsiaalselt ringile, mida mööda liigub jõu rakenduspunkt. Seetõttu nurk = 0. Võttes seda arvesse analoogselt mehaanilise töö valemiga (vt (2)), leiame avaldise, mille abil arvutatakse töö pöörlemisel liikumisel:

(5)

Töö on positiivne, kui jõu tangentsiaalse komponendi suund langeb kokku pöörlemissuunaga, ja negatiivne, kui need on vastupidises suunas.

See artikkel kirjeldab olulist füüsika osa - "Pöörleva liikumise kinemaatika ja dünaamika".

Pöörleva liikumise kinemaatika põhimõisted

Materjali punkti pöörlemisliikumiseks ümber fikseeritud telje nimetatakse sellist liikumist, mille trajektooriks on ringjoon, mis asub teljega risti asetseval tasapinnal ja mille kese asub pöörlemisteljel.

Jäiga keha pöörlev liikumine on liikumine, mille käigus kõik keha punktid liiguvad mööda kontsentrilisi (mille keskpunktid asuvad samal teljel) ringjooni vastavalt materiaalse punkti pöörleva liikumise reeglile.

Olgu suvaline jäik keha T pöörlema ümber O-telje, mis on risti joonise tasapinnaga. Valime sellel kehal punkti M. Pööramisel kirjeldab see punkt ringi, mille raadius on ümber O-telje r.

Mõne aja pärast pöördub raadius algse asukoha suhtes nurga Δφ võrra.

Positiivseks pöörlemissuunaks võetakse parempoolse kruvi suund (päripäeva). Pöörlemisnurga muutumist ajas nimetatakse jäiga keha pöörlemisliikumise võrrandiks:

φ = φ(t).

Kui φ mõõdetakse radiaanides (1 rad on nurk, mis vastab kaare pikkusele, mis on võrdne selle raadiusega), siis ringkaare ΔS pikkus, mille materiaalne punkt M läbib ajas Δt, on võrdne:

ΔS = Δφr.

Ühtlase pöörleva liikumise kinemaatika põhielemendid

Materiaalse punkti liikumise mõõt lühikese aja jooksul dt toimib elementaarse pöörlemisvektorina dφ.

Materiaalse punkti või keha nurkkiirus on füüsikaline suurus, mille määrab elementaarpöörlemise vektori ja selle pöörlemise kestuse suhe. Vektori suunda saab määrata piki O-telge parema kruvi reegliga Skalaarsel kujul:

ω = dφ/dt.

Kui ω = dφ/dt = konst, siis sellist liikumist nimetatakse ühtlaseks pöörlevaks liikumiseks. Sellega määratakse nurkkiirus valemiga

ω = φ/t.

Eelvalemi järgi nurkkiiruse mõõde

[ω] = 1 rad/s.

Keha ühtlast pöörlevat liikumist saab kirjeldada pöörlemisperioodiga. Pöörlemisperiood T on füüsikaline suurus, mis määrab aja, mille jooksul keha teeb ühe täispöörde ümber pöörlemistelje ([T] = 1 s). Kui nurkkiiruse valemis võtame t = T, φ = 2 π (raadiusega r üks täispööre), siis

ω = 2π/T,

Seetõttu määratleme pöörlemisperioodi järgmiselt:

T = 2π/ω.

Pöörete arvu, mida keha teeb ajaühikus, nimetatakse pöörlemissageduseks ν, mis on võrdne:

ν = 1/T.

Sagedusühikud: [ν] = 1/s = 1 s -1 = 1 Hz.

Võrreldes nurkkiiruse ja pöörlemissageduse valemeid, saame neid suurusi ühendava avaldise:

ω = 2πν.

Ebaühtlase pöörleva liikumise kinemaatika põhielemendid

Jäiga keha või materjali punkti ebaühtlast pöörlevat liikumist ümber fikseeritud telje iseloomustab selle nurkkiirus, mis ajas muutub.

Vektor ε , mis iseloomustab nurkkiiruse muutumise kiirust, nimetatakse nurkkiirenduse vektoriks:

ε = dω/dt.

Kui keha pöörleb, kiirendades, see tähendab dω/dt > 0, on vektoril suund piki telge samas suunas kui ω.

Kui pöörlev liikumine on aeglane - dω/dt< 0 , siis on vektorid ε ja ω vastassuunalised.

Kommenteeri. Ebaühtlase pöörlemisliikumise korral võib vektor ω muutuda mitte ainult suuruses, vaid ka suunas (pöörlemistelje pööramisel).

Translatsioonilist ja pöörlevat liikumist iseloomustavate suuruste seos

On teada, et kaare pikkus raadiuse pöördenurga ja selle väärtusega on seotud seosega

ΔS = Δφ r.

Siis pöörlevat liikumist sooritava materjali punkti lineaarkiirus

υ = ΔS/Δt = Δφr/Δt = ωr.

Pöörlevat translatsioonilist liikumist teostava materiaalse punkti normaalne kiirendus on määratletud järgmiselt:

a = υ 2 /r = ω 2 r 2 /r.

Niisiis, skalaarsel kujul

a = ω 2 r.

Tangentsiaalselt kiirendatud materjalipunkt, mis teostab pöörlevat liikumist

a = ε r.

Materiaalse punkti hoog

Materiaalse massipunkti m i trajektoori raadiusvektori ja selle impulsi vektorkorrutist nimetatakse selle punkti nurkimpulssiks ümber pöörlemistelje. Vektori suunda saab määrata õige kruvireegli abil.

Materiaalse punkti hoog ( L i) on suunatud risti läbi r i ja υ i tõmmatud tasapinnaga ning moodustab nendega (st vektori lõpust liikudes) vektorite parempoolse kolmiku r i To υ i parempoolne kruvi näitab vektori suunda L i).

Skalaarses vormis

L = m i υ i r i sin(υ i, r i).

Arvestades, et ringis liikudes on i-nda materiaalse punkti raadiuse vektor ja lineaarkiiruse vektor üksteisega risti,

sin(υ i , r i) = 1.

Seega saab pöörleva liikumise jaoks vajaliku materiaalse punkti nurkimment kuju

L = m i υ i r i.

Jõumoment, mis mõjub i-ndale materiaalsele punktile

Raadiusvektori vektorkorrutis, mis on tõmmatud jõu rakenduspunkti ja seda jõudu nimetatakse i-ndale materjalipunktile mõjuva jõumomendiks pöördetelje suhtes.

Skalaarses vormis

M i = r i F i sin(r i, F i).

Võttes arvesse, et r i sinα = l i ,M i = l i F i.

Suurusjärk l i, mis võrdub pöörlemispunktist jõu mõjusuunani langetatud risti pikkusega, nimetatakse jõu haruks F i.

Pöörleva liikumise dünaamika

Pöörleva liikumise dünaamika võrrand on kirjutatud järgmiselt:

M = dl/dt.

Seaduse sõnastus on järgmine: ümber fikseeritud telje pöörleva keha nurkimpulsi muutumise kiirus on võrdne kõigi kehale mõjuvate välisjõudude selle telje suhtes tekkiva momendiga.

Impulsimoment ja inertsimoment

On teada, et i-nda materiaalse punkti jaoks on nurkimpulss skalaarkujul antud valemiga

L i = m i υ i r i.

Kui lineaarkiiruse asemel asendame selle väljenduse nurkkiirusega:

υ i = ωr i ,

siis võtab nurkmomendi avaldis kuju

L i = m i r i 2 ω.

Suurusjärk I i = m i r i 2 nimetatakse inertsimomendiks absoluutselt jäiga keha massikeskpunkti läbiva ainelise punkti i-nda telje suhtes. Seejärel kirjutame materiaalse punkti nurkimpulsi:

L i = I i ω.

Absoluutselt jäiga keha nurkimpulsi kirjutame selle keha moodustavate materiaalsete punktide nurkimpulsside summana:

L = Iω.

Jõumoment ja inertsimoment

Pöörleva liikumise seadus ütleb:

M = dl/dt.

On teada, et keha nurkmomenti saab esitada inertsmomendi kaudu:

L = Iω.

M = Idω/dt.

Arvestades, et nurkkiirenduse määrab avaldis

ε = dω/dt,

saame valemi jõumomendi kohta, mis on esitatud inertsmomendi kaudu:

M = Iε.

Kommenteeri. Jõumoment loetakse positiivseks, kui seda põhjustav nurkkiirendus on suurem kui null ja vastupidi.

Steineri teoreem. Inertsimomentide liitmise seadus

Kui keha pöörlemistelg ei läbi selle massikeskpunkti, siis selle telje suhtes saab Steineri teoreemi abil leida tema inertsimomendi:
I = I 0 + ma 2,

Kus ma 0- keha alginertsimoment; m- kehamass; a- telgede vaheline kaugus.

Kui ümber fikseeritud telje pöörlev süsteem koosneb n kehad, siis on seda tüüpi süsteemi kogu inertsimoment võrdne selle komponentide momentide summaga (inertsimomentide liitmise seadus).

Pöördemomendi parim määratlus on jõu kalduvus pöörata objekti ümber telje, tugipunkti või pöördepunkti. Pöördemomenti saab arvutada jõu ja momendiõla (risti kaugus telje ja jõu toimejoone vahel) või inertsmomendi ja nurkkiirenduse abil.

Sammud

Jõu- ja momendivõimenduse kasutamine

Määrake kehale mõjuvad jõud ja vastavad momendid. Kui jõud ei ole kõnealuse momendi haruga risti (st see toimib nurga all), peate võib-olla leidma selle komponendid trigonomeetriliste funktsioonide (nt siinus või koosinus) abil.
- Vaadeldav jõukomponent sõltub samaväärsest risti jõust.
- Kujutage ette horisontaalset varda, millele tuleb rakendada 10 N jõudu horisontaaltasapinnast 30° nurga all, et seda pöörata ümber oma keskpunkti.
- Kuna peate kasutama jõudu, mis ei ole momentiõlaga risti, on varda pööramiseks vaja jõu vertikaalset komponenti.
- Seetõttu tuleb arvestada y-komponendiga või kasutada F = 10sin30° N.
Kasutage momendi võrrandit τ = Fr ja lihtsalt asendage muutujad antud või saadud andmetega.
- Lihtne näide: kujutage ette 30 kg kaaluvat last, kes istub kiigelaua ühes otsas. Kiige ühe külje pikkus on 1,5 m.
- Kuna kiige pöörlemistelg on keskel, ei pea te pikkust korrutama.
- Peate massi ja kiirenduse abil määrama lapse avaldatava jõu.
- Kuna mass on antud, peate selle korrutama raskuskiirendusega g, mis on võrdne 9,81 m/s 2 . Seega:
- Nüüd on teil kõik vajalikud andmed hetkevõrrandi kasutamiseks:
Kasutage märke (pluss või miinus), et näidata hetke suunda. Kui jõud pöörab keha päripäeva, on moment negatiivne. Kui jõud pöörab keha vastupäeva, on moment positiivne.
- Mitme rakendatava jõu korral liida lihtsalt kõik kehas esinevad momendid kokku.
- Kuna iga jõud kipub tekitama erinevaid pöörlemissuundi, on iga jõu suuna jälgimiseks oluline kasutada pöörlemismärki.
- Näiteks 0,050 m läbimõõduga ratta veljele rakendati kaks jõudu, F 1 = 10,0 N, mis oli suunatud päripäeva ja F 2 = 9,0 N, mis oli suunatud vastupäeva.
- Kuna see keha on ring, on fikseeritud telg selle keskpunkt. Peate jagama läbimõõdu ja saama raadiuse. Raadiuse suurus toimib momendi õlana. Seetõttu on raadius 0,025 m.
- Selguse huvides saame lahendada iga vastavast jõust tuleneva momendi jaoks eraldi võrrandid.
- Jõu 1 puhul on tegevus suunatud päripäeva, seega on selle loomise hetk negatiivne:
- Jõu 2 puhul on tegevus suunatud vastupäeva, seega on selle loomise hetk positiivne:
- Nüüd saame saadud pöördemomendi saamiseks kõik hetked kokku liita:
Inertsmomendi ja nurkkiirenduse kasutamine
1. Probleemi lahendamise alustamiseks mõista, kuidas keha inertsmoment töötab. Keha inertsmoment on keha takistus pöörlevale liikumisele. Inertsimoment sõltub nii massist kui ka selle jaotuse iseloomust.
  - Selle selgeks mõistmiseks kujutage ette kahte sama läbimõõduga, kuid erineva massiga silindrit.
  - Kujutage ette, et peate pöörama mõlemat silindrit ümber oma kesktelje.
  - Ilmselt on suurema massiga silindrit keerulisem pöörata kui teist silindrit, kuna see on raskem.
  - Kujutage nüüd ette kahte erineva läbimõõduga, kuid sama massiga silindrit. Selleks, et need näiksid silindrilised ja erineva massiga, kuid samal ajal erineva läbimõõduga, peavad mõlema silindri kuju või massijaotus olema erinev.
  - Suurema läbimõõduga silinder näeb välja nagu tasane ümar plaat, väiksem aga tugevast kangast torust.
  - Suurema läbimõõduga silindrit on raskem pöörata, kuna pikema pöördemomendi õla ületamiseks peate rakendama rohkem jõudu.
2. Valige võrrand, mida kasutate inertsmomendi arvutamiseks. Selleks saab kasutada mitut võrrandit.
  - Esimene võrrand on kõige lihtsam: kõigi osakeste masside ja momendiharude liitmine.
  - Seda võrrandit kasutatakse materiaalsete punktide või osakeste jaoks. Ideaalne osake on keha, millel on mass, kuid mis ei võta ruumi.
  - Teisisõnu, selle keha ainus oluline omadus on mass; te ei pea teadma selle suurust, kuju ega struktuuri.
  - Materjali osakese ideed kasutatakse füüsikas laialdaselt arvutuste lihtsustamiseks ning ideaalsete ja teoreetiliste skeemide kasutamiseks.
  - Kujutage nüüd ette objekti nagu õõnes silinder või tahke ühtlane kera. Nendel objektidel on selge ja määratletud kuju, suurus ja struktuur.
  - Seetõttu ei saa te neid pidada materiaalseks punktiks.
  - Õnneks saate kasutada valemeid, mis kehtivad mõne levinud objekti kohta:
3. Leidke inertsimoment. Pöördemomendi arvutamise alustamiseks peate leidma inertsimomendi. Kasutage juhendina järgmist näidet.
  - Kaks väikest "raskust" massiga 5,0 kg ja 7,0 kg on paigaldatud üksteisest 4,0 m kaugusele valgustile (mille massi võib tähelepanuta jätta). Pöörlemistelg on varda keskel. Varras pöörleb puhkeolekust nurkkiiruseni 30,0 rad/s 3,00 sekundiga. Arvutage toodetud pöördemoment.
  - Kuna pöörlemistelg on varda keskel, on mõlema koormuse momendiõlg võrdne poole pikkusega, s.o. 2,0 m.
  - Kuna “koormuste” kuju, suurust ja struktuuri pole täpsustatud, võib eeldada, et koormused on materjaliosakesed.
  - Inertsmomenti saab arvutada järgmiselt:
4. Leia nurkiirendus α. Nurkkiirenduse arvutamiseks võite kasutada valemit α= at/r.
  - Esimest valemit α= at/r saab kasutada, kui tangentsiaalne kiirendus ja raadius on antud.
  - Tangentsiaalne kiirendus on kiirendus, mis on suunatud tangentsiaalselt liikumissuunale.
  - Kujutage ette, et objekt liigub mööda kõverat rada. Tangentsiaalne kiirendus on lihtsalt selle lineaarne kiirendus kogu tee mis tahes punktis.
  - Teise valemi puhul on seda kõige lihtsam illustreerida sidudes kinemaatikast pärit mõistetega: nihe, joonkiirus ja lineaarkiirendus.
  - Nihe on objekti poolt läbitud vahemaa (SI ühik on meetrid, m); lineaarkiirus on nihke muutuse indikaator ajaühikus (SI ühik - m/s); lineaarkiirendus on lineaarkiiruse muutumise indikaator ajaühikus (SI ühik - m/s 2).
  - Nüüd vaatame nende suuruste analooge pöörleval liikumisel: nurknihe, θ - teatud punkti või segmendi pöördenurk (SI ühik - rad); nurkkiirus, ω – nurknihke muutus ajaühikus (SI ühik – rad/s); ja nurkkiirendus, α – nurkkiiruse muutus ajaühikus (SI ühik – rad/s 2).
  - Tulles tagasi meie näite juurde, anti meile andmed nurkmomendi ja aja kohta. Kuna pöörlemine algas puhkeolekust, on algnurkkiirus 0. Võrrandi abil saame leida:
5. Pöördemomendi leidmiseks kasutage võrrandit τ = Iα. Lihtsalt asendage muutujad eelmistes sammudes saadud vastustega.
  - Võite märgata, et ühik "rad" ei sobi meie mõõtühikutega, kuna seda peetakse mõõtmeteta suuruseks.
  - See tähendab, et saate seda ignoreerida ja jätkata arvutustega.
  - Mõõtühikute analüüsimiseks saame väljendada nurkkiirendust ühikutes s -2 .
- Esimese meetodi puhul, kui keha on ring ja selle pöörlemistelg on keskel, ei ole vaja jõu komponente arvutada (eeldusel, et jõudu ei rakendata nurga all), kuna jõud asub ringi puutujal, s.o. momendi käega risti.
- Kui teil on raske ette kujutada, kuidas pöörlemine toimub, võtke pliiats ja proovige probleem uuesti luua. Täpsema reprodutseerimise jaoks ärge unustage kopeerida pöörlemistelje asukohta ja rakendatud jõu suunda.

Jäiga keha pöörleva liikumise dünaamika.

Inertsimoment.

Võimu hetk. Pöörleva liikumise dünaamika põhivõrrand.

Impulsi hetk.

Inertsimoment.

(Kaaluge katset veerevate silindritega.)

Pöörleva liikumise käsitlemisel on vaja kasutusele võtta uued füüsikalised mõisted: inertsimoment, jõumoment, impulsimoment.

Inertsimoment on keha inertsi mõõt keha pöörleval liikumisel ümber fikseeritud telje.

Inertsimoment materiaalse punkti väärtus fikseeritud pöörlemistelje suhtes on võrdne selle massi korrutisega vaadeldava pöörlemistelje vahelise kauguse ruuduga (joonis 1):

See sõltub ainult materiaalse punkti massist ja selle asendist pöörlemistelje suhtes ega sõltu pöörlemise enda olemasolust.

Inertsimoment – skalaar- ja aditiivne suurus

Keha inertsmoment on võrdne kõigi selle punktide inertsimomentide summaga

Pideva massijaotuse korral taandub see summa integraaliks:

kus on keha väikese ruumala mass, on keha tihedus, on kaugus elemendist pöörlemisteljeni.

Inertsmoment on massi analoog pöördliikumise ajal. Mida suurem on keha inertsimoment, seda raskem on muuta pöörleva keha nurkkiirust. Inertsmoment on mõttekas ainult pöörlemistelje antud asendis.

Pole mõtet rääkida lihtsalt "inertsmomendist". See sõltub:

1) pöörlemistelje asendist;

2) kehamassi jaotumisest pöörlemistelje suhtes, s.o. keha kuju ja suuruse kohta.

Selle eksperimentaalseks tõestuseks on katse veeresilindritega.

Mõne homogeense keha integreerimisel saame järgmised valemid (pöörlemistelg läbib keha massikeskme):

Rõnga (jätame tähelepanuta seina paksuse) või õõnsa silindri inertsimoment:

Raadiusega R ketta või täissilindri inertsimoment:

Kus .

Kuuli inertsimoment

Varda inertsimoment

E Kui kehale on teada inertsmoment massikeskpunkti läbiva telje suhtes, siis inertsmoment mis tahes esimesega paralleelse telje suhtes leitakse vastavalt Steineri teoreem: keha inertsmoment suvalise telje suhtes on võrdne inertsmomendiga J 0 antud teljega paralleelse ja keha massikeset läbiva telje suhtes, mis liidetakse kehamassi korrutisele ja telgede vahelise kauguse ruut.

Kus d kaugus massikeskmest pöörlemisteljeni.

Massikese on kujuteldav punkt, mille asukoht iseloomustab antud keha massijaotust. Keha massikese liigub samamoodi, nagu liiguks sama massiga materiaalne punkt kõigi antud kehale mõjuvate välisjõudude mõjul.

Inertsmomendi mõiste tõi mehaanikasse kodumaine teadlane L. Euler 18. sajandi keskel ja sellest ajast saadik on seda laialdaselt kasutatud paljude jäiga keha dünaamika probleemide lahendamisel. Inertsmomendi väärtus peab olema praktikas teada erinevate pöörlevate komponentide ja süsteemide (hoorattad, turbiinid, elektrimootori rootorid, güroskoobid) arvutamisel. Inertsimoment sisaldub keha (laev, lennuk, mürsk jne) liikumisvõrrandites. Määratakse siis, kui tahetakse teada õhusõiduki pöörleva liikumise parameetreid ümber massikeskme välise häiringu (tuulepuhang vms) mõjul. Muutuva massiga kehade (rakett) korral muutuvad mass ja inertsimoment ajas.

2 .Võimuhetk.

Sama jõud võib anda pöörlevale kehale erineva nurkkiirenduse sõltuvalt selle suunast ja rakenduspunktist. Jõu pöörleva tegevuse iseloomustamiseks võetakse kasutusele jõumomendi mõiste.

Eristatakse jõumomenti fikseeritud punkti ja fikseeritud telje suhtes. Jõumoment punkti O (pooluse) suhtes on vektorsuurus, mis on võrdne punktist O punktist O jõu vektori poolt jõu rakenduspunkti tõmmatud raadiusvektori vektorkorrutisega:

Seda määratlust selgitav joonis. 3 on tehtud eeldusel, et punkt O ja vektor asuvad joonise tasapinnal, siis sellel tasapinnal paikneb ka vektor ja selle poole suunatud vektor  on meist eemale suunatud (2 vektori vektorkorrutisena; õige klapireegli järgi).

Jõumomendi moodul on arvuliselt võrdne käe jõu korrutisega:

kus on jõu õlg punkti O suhtes,  on nurk suundade ja, .

Õlg - lühim kaugus pöörlemiskeskmest jõu toimejooneni.

Jõumomendi vektor on suunatud koos parempoolse võlli translatsioonilise liikumisega, kui selle käepidet pöörata jõu pöörlemissuunas. Jõumoment on teljesuunaline (vaba) vektor, see on suunatud piki pöörlemistelge, ei ole seotud konkreetse toimejoonega, seda saab üle kanda

iseendaga paralleelne ruum.

Jõumoment paigalseisva Z-telje suhtes on vektori projektsioon sellele teljele (läbib punkti O).

E Kui kehale mõjub mitu jõudu, siis sellest tulenev jõudude moment fikseeritud Z-telje suhtes võrdub kõigi kehale mõjuvate jõudude momentide algebralise summaga selle telje suhtes.

Kui kehale rakendatav jõud ei asu pöörlemistasandil, saab selle jagada kaheks komponendiks: pöörlemistasandis paiknev ja  sellele F n. Nagu on näha jooniselt 4, ei tekita Fn pöörlemist, vaid viib ainult keha deformatsioonini; keha pöörlemine on tingitud ainult komponendist F .

Pöörlevat keha võib kujutada materiaalsete punktide kogumina.

IN valime meelevaldselt mingi massiga punkti m i, millele mõjub jõud, mis annab punktile kiirenduse (joonis 5). Kuna pöörlemine loob ainult tangentsiaalse komponendi, siis on see tuletamise lihtsustamiseks suunatud pöörlemisteljega risti.

Sel juhul

Newtoni teise seaduse järgi: . Korrutage võrdsuse mõlemad pooled arvuga r i ;

kus on materiaalsele punktile mõjuva jõu moment,

Materiaalse punkti inertsmoment.

Seega,.

Kogu kehale: ,

need. keha nurkkiirendus on otseselt võrdeline sellele mõjuvate välisjõudude momendiga ja pöördvõrdeline tema inertsmomendiga. Võrrand

(1) on jäiga keha pöörleva liikumise dünaamika võrrand fikseeritud telje suhtes või Newtoni teine seadus pöörleva liikumise jaoks.

3 . Impulsi hetk.

Pöörlemis- ja translatsiooniliikumise seaduste võrdlemisel on näha analoogiat.

Impulsi analoog on nurkimpulss. Nurkmomendi mõistet saab kasutusele võtta ka fikseeritud punkti ja fikseeritud telje suhtes, kuid enamasti saab seda defineerida järgmiselt. Kui materiaalne punkt pöörleb ümber fikseeritud telje, siis on selle nurkimment selle telje suhtes võrdne

Kus m i- materiaalse punkti mass,

 i - selle lineaarkiirus

r i- kaugus pöörlemisteljest.

Sest pöörleva liikumise jaoks

kus on materiaalse punkti inertsimoment selle telje suhtes.

Jäiga keha nurkimpulss fikseeritud telje suhtes on võrdne kõigi selle punktide nurkimpulsside summaga selle telje suhtes:

G de on keha inertsimoment.

Seega on jäiga keha nurkimpulss fikseeritud pöörlemistelje suhtes võrdne selle inertsmomendi ja nurkkiiruse korrutisega ning on kaassuunatud nurkkiiruse vektoriga.

Diferentseerime võrrandit (2) aja suhtes:

Võrrand (3) on põhivõrrandi teine vorm jäiga keha pöörlemisliikumise dünaamika jaoks fikseeritud telje suhtes: momendi tuletis

jäiga keha impulss fikseeritud pöörlemistelje suhtes on võrdne välisjõudude momendiga sama telje suhtes

See võrrand on raketi dünaamika üks olulisemaid võrrandeid. Raketi liikumisel muutub pidevalt selle massikeskme asend, mille tulemusena tekivad erinevad jõudude momendid: takistus, aerodünaamiline jõud, lifti tekitatavad jõud. Raketi pöördliikumise võrrand kõigi sellele rakendatud jõumomentide toimel koos raketi massikeskme liikumisvõrrandi ja teadaolevate algtingimustega kinemaatika võrranditega võimaldavad määrata asukoha raketist igal ajal kosmoses.

See teema on pühendatud jõu eriliigi – inertsiaalsete jõudude – käsitlemisele. Nende jõudude eripära on järgmine. Kõik mehaanilised jõud – olgu need siis gravitatsiooni-, elastsus- või hõõrdejõud – tekivad siis, kui keha mõjutavad teised kehad. Inertsiaalsete jõududega on olukord teine.

Kõigepealt meenutagem, mis on inerts. Inerts on füüsiline nähtus, mis seisneb selles, et keha püüab alati säilitada oma algset kiirust. Ja inertsiaaljõud tekivad siis, kui keha kiirus muutub – s.t. ilmub kiirendus. Olenevalt liikumisest, milles keha osaleb, kogeb see üht või teist kiirendust ning see tekitab ühe või teise inertsijõu. Kuid kõiki neid jõude ühendab sama muster: inertsjõud on alati suunatud vastupidiselt selle tekitanud kiirendusele.

Oma olemuselt erinevad inertsiaalsed jõud teistest mehaanilistest jõududest. Kõik muud mehaanilised jõud tekivad ühe keha mõjul teisele. Kusjuures inertsiaaljõud on põhjustatud keha mehaanilise liikumise omadustest. Muide, olenevalt liikumisest, milles keha osaleb, tekib üks või teine inertsiaalne jõud:

Liikumine võib olla otsekohene ja siis algab vestlus translatsioonilise liikumise inertsjõu kohta;

Liikumine võib olla kõverjooneline ja siis see on inertsi tsentrifugaaljõu kohta;

Lõpuks võib liikumine olla nii sirgjooneline kui ka kõverjooneline (kui keha liigub pöörlevas süsteemis või liigub pöörlemise ajal) ja siis räägime Coriolise väe kohta.

Vaatleme üksikasjalikumalt inertsijõudude liike ja nende esinemise tingimusi.

1. EDASI LIIKUMISE INERTSJÕUD i . See tekib siis, kui keha liigub mööda sirget rada. Selle jõu mõju kohtame pidevalt sirgel teel liikuvates sõidukites, pidurdamisel ja kiirendamisel. Pidurdamisel paiskub meid ette, sest... liikumiskiirus väheneb järsult ja meie keha püüab säilitada kiirust, mis tal oli. Kiirust üles võttes surutakse meid samal põhjusel istme taha. Joonisel fig. 2.1

Kujutatud on translatsiooniliikumise kiirenduse suunad ja inertsiaaljõud kiiruse vähenemise korral: kiirendus on suunatud liikumisele vastupidises suunas, inertsijõud aga kiirendusele vastupidises suunas. Inertsiaaljõu valem on antud Newtoni teise seadusega: . Miinusmärk on tingitud asjaolust, et vektoritel ja on vastupidised suunad. Selle jõu arvväärtus (moodul) arvutatakse vastavalt valemiga:

F = ma (3.1)

2. TSENTRIFUGAALNE INERTIAFJÕUD i . Et mõista, kuidas see jõud tekib, kaaluge joonist fig. 3.2, millel on kujutatud horisontaaltasandil pöörlevat ketast, mille keskele on tõmbeühenduse (näiteks elastse riba) abil kinnitatud kuul. Kui ketas hakkab pöörlema, kipub pall sellest eemalduma

keskele ja pingutab elastset riba. Veelgi enam, mida kiiremini ketas pöörleb, seda kaugemale pall ketta keskpunktist eemaldub. See kuuli liikumine piki ketta tasapinda on põhjustatud jõu toimest, mida nimetatakse tsentrifugaalne inertsjõud (F cb) . Seega tsentrifugaaljõud tekib pöörlemisel ja on suunatud piki raadiust pöörlemiskeskmest.F cb on inertsjõud, mis tähendab, et selle esinemine on tingitud kiirenduse olemasolust, mis peab olema suunatud sellele jõule vastupidiselt. Kui tsentrifugaaljõud on suunatud tsentrist, siis on ilmne, et selle jõu põhjuseks on normaalne (tsentripetaalne) kiirendus ja n , sest just see on suunatud pöörlemiskeskme poole (vt teema 1, §1.2, lõige 3). Selle põhjal saame tsentrifugaaljõu valemi. Newtoni teise seaduse järgi F=ma , Kus m - kehamass. Siis kehtib seos tsentrifugaalinertsjõu kohta:

F cb = ma n.

Võttes arvesse (1.18) ja (1.19), saame:

(3.2) ja F cb = mω 2 r (3.3).

3. CORIOLISE JÕUD F K . Kui kombineerida kahte tüüpi liikumist: pöörlev ja translatsiooniline, ilmub teine jõud, mida nimetatakse Coriolise jõuks (või Coriolise jõuks). nime saanud prantsuse mehaaniku Gustav Gaspard Coriolise (1792-1843) järgi, kes selle jõu välja arvutas.

Coriolise jõu ilmumist saab tuvastada joonisel fig 1 näidatud katse näites. 3.3. See kujutab ketast, mis pöörleb horisontaalselt

Riis. 3.3 pealtvaade

lennuk. Joonistame kettale radiaaljoone OA ja laseme palli suunas O punkti A kiirusega v. Kui ketas ei pöörle, veereb pall mööda meie tõmmatud sirgjoont. Kui ketas viia noolega näidatud suunas pöörlema, siis pall veereb mööda punktiirjoonega näidatud kõverat OB ja selle kiirus υ muudab suunda (vt joonis 3.3 (b)). Järelikult käitub kuul pöörleva tugiraami (ja antud juhul on ketta) suhtes nii, nagu mõjuks sellele teatud jõud, mis on risti kiirusega v. See on Coriolise jõud F K . Just see põhjustab palli kõrvalekaldumise sirgelt trajektoorilt OA. Seda jõudu kirjeldav valem määratakse jällegi Newtoni teise seadusega, ainult sel korral toimib nn kiirendus kui Coriolise kiirendus K : ,F K =2mυω (3,5).

Niisiis, nagu juba mainitud, on Coriolise jõu avaldumiseks vaja ühendada 2 tüüpi liikumist. Ja siin on kaks võimalust: 1). Keha liigub pöörleva võrdlusraami suhtes. Just seda juhtumit on kujutatud joonisel 3.3. 2). Pöörlev keha teeb translatsiooniliigutuse.Näiteks võib vaadelda jalgpallis kasutatavaid nn “kõverikuid” palle, kui palli lüüakse nii, et see lennu ajal pöörleb.