Onlayn nuqtadagi normalning sirtga tenglamasi. Tangens tekislik tenglamalari va berilgan nuqtada normal sirtni qanday topish mumkin

Bir nuqtada va uning uzluksiz qisman hosilalari mavjud bo'lib, ulardan kamida bittasi yo'qolmaydi, keyin bu nuqtaga yaqin joyda (1) tenglama bilan aniqlangan sirt bo'ladi. to'g'ri sirt.

Yuqoridagilarga qo'shimcha ravishda aniq belgilashning yashirin usuli sirtini aniqlash mumkin aniq, agar o'zgaruvchilardan biri, masalan, z, boshqalari bilan ifodalanishi mumkin bo'lsa:

Shuningdek bor parametrik tayinlash usuli. Bunday holda, sirt tenglamalar tizimi bilan aniqlanadi:

Oddiy sirt haqida tushuncha

Aniqroq aytganda, oddiy sirt birlik kvadrat ichki qismini gomeomorf xaritalash (ya'ni birma-bir va o'zaro uzluksiz xaritalash) tasviri deyiladi. Bu ta'rifga analitik ifoda berilishi mumkin.

Ichki nuqtalarining koordinatalari 0 tengsizliklarni qanoatlantiruvchi to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi u va v bo‘lgan tekislikda kvadrat berilgan bo‘lsin.< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

Misol oddiy sirt yarim shardir. Butun soha unday emas oddiy sirt. Bu sirt tushunchasini yanada umumlashtirishni taqozo etadi.

Bo'shliqning kichik to'plami, har bir nuqtasining qo'shnisi bor oddiy sirt, chaqirildi to'g'ri sirt .

Differensial geometriyadagi sirt

Helikoid

Katenoid

Metrik sirt shaklini yagona aniqlamaydi. Masalan, mos ravishda parametrlangan helikoid va katenoid metrikasi mos keladi, ya'ni ularning mintaqalari o'rtasida barcha uzunliklarni (izometriyani) saqlaydigan muvofiqlik mavjud. Izometrik o'zgarishlarda saqlanib qolgan xususiyatlar deyiladi ichki geometriya yuzalar. Ichki geometriya sirtning fazodagi holatiga bog'liq emas va uni tarangliksiz yoki siqilishsiz egilganda (masalan, silindrni konusga egilganda) o'zgarmaydi.

Metrik koeffitsientlar nafaqat barcha egri chiziqlar uzunligini, balki umuman sirt ichidagi barcha o'lchovlarning natijalarini (burchaklar, maydonlar, egrilik va boshqalar) aniqlaydi. Shuning uchun, faqat metrikaga bog'liq bo'lgan hamma narsa ichki geometriyaga tegishli.

Oddiy va oddiy bo'lim

Sirt nuqtalarida normal vektorlar

Sirtning asosiy xususiyatlaridan biri uning normal- berilgan nuqtada tangens tekislikka perpendikulyar birlik vektor:

Normalning belgisi koordinatalarni tanlashga bog'liq.

Oddiy (ma'lum bir nuqtada) o'z ichiga olgan tekislikdagi sirt kesimi sirtda ma'lum bir egri chiziq hosil qiladi, bu deyiladi. oddiy bo'lim yuzalar. Oddiy bo'lim uchun asosiy norma sirt uchun normalga to'g'ri keladi (belgiga qadar).

Agar sirtdagi egri chiziq normal kesma bo'lmasa, u holda uning asosiy normali sirt normali bilan ma'lum bir burchak th hosil qiladi. Keyin egrilik k egrilik bilan bog'liq egri chiziq k n Meunier formulasi bo'yicha normal kesma (bir xil tangens bilan):

Sirtni aniqlashning turli usullari uchun normal birlik vektorining koordinatalari jadvalda keltirilgan:

	Sirt nuqtasidagi normal koordinatalar
bilvosita topshiriq
aniq topshiriq
parametrik spetsifikatsiya

Egrilik

Sirtning ma'lum bir nuqtasida turli yo'nalishlar uchun oddiy bo'limning turli egriligi olinadi, bu deyiladi normal egrilik; agar egri chiziqning asosiy normali sirtga normal bilan bir xil yo'nalishda ketsa, unga ortiqcha belgisi yoki normalarning yo'nalishlari qarama-qarshi bo'lsa, minus belgisi beriladi.

Umuman olganda, sirtning har bir nuqtasida ikkita perpendikulyar yo'nalish mavjud e 1 va e 2, bunda normal egrilik minimal va maksimal qiymatlarni oladi; bu yo'nalishlar deyiladi asosiy. Istisno, barcha yo'nalishlarda normal egrilik bir xil bo'lganda (masalan, shar yaqinida yoki inqilob ellipsoidining oxirida), u holda nuqtadagi barcha yo'nalishlar asosiy hisoblanadi.

Salbiy (chapda), nol (markazda) va ijobiy (o'ngda) egrilikka ega yuzalar.

Asosiy yo'nalishlarda oddiy egriliklar deyiladi asosiy egriliklar; ularni k 1 va k 2 ni belgilaymiz. Hajmi:

chaqirdi Gauss egriligi, to'liq egrilik yoki oddiygina egrilik yuzalar. Bu atama ham bor egrilik skalyar, bu egrilik tensorining konvolyutsiyasi natijasini nazarda tutadi; bunda egrilik skalyar Gauss egriligidan ikki barobar katta.

Gauss egriligini metrik orqali hisoblash mumkin va shuning uchun sirtlarning ichki geometriyasining ob'ekti hisoblanadi (asosiy egriliklar ichki geometriyaga tegishli emasligini unutmang). Siz egrilik belgisi asosida sirt nuqtalarini tasniflashingiz mumkin (rasmga qarang). Samolyotning egri chizig'i nolga teng. Radiusi R bo'lgan sharning egri chizig'i hamma joyda teng. Bundan tashqari, doimiy salbiy egrilik yuzasi - psevdosfera mavjud.

Geodezik chiziqlar, geodezik egrilik

Sirtdagi egri chiziq deyiladi geodezik chiziq, yoki oddiygina geodezik, agar uning barcha nuqtalarida egri chiziqning asosiy normali sirt normaliga to'g'ri kelsa. Misol: tekislikda geodeziya to'g'ri chiziqlar va to'g'ri chiziqlar segmentlari, sharda - katta doiralar va ularning segmentlari.

Ekvivalent ta’rif: geodezik chiziq uchun uning bosh normalining oskulatsiyalanuvchi tekislikka proyeksiyasi nol vektor hisoblanadi. Agar egri chiziq geodezik bo'lmasa, u holda ko'rsatilgan proyeksiya nolga teng emas; uning uzunligi deyiladi geodezik egrilik k g yuzasida egri chiziq. Munosabatlar mavjud:

Qayerda k- bu egri chiziqning egriligi, k n- uning normal kesimining bir xil tangens bilan egriligi.

Geodeziya chiziqlari ichki geometriyaga tegishli. Keling, ularning asosiy xususiyatlarini sanab o'tamiz.

• Berilgan sirt nuqtasi orqali ma'lum bir yo'nalishda bitta va faqat bitta geodezik o'tadi.
• Sirtning etarlicha kichik maydonida ikkita nuqta har doim geodezik bilan, va bundan tashqari, faqat bitta bilan bog'lanishi mumkin. Izoh: sharda qarama-qarshi qutblar cheksiz ko'p meridianlar bilan bog'langan va ikkita yaqin nuqtani nafaqat katta doiraning segmenti, balki uni to'liq doiraga qo'shish orqali ham bog'lash mumkin, shuning uchun o'ziga xoslik faqat saqlanib qoladi. kichikda.
• Geodeziya eng qisqa yo'ldir. Aniqroq aytganda: sirtning kichik qismida berilgan nuqtalar orasidagi eng qisqa yo'l geodezik bo'ylab yotadi.

Kvadrat

Sirtning yana bir muhim atributi uning kvadrat, bu formula bo'yicha hisoblanadi:

Koordinatalarda biz quyidagilarni olamiz:

	aniq topshiriq	parametrik spetsifikatsiya
maydon ifodasi

Tangens tekisliklar geometriyada katta rol o'ynaydi. Tangens tekisliklarni qurish amaliy ahamiyatga ega, chunki ularning mavjudligi aloqa nuqtasida sirtga normaning yo'nalishini aniqlashga imkon beradi. Ushbu muammo muhandislik amaliyotida keng qo'llaniladi. Tangens tekisliklari yopiq sirtlar bilan chegaralangan geometrik figuralarning konturlarini qurish uchun ham qo'llaniladi. Nazariy jihatdan, sirtga tegib turgan tekisliklar differensial geometriyada kontakt nuqtasi hududidagi sirt xususiyatlarini o'rganish uchun ishlatiladi.

Asosiy tushunchalar va ta'riflar

Sirtga teginish tekisligi sekant tekisligining cheklovchi pozitsiyasi sifatida ko'rib chiqilishi kerak (egri chiziqqa teginish chizig'iga o'xshab, u ham sekantning cheklovchi pozitsiyasi sifatida belgilanadi).

Sirtning ma'lum bir nuqtasida sirtga teguvchi tekislik barcha to'g'ri chiziqlar to'plamidir - ma'lum bir nuqta orqali sirtga o'tkaziladigan teglar.

Differensial geometriyada oddiy nuqtada chizilgan sirtga barcha teglar koplanar (bir tekislikka tegishli) ekanligi isbotlangan.

Keling, sirtga teginish to'g'ri chiziqni qanday chizishni bilib olaylik. Sirtda ko'rsatilgan M nuqtada (203-rasm) b sirtga teginish t ikki nuqtada (MM 1, MM 2, ..., MM n) sirtni kesib o'tuvchi l j sekantning chegaralangan holatini ifodalaydi. kesishish nuqtalari mos keladi (M ≡ M n, l n ≡ l M). Shubhasiz (M 1, M 2, ..., M n) ∈ g, chunki g ⊂ b. Yuqoridagilardan quyidagi ta'rif kelib chiqadi: sirtga teginish - sirtga tegishli har qanday egri chiziqqa teguvchi to'g'ri chiziq.

Tekislik ikkita kesishuvchi to'g'ri chiziq bilan aniqlanganligi sababli, ma'lum bir nuqtada sirtga teguvchi tekislikni aniqlash uchun, bu nuqta orqali sirtga tegishli ikkita ixtiyoriy chiziqni (shaklida sodda) o'tkazish kifoya qiladi va teglar hosil qiladi. ularning har biri bu chiziqlarning kesishish nuqtasida. Tuzilgan tangenslar tangens tekisligini noyob tarzda aniqlaydi. Berilgan M nuqtada b sirtga a tangens tekislik chizishning vizual tasviri rasmda keltirilgan. 204. Bu rasmda b sirtga normal n ni ham ko'rsatadi.

Berilgan nuqtadagi sirtning normali teginish tekisligiga perpendikulyar va teginish nuqtasidan o'tuvchi to'g'ri chiziqdir.

Sirtning normaldan o'tuvchi tekislik bilan kesishish chizig'i sirtning normal kesimi deyiladi. Sirt turiga qarab, teginish tekisligi sirt bilan bir yoki bir nechta nuqtaga (chiziq) ega bo'lishi mumkin. Tangens chizig'i bir vaqtning o'zida sirtning tekislik bilan kesishish chizig'i bo'lishi mumkin.

Bundan tashqari, sirtda yuzaga teginish mumkin bo'lmagan nuqtalar mavjud bo'lgan holatlar ham mavjud; bunday nuqtalar birlik deyiladi. Yagona nuqtalarga misol sifatida torso yuzasining qaytib chetiga tegishli nuqtalarni yoki aylanish yuzasi meridianining uning o'qi bilan kesishish nuqtasini keltirish mumkin, agar meridian va o'q o'ng tomonda kesishmasa. burchaklar.

Tegish turlari sirt egriligining tabiatiga bog'liq.

Yuzaki egrilik

Sirt egriligi masalalarini fransuz matematigi F.Dyupin (1784-1873) o‘rganib, sirtning normal kesimlari egriligidagi o‘zgarishlarni tasvirlashning vizual usulini taklif qilgan.

Buning uchun M nuqtasida ko'rib chiqilayotgan sirtga teginish tekisligida (205, 206-rasm), bu kesmalarning tegishli egrilik radiuslari qiymatlarining kvadrat ildizlariga teng bo'lgan segmentlar teglar ustiga yotqiziladi. bu nuqtaning har ikki tomonidagi normal bo'limlar. Nuqtalar to'plami - segmentlarning uchlari chaqirilgan egri chiziqni belgilaydi Dupin ko'rsatkichi. Dupin indikatrisini tuzish algoritmini (205-rasm) yozish mumkin:

1. M ∈ a, M ∈ b ∧ a b;

2. = √(R l 1), = √(R l 2),..., = √(R l n)

bu erda R - egrilik radiusi.

(A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n) Dupin indikatoridir.

Agar sirtning Dupin ko'rsatkichi ellips bo'lsa, M nuqta elliptik, sirt esa elliptik nuqtali sirt deb ataladi.(206-rasm). Bunday holda, teginish tekisligi sirt bilan faqat bitta umumiy nuqtaga ega va sirtga tegishli va ko'rib chiqilayotgan nuqtada kesishgan barcha chiziqlar teginish tekisligining bir tomonida joylashgan. Elliptik nuqtalari bo'lgan sirtlarga misollar: inqilob paraboloidi, inqilob ellipsoidi, shar (bu holda Dupin ko'rsatkichi aylana va boshqalar).

Tangens tekislikni torso yuzasiga chizishda tekislik bu sirtga to'g'ri generatrix bo'ylab tegadi. Bu chiziqdagi nuqtalar deyiladi parabolik, sirt esa parabolik nuqtalari bo'lgan sirtdir. Dupin ko'rsatkichi bu holda ikkita parallel chiziqdir (207-rasm*).

Shaklda. 208 nuqtalardan tashkil topgan sirtni ko'rsatadi

* Ikkinchi tartibli egri chiziq - parabola - ma'lum sharoitlarda ikkita haqiqiy parallel chiziqqa, ikkita xayoliy parallel chiziqqa, ikkita mos keladigan chiziqqa bo'linishi mumkin. Shaklda. 207 biz ikkita haqiqiy parallel chiziq bilan ishlaymiz.

Har qanday tangens tekislik sirtni kesib o'tadi. Bunday sirt deyiladi giperbolik, va unga tegishli nuqtalar giperbolik nuqtalar. Bu holatda Dupin indikatori giperbola hisoblanadi.

Barcha nuqtalari giperbolik bo'lgan sirt egar shakliga ega (qiyshiq tekislik, bir varaqli giperboloid, inqilobning konkav yuzalari va boshqalar).

Bitta sirtda har xil turdagi nuqtalar bo'lishi mumkin, masalan, torso yuzasida (209-rasm) M nuqtasi elliptik; N nuqta parabolik; K nuqtasi giperbolikdir.

Differensial geometriya kursida egrilik qiymatlari K j = 1/ R j (bu erda R j - ko'rib chiqilayotgan kesimning egrilik radiusi) ekstremal qiymatlarga ega bo'lgan normal bo'limlar ikkitada joylashganligi isbotlangan. o'zaro perpendikulyar tekisliklar.

Bunday egriliklar K 1 = 1/R max. K 2 = 1/R min asosiy qiymatlar deb ataladi va H = (K 1 + K 2)/2 va K = K 1 K 2 qiymatlari mos ravishda sirtning o'rtacha egriligi va umumiy ( Gauss) ko'rib chiqilayotgan nuqtada sirtning egriligi. Elliptik nuqtalar uchun K > 0, giperbolik nuqtalar K

Monge diagrammasida sirtga teginish tekisligini ko'rsatish

Quyida aniq misollar yordamida elliptik (1-misol), parabolik (2-misol) va giperbolik (3-misol) nuqtalari bo'lgan sirtga teginish tekisligini qurishni ko'rsatamiz.

O'RNAK 1. Elliptik nuqtalari bo'lgan b aylanish yuzasiga teginish a tekislikni tuzing. Bu masalani yechishning ikkita variantini ko‘rib chiqamiz: a) M ∈ b nuqta va b) M ∉ b nuqta.

Variant a (210-rasm).

Tangens tekislik M nuqtada b sirtning parallel va meridianiga chizilgan ikkita t 1 va t 2 tangenslari bilan aniqlanadi.

t 1 tangensining b sirtning h paralleliga proyeksiyalari t" 1 ⊥ (S"M") va t" 1 bo'ladi || x o'qi M nuqtadan o'tuvchi b sirtning d meridianiga t" 2 tegining gorizontal proyeksiyasi meridianning gorizontal proyeksiyasiga to'g'ri keladi. t" 2 tangensining frontal proyeksiyasini topish uchun g(g) meridional tekislik. ∋ M) p 2 tekislikka parallel b 1 sirt o'qi atrofida aylanib g holatiga o'tkaziladi. Bunda M → M 1 nuqta (M" 1, M" 1).Tangensning proyeksiyasi t" 2 rarr; t" 2 1 (M" 1 S") bilan aniqlanadi. Agar endi g 1 tekislikni dastlabki holatiga qaytarsak, u holda S" nuqta o'z o'rnida qoladi (aylanish o'qiga tegishli) va M" 1 → M" va tangensning frontal proyeksiyasi t" 2 bo'ladi. aniqlanadi (M" S")

M ∈ b nuqtada kesishgan ikkita t 1 va t 2 tangenslari b sirtga teguvchi a tekislikni aniqlaydi.

Variant b (211-rasm)

Sirtga tegishli bo'lmagan nuqtadan o'tuvchi sirtga teginish tekisligini qurish uchun quyidagi mulohazalardan kelib chiqish kerak: elliptik nuqtalardan iborat sirtdan tashqaridagi nuqta orqali sirtga teguvchi ko'plab tekisliklarni o'tkazish mumkin. Bu sirtlarning konverti ba'zi konusning yuzasi bo'ladi. Shuning uchun, agar qo'shimcha ko'rsatmalar bo'lmasa, u holda muammoning ko'plab echimlari mavjud va bu holda konusning sirtini g teginish berilgan sirtga chizishga qisqartiradi.

Shaklda. 211-rasmda b sharga teguvchi konussimon yuzaning qurilishi ko'rsatilgan. Konussimon sirtga g teggan har qanday a tekislik b sirtga teginish bo'ladi.

M" va M" nuqtalardan g sirtning proyeksiyalarini qurish uchun h" va f" aylanalarga - sharning proyeksiyalariga teginishlar o'tkazamiz. 1 (1" va 1"), 2 (2" va 2"), 3 (3" va 3") va 4 (4" va 4") teginish nuqtalarini belgilang. Doiraning gorizontal proyeksiyasi - konusning yuza va sharning teginish chizig'i [ 1"2"] ga proyeksiyalanadi, bu doira proyeksiyalarning frontal tekisligiga proyeksiyalanadigan ellips nuqtalarini topish uchun biz foydalanamiz. sharning parallellari.

Shaklda. 211 shu tarzda E va F (E" va F") nuqtalarning frontal proyeksiyalari aniqlanadi. Konussimon sirtga ega bo'lgan g, biz unga teginish a tekisligini quramiz. Grafikning tabiati va ketma-ketligi

Buning uchun bajarilishi kerak bo'lgan konstruktsiyalar quyidagi misolda keltirilgan.

2-MISAL Parabolik nuqtalar bilan b sirtga teguvchi a tekislik yasang.

1-misoldagi kabi ikkita yechimni ko'rib chiqamiz: a) N ∈ b nuqta; b) N ∉ b nuqta

Variant a (212-rasm).

Konussimon sirt deganda parabolik nuqtalari boʻlgan sirtlar tushuniladi (207-rasmga qarang.) Konussimon sirtga tegib turgan tekislik unga toʻgʻri chiziqli generatrix boʻylab tegadi.Uni qurish uchun quyidagilar zarur:

1) berilgan N nuqta orqali SN (S"N" va S"N" generatorini chizish;

2) generatrixning kesishish nuqtasini (SN) yo'riqnoma d bilan belgilang: (SN) ∩ d = A;

3) shuningdek, A nuqtada t dan d gacha bo'lgan tangensga zarba beradi.

Generator (SA) va uni kesib o'tuvchi t tangensi berilgan N* nuqtada konusning b sirtiga teguvchi a tekislikni aniqlaydi.

Konussimon sirtga teguvchi b va N nuqtadan o'tuvchi a tekislikni chizish uchun tegishli emas.

* b sirt parabolik nuqtalardan (S cho'qqisidan tashqari) iborat bo'lganligi uchun unga tegib turgan a tekislik umumiy N nuqtaga emas, balki to'g'ri chiziqqa (SN) ega bo'ladi.

berilgan sirtni bosish uchun quyidagilar kerak:

1) berilgan N nuqta va konussimon yuzaning S uchi b orqali a (a" va a") to'g'ri chiziqni o'tkazamiz;

2) bu to'g'ri chiziqning H a gorizontal izini aniqlang;

3) H a orqali h 0b egri chizig'ining t" 1 va t" 2 tangenslarini chizamiz - konusning sirtining gorizontal izi;

4) A (A" va A") va B (B" va B") teginish nuqtalarini S (S" va S") konusning sirtining cho'qqisiga ulang.

Kesishuvchi chiziqlar t 1, (AS) va t 2, (BS) kerakli tangens tekisliklarni aniqlaydi a 1 va a 2

O'RNAK 3. Giperbolik nuqtalar bilan b sirtga teginish a tekislik yasang.

K nuqtasi (214-rasm) globoid yuzasida (halqaning ichki yuzasi) joylashgan.

Tangens a tekisligining holatini aniqlash uchun quyidagilar zarur:

1) K nuqta orqali b h(h", h") sirtga parallel chizamiz;

2) K" nuqta orqali t" 1 (t" 1 ≡ h") teginishini chizamiz;

3) tangens proyeksiyalarining meridional kesimga yo‘nalishlarini aniqlash uchun K nuqta va sirt o‘qi orqali g tekislikni o‘tkazish kerak, gorizontal proyeksiya t” 2 h 0g ga to‘g‘ri keladi; qurish uchun. tangensning frontal proyeksiyasi t" 2, biz birinchi navbatda g tekislikni aylanish sirtining o'qi atrofida aylantirib, g 1 holatiga aylantiramiz || p 2. Bunda g tekislik bo'yicha meridional kesma frontal proyeksiyaning chap kontur yoyi - yarim doira g" bilan tekislanadi.

Meridional kesim egri chizig'iga tegishli K (K, K" nuqtasi K 1 (K" 1, K" 1) holatiga o'tadi. K" 1 orqali g 1 || tekislik bilan birlashtirilgan t" 2 1 tangensining frontal proyeksiyasini chizamiz. p 2 holati va uning kesishish nuqtasini aylanish o'qining frontal proyeksiyasi bilan belgilang S" 1. Biz g 1 tekislikni dastlabki holatiga qaytaramiz, K" 1 → K" nuqtasi (S" 1 ≡ S" nuqtasi) t" 2 tangensining frontal proyeksiyasi K" va S" nuqtalari bilan aniqlanadi.

t 1 va t 2 tangenslari l egri chizig'i bo'ylab b sirtni kesib o'tuvchi kerakli teginish tekisligini a aniqlaydi.

O'RNAK 4. K nuqtada b sirtga teguvchi a tekislik yasang. K nuqta bir varaqli aylanma giperboloid yuzasida joylashgan (215-rasm).

Bu muammoni oldingi misolda qo'llanilgan algoritmga rioya qilish yo'li bilan hal qilish mumkin, lekin bir varaqli inqilob giperboloidining yuzasi ikki to'g'ri chiziqli generatorlar oilasiga va har bir generatorga ega bo'lgan boshqariladigan sirt ekanligini hisobga olsak. oila boshqa oilaning barcha generatorlarini kesib o'tadi (32-§, 138-rasmga qarang). Ushbu sirtning har bir nuqtasi orqali ikkita kesishuvchi to'g'ri chiziq - generatorlar o'tkazilishi mumkin, ular bir vaqtning o'zida bir varaqli inqilob giperboloidining yuzasiga tegib turadi.

Bu tangenslar tangens tekisligini belgilaydi, ya'ni bir varaqli inqilob giperboloidining yuzasiga teguvchi tekislik bu sirtni ikkita g 1 va g 2 to'g'ri chiziq bo'ylab kesib o'tadi. Bu chiziqlarning proyeksiyalarini qurish uchun K nuqtaning gorizontal proyeksiyasini va t" 1 va t" 2 tangenslarini gorizontalga olib borish kifoya.

aylananing tal proyeksiyasi d" 2 - bir varaqli inqilob giperboloidi yuzasining tomog'i; t" 1 va t" 2 bir va d 1 yo'naltiruvchi yuzalarni kesishadigan 1" va 2 nuqtalarni aniqlang. 1" va 2" dan biz 1" va 2" ni topamiz, ular K" bilan birgalikda kerakli chiziqlarning frontal proyeksiyalarini aniqlaydi.

Formaning tenglamasi bilan aniqlangan sirtga ega bo'lsin

Keling, quyidagi ta'rifni kiritaylik.

Ta'rif 1. To'g'ri chiziq biror nuqtada sirtga teginish deyiladi, agar u bo'lsa

sirtda yotgan va nuqtadan o'tuvchi har qanday egri chiziqqa teginish.

Sirtda yotgan cheksiz ko'p turli xil egri chiziqlar P nuqtadan o'tganligi sababli, umuman olganda, bu nuqtadan o'tadigan sirtga cheksiz ko'p teglar bo'ladi.

Sirtning birlik va oddiy nuqtalari tushunchasini kiritamiz

Agar biror nuqtada uchta hosila ham nolga teng bo'lsa yoki bu hosilalardan kamida bittasi mavjud bo'lmasa, M nuqta sirtning yagona nuqtasi deyiladi. Agar biror nuqtada uchta hosila ham mavjud bo'lsa va uzluksiz bo'lsa va ulardan kamida bittasi noldan farq qilsa, u holda M nuqta sirtning oddiy nuqtasi deyiladi.

Endi biz quyidagi teoremani shakllantirishimiz mumkin.

Teorema. Berilgan sirtga (1) uning oddiy P nuqtasidagi barcha teginish chiziqlari bir tekislikda yotadi.

Isbot. Sirtning berilgan P nuqtasidan o'tuvchi sirtdagi ma'lum L chiziqni (206-rasm) ko'rib chiqaylik. Ko'rib chiqilayotgan egri chiziq parametrik tenglamalar bilan berilgan bo'lsin

Egri chiziqqa tegish sirtga teginish bo'ladi. Ushbu tangensning tenglamalari shaklga ega

Agar (2) ifodalar (1) tenglamaga almashtirilsa, bu tenglama t ga nisbatan bir xillikka aylanadi, chunki (2) egri chiziq (1) sirtida yotadi. Uni olishimiz bilan farqlash

Bu vektorning proyeksiyalari - P nuqtaning koordinatalariga bog'liq; E'tibor bering, P nuqta oddiy bo'lganligi sababli, P nuqtadagi bu proyeksiyalar bir vaqtning o'zida yo'qolmaydi va shuning uchun

P nuqtadan o'tuvchi va sirtda yotgan egri chiziqqa teginish. Bu vektorning proyeksiyalari tenglamalar (2) asosida P nuqtaga mos keladigan t parametr qiymatida hisoblanadi.

N vektorlarning bir xil nomdagi proyeksiyalar ko'paytmalari yig'indisiga teng bo'lgan skalyar mahsulotini hisoblaymiz:

Tenglikka (3) asoslanib, o'ng tomondagi ifoda nolga teng, shuning uchun

Oxirgi tenglikdan kelib chiqadiki, LG vektori va P nuqtadagi (2) egri chiziqqa teguvchi vektor perpendikulyar. Yuqoridagi mulohaza P nuqtadan o'tuvchi va sirtda yotgan har qanday egri chiziq (2) uchun amal qiladi. Binobarin, P nuqtadagi sirtga har bir tangens bir xil N vektorga perpendikulyar bo'ladi va shuning uchun barcha bu teglar LG vektoriga perpendikulyar bo'lgan bir tekislikda yotadi. Teorema isbotlangan.

Ta'rif 2. Uning berilgan P nuqtasidan o'tuvchi sirtdagi chiziqlarga barcha teginish chiziqlari joylashgan tekislik P nuqtadagi sirtga teguvchi tekislik deyiladi (207-rasm).

E'tibor bering, sirtning yagona nuqtalarida teginish tekisligi bo'lmasligi mumkin. Bunday nuqtalarda sirtga teguvchi chiziqlar bir tekislikda yotmasligi mumkin. Masalan, konussimon yuzaning cho'qqisi yagona nuqtadir.

Bu nuqtada konus yuzasiga teginishlar bir tekislikda yotmaydi (o'zlari konusning sirtini hosil qiladi).

Oddiy nuqtada (1) sirtga teginish tekisligi tenglamasini yozamiz. Bu tekislik (4) vektorga perpendikulyar bo'lganligi sababli, uning tenglamasi ko'rinishga ega

Agar sirt tenglamasi shaklda berilgan bo'lsa yoki bu holda tangens tekislik tenglamasi shaklni oladi.

Izoh. Agar formulani (6) qo'ysak, u holda bu formula shaklni oladi

uning o'ng tomoni funksiyaning to'liq differentsialidir. Demak, . Shunday qilib, x va y mustaqil o'zgaruvchilarning o'sishlariga to'g'ri keladigan nuqtadagi ikkita o'zgaruvchining funktsiyasining to'liq differensialligi bu funktsiyaning grafigi bo'lgan teginish tekisligining sirtga qo'llanilishining mos keladigan o'sishiga teng.

Ta'rif 3. Sirtdagi nuqtadan (1) teginish tekislikka perpendikulyar o'tkazilgan to'g'ri chiziq sirtga normal deyiladi (207-rasm).

Sirt koordinatalari ma'lum bir turdagi tenglamani qondiradigan nuqtalar to'plami sifatida aniqlanadi:

Agar funktsiya F (x , y , z) (\displaystyle F(x,\,y,\,z)) u bir nuqtada uzluksiz bo'lib, hech bo'lmaganda bittasi yo'qolmaydigan uzluksiz qisman hosilalarga ega bo'lsa, bu nuqtaga yaqin joyda (1) tenglama bilan berilgan sirt bo'ladi. to'g'ri sirt.

Yuqoridagilarga qo'shimcha ravishda aniq belgilashning yashirin usuli, sirtini aniqlash mumkin aniq, agar o'zgaruvchilardan biri, masalan, z, boshqalari bilan ifodalanishi mumkin bo'lsa:

Qattiqroq oddiy sirt birlik kvadrat ichki qismini gomeomorf xaritalash (ya'ni birma-bir va o'zaro uzluksiz xaritalash) tasviri deyiladi. Bu ta'rifga analitik ifoda berilishi mumkin.

Ichki nuqtalarining koordinatalari 0 tengsizliklarni qanoatlantiruvchi to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi u va v bo‘lgan tekislikda kvadrat berilgan bo‘lsin.< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

Misol oddiy sirt yarim shardir. Butun soha unday emas oddiy sirt. Bu sirt tushunchasini yanada umumlashtirishni taqozo etadi.

Bo'shliqning kichik to'plami, har bir nuqtasining qo'shnisi bor oddiy sirt, chaqirildi to'g'ri sirt .

Differensial geometriyadagi sirt

Helikoid

Katenoid

Metrik sirt shaklini yagona aniqlamaydi. Masalan, helikoid va katenoidning mos ravishda parametrlangan ko'rsatkichlari bir-biriga mos keladi, ya'ni ularning mintaqalari o'rtasida barcha uzunliklarni (izometriyani) saqlaydigan muvofiqlik mavjud. Izometrik o'zgarishlarda saqlanib qolgan xususiyatlar deyiladi ichki geometriya yuzalar. Ichki geometriya sirtning fazodagi holatiga bog'liq emas va uni tarangliksiz yoki siqilishsiz egilganda (masalan, silindrni konusga egilganda) o'zgarmaydi.

Metrik koeffitsientlar E , F , G (\displaystyle E,\ F,\ G) nafaqat barcha egri chiziqlar uzunligini, balki umuman sirt ichidagi barcha o'lchovlar natijalarini (burchaklar, maydonlar, egrilik va boshqalar) aniqlang. Shuning uchun, faqat metrikaga bog'liq bo'lgan hamma narsa ichki geometriyaga tegishli.

Oddiy va oddiy bo'lim

Sirt nuqtalarida normal vektorlar

Sirtning asosiy xususiyatlaridan biri uning normal- berilgan nuqtada tangens tekislikka perpendikulyar birlik vektor:

Normalning belgisi koordinatalarni tanlashga bog'liq.

Sirtning ma'lum bir nuqtada normal sirtini o'z ichiga olgan tekislik bilan kesmasi ma'lum bir egri chiziq hosil qiladi oddiy bo'lim yuzalar. Oddiy bo'lim uchun asosiy norma sirt uchun normalga to'g'ri keladi (belgiga qadar).

Agar sirtdagi egri chiziq normal kesma bo'lmasa, uning asosiy normali sirt normali bilan ma'lum bir burchak hosil qiladi. th (\displaystyle \theta). Keyin egrilik k (\displaystyle k) egrilik bilan bog'liq egri chiziq k n (\displaystyle k_(n)) Meunier formulasi bo'yicha normal kesma (bir xil tangens bilan):

Sirtni aniqlashning turli usullari uchun normal birlik vektorining koordinatalari jadvalda keltirilgan:

Bu yerga D (y , z) D (u , v) = | y u ' y v ' z u ' z v ' | , D (z , x) D (u , v) = | z u ' z v ' x u ' x v ' | , D (x, y) D (u, v) = | x u ' x v ' y u ' y v ' | (\displaystyle (\frac (D(y,z))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)y"_(u)&y"_(v)\\z"_(u) &z"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(z,x))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)z"_(u)&z" _(v)\\x"_(u)&x"_(v)\end(vmatritsa)),\quad (\frac (D(x,y))(D(u,v))))=(\ start(vmatrix)x"_(u)&x"_(v)\\y"_(u)&y"_(v)\end(vmatrix))).

Barcha hosilalar nuqtada olinadi (x 0 , y 0 , z 0) (\displaystyle (x_(0),y_(0),z_(0))).

Egrilik

Sirtning ma'lum bir nuqtasida turli yo'nalishlar uchun oddiy bo'limning turli egriligi olinadi, bu deyiladi normal egrilik; agar egri chiziqning asosiy normali sirtga normal bilan bir xil yo'nalishda ketsa, unga ortiqcha belgisi yoki normalarning yo'nalishlari qarama-qarshi bo'lsa, minus belgisi beriladi.

Umuman olganda, sirtning har bir nuqtasida ikkita perpendikulyar yo'nalish mavjud e 1 (\displaystyle e_(1)) Va e 2 (\displaystyle e_(2)), unda normal egrilik minimal va maksimal qiymatlarni oladi; bu yo'nalishlar deyiladi asosiy. Istisno, barcha yo'nalishlarda normal egrilik bir xil bo'lganda (masalan, shar yaqinida yoki inqilob ellipsoidining oxirida), u holda nuqtadagi barcha yo'nalishlar asosiy hisoblanadi.

Salbiy (chapda), nol (markazda) va ijobiy (o'ngda) egrilikka ega yuzalar.

Asosiy yo'nalishlarda oddiy egriliklar deyiladi asosiy egriliklar; ularni belgilaymiz k 1 (\displaystyle \kappa _(1)) Va k 2 (\displaystyle \kappa _(2)). Hajmi:

Gauss egriligi, umumiy egrilik yoki oddiygina sirt egriligi deb ataladi. Bu atama ham bor egrilik skalyar, bu egrilik tensorining konvolyutsiyasi natijasini nazarda tutadi; bunda egrilik skalyar Gauss egriligidan ikki barobar katta.

Gauss egriligini metrik orqali hisoblash mumkin va shuning uchun sirtlarning ichki geometriyasining ob'ekti hisoblanadi (asosiy egriliklar ichki geometriyaga tegishli emasligini unutmang). Siz egrilik belgisi asosida sirt nuqtalarini tasniflashingiz mumkin (rasmga qarang). Samolyotning egri chizig'i nolga teng. Radiusi R bo'lgan sharning egri chizig'i hamma joyda teng 1 R 2 (\displaystyle (\frac (1)(R^(2)))). Doimiy salbiy egrilik yuzasi ham mavjud -

Ya'ni, sarlavhada ko'rgan narsangiz haqida. Aslida, bu "fazoviy analog" tangens topish muammolari Va normalar bir o'zgaruvchining funksiyasi grafigiga va shuning uchun hech qanday qiyinchiliklar paydo bo'lmasligi kerak.

Keling, asosiy savollardan boshlaylik: tangens tekislik nima va normal narsa nima? Ko'pchilik bu tushunchalarni sezgi darajasida tushunadi. Aqlga keladigan eng oddiy model - bu yupqa tekis karton bo'lagi yotgan to'p. Karton sharga imkon qadar yaqin joylashgan va unga bir nuqtada tegib turadi. Bundan tashqari, aloqa nuqtasida u to'g'ridan-to'g'ri yopishgan igna bilan mahkamlanadi.

Nazariy jihatdan, teginish tekisligining juda aqlli ta'rifi mavjud. Bepul tasavvur qiling sirt va unga tegishli nuqta. Shubhasiz, nuqtadan ko'p narsa o'tadi fazoviy chiziqlar, bu sirtga tegishli. Kim qanday uyushmalarga ega? =) ...shaxsan men sakkizoyoqni tasavvur qildim. Faraz qilaylik, har bir bunday chiziq bor fazoviy tangens nuqtada.

Ta'rif 1: tangens tekisligi bir nuqtada sirtga - bu samolyot, berilgan sirtga tegishli bo'lgan va nuqtadan o'tadigan barcha egri chiziqlarga teglar mavjud.

Ta'rif 2: normal bir nuqtada sirtga - bu Streyt, tangens tekislikka perpendikulyar berilgan nuqtadan o'tish.

Oddiy va oqlangan. Aytgancha, materialning soddaligidan zerikishdan o'lmaslik uchun birozdan keyin men siz bilan turli xil ta'riflarni BIR VA HAMMAGA unutishga imkon beradigan bitta nafis sirni baham ko'raman.

Keling, aniq misol yordamida ishchi formulalar va yechim algoritmi bilan tanishamiz. Muammolarning ko'pchiligida tangens tekislik tenglamasini ham, normal tenglamani ham qurish kerak:

1-misol

Yechim:agar sirt tenglama bilan berilgan bo'lsa (ya'ni bilvosita), u holda nuqtadagi berilgan sirtga teginish tekisligining tenglamasini quyidagi formula yordamida topish mumkin:

Men g'ayrioddiy qisman hosilalarga alohida e'tibor beraman - ularning chalkashmaslik kerak Bilan aniq belgilangan funktsiyaning qisman hosilalari (garchi sirt aniq ko'rsatilgan bo'lsa ham). Ushbu lotinlarni topayotganda, unga amal qilish kerak uchta o'zgaruvchili funktsiyani farqlash qoidalari, ya'ni har qanday o'zgaruvchiga nisbatan farqlashda qolgan ikkita harf doimiy hisoblanadi:

Kassadan chiqmasdan, biz qisman hosilani quyidagi nuqtada topamiz:

Xuddi shunday:

Bu qarorning eng yoqimsiz lahzasi edi, unda xatolik, agar ruxsat berilmasa, doimo paydo bo'ladi. Biroq, bu erda men sinfda gaplashgan samarali tekshirish texnikasi mavjud. Yo'nalishli hosila va gradient.

Barcha "ingrediyentlar" topildi va endi keyingi soddalashtirishlar bilan ehtiyotkorlik bilan almashtirish kerak:

– umumiy tenglama kerakli tangens tekisligi.

Men yechimning ushbu bosqichini ham tekshirishni qat'iy tavsiya qilaman. Avval tangens nuqtasining koordinatalari topilgan tenglamani haqiqatan ham qondirishiga ishonch hosil qilishingiz kerak:

- haqiqiy tenglik.

Endi biz tekislikning umumiy tenglamasining koeffitsientlarini "olib tashlaymiz" va ularni mos keladigan qiymatlar bilan mos kelishi yoki proportsionalligi uchun tekshiramiz. Bunday holda, ular proportsionaldir. Siz eslaganingizdek analitik geometriya kursi, - Bu normal vektor tangens tekislik, va u ham hidoyat vektori oddiy to'g'ri chiziq. Keling, tuzamiz kanonik tenglamalar nuqta va yo'nalish vektori bo'yicha normallar:

Asos sifatida, denominatorlarni ikkiga qisqartirish mumkin, ammo bunga alohida ehtiyoj yo'q

Javob:

Tenglamalarni ba'zi harflar bilan belgilash taqiqlangan emas, lekin yana nima uchun? Bu erda nima ekanligi allaqachon aniq.

Quyidagi ikkita misol siz o'zingiz hal qilishingiz uchun. Kichkina "matematik tilni burish":

2-misol

Nuqtadagi sirtga teguvchi tekislik va normal tenglamalarni toping.

Va texnik nuqtai nazardan qiziqarli vazifa:

3-misol

Tangens tekislik va nuqtadagi sirtga normal tenglamalarni yozing

Shu nuqtada.

Yozib olishda nafaqat chalkashmaslik, balki qiyinchiliklarga duch kelish uchun barcha imkoniyatlar mavjud chiziqning kanonik tenglamalari. Oddiy tenglamalar, ehtimol siz tushunganingizdek, odatda ushbu shaklda yoziladi. Garchi ba'zi nuanslarni unutish yoki bilmaslik tufayli parametrik shakl maqbulroqdir.

Dars oxirida yechimlarning yakuniy bajarilishining taxminiy misollari.

Sirtning istalgan nuqtasida teginish tekisligi bormi? Umuman olganda, albatta, yo'q. Klassik misol konusning yuzasi va nuqta - bu nuqtadagi tangenslar to'g'ridan-to'g'ri konusning sirtini hosil qiladi va, albatta, bir tekislikda yotmaydi. Analitik tarzda biror narsa noto'g'ri ekanligini tekshirish oson: .

Muammolarning yana bir manbai bu fakt yo'qlik nuqtadagi har qanday qisman hosila. Biroq, bu ma'lum bir nuqtada bitta tangens tekislik yo'q degani emas.

Ammo bu amaliy ahamiyatga ega bo'lgan ma'lumotlardan ko'ra ko'proq ilmiy ommabop edi va biz dolzarb masalalarga qaytamiz:

Tangens tekislik va nuqtadagi normal tenglamalarni qanday yozish kerak,
sirt aniq funksiya bilan ko'rsatilgan bo'lsa?

Keling, buni bilvosita qayta yozamiz:

Xuddi shu printsiplardan foydalanib, biz qisman hosilalarni topamiz:

Shunday qilib, tangens tekislik formulasi quyidagi tenglamaga aylantiriladi:

Va shunga ko'ra, kanonik normal tenglamalar:

Siz taxmin qilganingizdek, - bular allaqachon "haqiqiy" ikki oʻzgaruvchili funksiyaning qisman hosilalari Biz “z” harfi bilan belgilagan va 100500 marta topilgan nuqtada.

E'tibor bering, ushbu maqolada birinchi formulani eslab qolish kifoya, agar kerak bo'lsa, undan boshqa hamma narsani olish oson. (albatta, asosiy tayyorgarlik darajasiga ega). Aniq fanlarni o'rganishda aynan shu yondashuvdan foydalanish kerak, ya'ni. minimal ma'lumotlardan biz maksimal xulosa va oqibatlarni "chiqarish" ga intilishimiz kerak. "Ko'rib chiqish" va mavjud bilimlar yordam beradi! Bu tamoyil ham foydalidir, chunki u sizni juda kam bilganingizda, sizni tanqidiy vaziyatda qutqaradi.

Keling, bir nechta misollar bilan "o'zgartirilgan" formulalarni ishlab chiqaylik:

4-misol

Tangens tekislik va sirtga normal tenglamalarni yozing nuqtada.

Bu yerda yozuvlar bilan biroz qoplanish bor - endi harf samolyotdagi nuqtani bildiradi, lekin siz nima qila olasiz - shunday mashhur xat ...

Yechim: formula yordamida kerakli tangens tekislik tenglamasini tuzamiz:

Funktsiyaning nuqtadagi qiymatini hisoblaymiz:

Keling, hisoblaylik 1-tartibli qisman hosilalar ayni paytda:

Shunday qilib:

ehtiyotkorlik bilan, shoshilmang:

Nuqtadagi normalning kanonik tenglamalarini yozamiz:

Javob:

Va o'zingizning yechimingiz uchun yakuniy misol:

5-misol

Nuqtadagi sirtga teginish tekisligi va normal uchun tenglamalarni yozing.

Yakuniy - chunki men deyarli barcha texnik jihatlarni tushuntirdim va qo'shadigan maxsus narsa yo'q. Hatto ushbu vazifada taklif qilingan funktsiyalarning o'zi ham zerikarli va monotondir - amalda siz "ko'pnom" ga duch kelishingiz deyarli kafolatlanadi va shu ma'noda eksponentli 2-misol "qora qo'y" ga o'xshaydi. Aytgancha, tenglama bilan aniqlangan sirtga duch kelish ehtimoli ko'proq va bu funktsiya maqolaga ikkinchi raqam sifatida kiritilganining yana bir sababidir.

Va nihoyat, va'da qilingan sir: qanday qilib ta'riflarni siqishdan qochish kerak? (Men, albatta, imtihon oldidan talaba qizib ketayotganini nazarda tutmayapman)

Har qanday tushuncha/hodisa/obyektning ta’rifi, eng avvalo, quyidagi savolga javob beradi: BU NIMA? (kim/bunday/bunday/). Ongli ravishda Bu savolga javob berayotganda, mulohaza yuritishga harakat qilish kerak muhim belgilar, albatta ma'lum bir kontseptsiyani / hodisani / ob'ektni aniqlash. Ha, dastlab bu biroz tilga bog'langan, noto'g'ri va ortiqcha bo'lib chiqadi (o'qituvchi sizni tuzatadi =)), lekin vaqt o'tishi bilan juda munosib ilmiy nutq rivojlanadi.

Eng mavhum ob'ektlar ustida mashq qiling, masalan, savolga javob bering: Cheburashka kim? Bu unchalik oddiy emas ;-) Bu "katta quloqlari, ko'zlari va jigarrang mo'ynali ertak qahramoni"mi? Ta'rifdan uzoq va juda uzoq - bunday xususiyatlarga ega qahramonlar borligini hech qachon bilmaysiz ... Ammo bu ta'rifga yaqinroq: "Cheburashka - 1966 yilda yozuvchi Eduard Uspenskiy tomonidan ixtiro qilingan personaj, u ... (asosiy farqlovchi xususiyatlar ro'yxati)". Bu qanchalik yaxshi boshlanganiga e'tibor bering