Logarifmlarning xossalari va ularni yechishga misollar. Keng qamrovli qoʻllanma (2019). Logarifmlarning asosiy xossasi va uning oqibatlari

A asosli logarifm y ning funksiyasidir (x) = log a x, a asosli ko'rsatkichli funktsiyaga teskari: x (y) = a y.

O'nlik logarifm son asosining logarifmidir 10 : log x ≡ log 10 x.

Tabiiy logarifm e ning asosining logarifmi: ln x ≡ log e x.

2,718281828459045... ;
.

Logarifmning grafigi ko‘rsatkichli funksiya grafigidan uni y = x to‘g‘ri chiziqqa nisbatan aks ettirib olinadi. Chap tomonda y funksiyaning grafiklari joylashgan (x) = log a x to'rtta qiymat uchun logarifm asoslari: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 va a = 1/8 . Grafik shuni ko'rsatadiki, a > bo'lganda 1 logarifm monoton ravishda ortadi. X ortishi bilan o'sish sezilarli darajada sekinlashadi. Da 0 < a < 1 logarifm monoton ravishda kamayadi.

Logarifmning xossalari

Domen, qiymatlar to‘plami, ortib borayotgan, kamayuvchi

Logarifm monotonik funktsiyadir, shuning uchun uning ekstremasi yo'q. Logarifmning asosiy xususiyatlari jadvalda keltirilgan.

Shaxsiy qadriyatlar

10 asosga logarifm deyiladi o'nlik logarifm va quyidagicha ifodalanadi:

Logarifmdan asosga e chaqirdi tabiiy logarifm:

Logarifmlar uchun asosiy formulalar

Teskari funktsiyani aniqlashdan kelib chiqadigan logarifmning xususiyatlari:

Logarifmlarning asosiy xossasi va uning oqibatlari

Asosiy almashtirish formulasi

Logarifm logarifm olishning matematik amalidir. Logarifmlarni qabul qilishda omillarning ko'paytmalari hadlar yig'indisiga aylantiriladi.

Potentsiyalash logarifmning teskari matematik amalidir. Potentsiyalash vaqtida berilgan baza potentsiallash amalga oshiriladigan ifoda darajasiga ko'tariladi. Bunda atamalar yig'indisi omillar mahsulotiga aylanadi.

Logarifmlar uchun asosiy formulalarni isbotlash

Logarifmlar bilan bog'liq formulalar ko'rsatkichli funktsiyalar formulalaridan va teskari funktsiyaning ta'rifidan kelib chiqadi.

Ko'rsatkichli funktsiyaning xususiyatini ko'rib chiqing
.
Keyin
.
Ko‘rsatkichli funksiyaning xossasini qo‘llaymiz
:
.

Keling, bazani almashtirish formulasini isbotlaylik.
;
.
c = b deb faraz qilsak, bizda:

Teskari funksiya

Logarifmning a asosiga teskari ko‘rsatkichi a bo‘lgan ko‘rsatkichli funktsiyadir.

Agar , keyin

Agar , keyin

Logarifmning hosilasi

X modulining logarifmining hosilasi:
.
n-tartibning hosilasi:
.
Formulalarni chiqarish > > >

Logarifmaning hosilasini topish uchun uni asosga qisqartirish kerak e.
;
.

Integral

Logarifmning integrali qismlar bo'yicha integrallash orqali hisoblanadi: .
Shunday qilib,

Kompleks sonlar yordamida ifodalar

Kompleks sonlar funktsiyasini ko'rib chiqing z:
.
Kompleks sonni ifodalaylik z modul orqali r va argument φ :
.
Keyin, logarifmning xususiyatlaridan foydalanib, biz quyidagilarga ega bo'lamiz:
.
Yoki

Biroq, argument φ yagona belgilanmagan. Agar qo'ysangiz
, bu yerda n butun son,
keyin har xil uchun bir xil raqam bo'ladi n.

Demak, logarifm kompleks o‘zgaruvchining funksiyasi sifatida bir qiymatli funksiya emas.

Quvvat seriyasining kengayishi

Kengaytirish qachon sodir bo'ladi:

Adabiyotlar:
I.N. Bronshteyn, K.A. Semendyaev, muhandislar va kollej talabalari uchun matematika bo'yicha qo'llanma, "Lan", 2009 yil.

Logarifmik tenglamalar. Biz matematikadan Yagona davlat imtihonining B qismidagi muammolarni ko'rib chiqishda davom etamiz. Biz allaqachon "", "" maqolalarida ba'zi tenglamalarning echimlarini ko'rib chiqdik. Ushbu maqolada biz logarifmik tenglamalarni ko'rib chiqamiz. Darhol aytamanki, Yagona davlat imtihonida bunday tenglamalarni echishda murakkab o'zgarishlar bo'lmaydi. Ular oddiy.

Asosiy logarifmik identifikatsiyani bilish va tushunish, logarifmning xususiyatlarini bilish kifoya. Shuni esda tutingki, uni yechganingizdan so'ng siz tekshirishingiz kerak - natijada olingan qiymatni asl tenglamaga almashtiring va hisoblang, oxirida siz to'g'ri tenglikni olishingiz kerak.

Ta'rif:

Sonning b asosiga logarifmi ko'rsatkichdir,a olish uchun b ni ko'tarish kerak.

Masalan:

Jurnal 3 9 = 2, chunki 3 2 = 9

Logarifmlarning xossalari:

Logarifmlarning maxsus holatlari:

Keling, muammolarni hal qilaylik. Birinchi misolda biz tekshirishni amalga oshiramiz. Kelajakda buni o'zingiz tekshiring.

Tenglamaning ildizini toping: log 3 (4–x) = 4

log b a = x b x = a ekan, u holda

3 4 = 4 - x

x = 4 – 81

x = – 77

Imtihon:

log 3 (4–(–77)) = 4

log 3 81 = 4

3 4 = 81 To'g'ri.

Javob: – 77

O'zingiz qaror qiling:

Tenglamaning ildizini toping: log 2 (4 – x) = 7

Jurnal 5 tenglamaning ildizini toping(4 + x) = 2

Biz asosiy logarifmik identifikatsiyadan foydalanamiz.

log a b = x b x = a ekan, u holda

5 2 = 4 + x

x =5 2 – 4

x = 21

Imtihon:

log 5 (4 + 21) = 2

log 5 25 = 2

5 2 = 25 To'g'ri.

Javob: 21

log 3 (14 – x) = log 3 5 tenglamaning ildizini toping.

Quyidagi xossa sodir bo'ladi, uning ma'nosi quyidagicha: agar tenglamaning chap va o'ng tomonida bir xil asosli logarifmlar mavjud bo'lsa, u holda logarifmlarning belgilari ostidagi ifodalarni tenglashtirishimiz mumkin.

14 - x = 5

x=9

Tekshirish qiling.

Javob: 9

O'zingiz qaror qiling:

log 5 (5 – x) = log 5 3 tenglamaning ildizini toping.

Tenglamaning ildizini toping: log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15).

Agar log c a = log c b, u holda a = b

x + 3 = 4x – 15

3x = 18

x=6

Tekshirish qiling.

Javob: 6

log 1/8 (13 – x) = – 2 tenglamaning ildizini toping.

(1/8) –2 = 13 – x

8 2 = 13 - x

x = 13 – 64

x = – 51

Tekshirish qiling.

Kichkina qo'shimcha - bu erda mulk ishlatiladi

daraja ().

Javob: - 51

O'zingiz qaror qiling:

Tenglamaning ildizini toping: log 1/7 (7 – x) = – 2

log 2 (4 – x) = 2 log 2 5 tenglamaning ildizini toping.

Keling, o'ng tomonni o'zgartiraylik. Keling, mulkdan foydalanamiz:

log a b m = m∙log a b

log 2 (4 – x) = log 2 5 2

Agar log c a = log c b, u holda a = b

4 – x = 5 2

4 – x = 25

x = – 21

Tekshirish qiling.

Javob: - 21

O'zingiz qaror qiling:

Tenglamaning ildizini toping: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3

log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11) tenglamasini yeching.

Agar log c a = log c b, u holda a = b

x 2 + 4x = x 2 + 11

4x = 11

x = 2,75

Tekshirish qiling.

Javob: 2.75

O'zingiz qaror qiling:

log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10) tenglamaning ildizini toping.

log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1 tenglamasini yeching.

Tenglamaning o'ng tomonidagi shaklning ifodasini olish kerak:

jurnal 2 (......)

Biz 1 ni 2 ta logarifm sifatida ifodalaymiz:

1 = log 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) + log 2 2

Biz olamiz:

log 2 (2 – x) = log 2 2 (2 – 3x)

Agar log c a = log c b, keyin a = b, keyin

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x = 0,4

Tekshirish qiling.

Javob: 0,4

O'zingiz qaror qiling: Keyin kvadrat tenglamani echishingiz kerak. Aytmoqchi,

ildizlari 6 va – 4.

Ildiz "-4" yechim emas, chunki logarifmning asosi noldan katta bo'lishi kerak va " bilan"– 4 "bu teng" – 5". Yechim ildiz 6.Tekshirish qiling.

Javob: 6.

R o'zingiz ovqatlaning:

Jurnal x –5 49 = 2 tenglamani yeching. Agar tenglamada bir nechta ildiz bo‘lsa, kichikroq bilan javob bering.

Ko'rib turganingizdek, hech qanday murakkab o'zgarishlar yo'q logarifmik tenglamalar Yo'q. Logarifmning xususiyatlarini bilish va ularni qo'llay olish kifoya. Logarifmik ifodalarni o'zgartirish bilan bog'liq USE masalalarida jiddiyroq transformatsiyalar amalga oshiriladi va echishda chuqurroq ko'nikmalar talab etiladi. Biz bunday misollarni ko'rib chiqamiz, ularni o'tkazib yubormang!Sizga muvaffaqiyatlar tilayman!!!

Hurmat bilan, Aleksandr Krutitskix.

P.S: Ijtimoiy tarmoqlardagi sayt haqida ma'lumot bersangiz, minnatdor bo'lardim.

KO'RSATMA VA LOGARITMIK FUNKSIYALAR VIII

§ 184. Daraja va ildizning logarifmi

Teorema 1. Musbat sonning darajasining logarifmi bu darajaning ko'rsatkichi va uning asosining logarifmi ko'paytmasiga teng.

Boshqacha aytganda, agar A Va X ijobiy va A =/= 1, keyin har qanday haqiqiy son uchun k

jurnal a x k = k jurnal a x . (1)

Ushbu formulani isbotlash uchun buni ko'rsatish kifoya

= a k jurnal a x . (2)

= x k

a k jurnal a x = (a jurnal a x ) k = x k .

Bu (2) formulaning haqiqiyligini anglatadi va shuning uchun (1).

E'tibor bering, agar raqam k tabiiy ( k = n ), u holda (1) formula formulaning maxsus holatidir

jurnal a (x 1 x 2 x 3 ... x n ) = jurnal a x 1 + jurnal a x 2 + log a x 3 + ...log a x n .

oldingi bandda isbotlangan. Haqiqatan ham, bu formulada faraz qilsak

x 1 = x 2 = ... = x n = x ,

olamiz:

jurnal a x n = n jurnal a x .

1) log 3 25 = log 3 5 2 = 2 log 3 5;

2) log 3 2 √ 3 = √3 log 3 2.

Salbiy qiymatlar uchun X (1) formula o'z ma'nosini yo'qotadi. Masalan, log 2 (-4) 2 = 2 log 2 (- 4) ni yoza olmaysiz, chunki log 2 (-4) ifodasi aniqlanmagan. E'tibor bering, ushbu formulaning chap tomonidagi ifoda quyidagi ma'noga ega:

log 2 (-4) 2 = log 2 16 = 4.

Umuman olganda, agar raqam bo'lsa X salbiy, keyin ifoda jurnali a x 2k = 2k jurnal a x chunki aniqlanadi x 2k > 0. Ifodasi 2 ga teng k jurnal a x bu holda hech qanday ma'no yo'q. Shuning uchun yozing

Jurnal a x 2k = 2k jurnal a x

bu taqiqlangan. Biroq, siz yozishingiz mumkin

jurnal a x 2k = 2k jurnal a | x | (3)

Bu formulani (1) dan osongina olish mumkin, buni hisobga olgan holda

x 2k = | x | 2k

Masalan,

log 3 (-3) 4 = 4 log 3 | -3 | = 4 log 3 3 = 4.

Teorema 2. Musbat sonning ildizining logarifmi radikal ifodaning ildiz darajasiga bo'lingan logarifmiga teng.

Boshqacha qilib aytganda, raqamlar bo'lsa A Va X ijobiydir A =/= 1 va P u natural sondir

jurnal a n √x = 1 / n jurnal a x

Haqiqatan ham, n √x = . Shunday qilib, 1-teorema bo'yicha

jurnal a n √x =log a = 1 / n jurnal a x .

1) log 3 √8 = 1/2 log 3 8; 2) log 2 5 √27 = 1 / 5 log 2 27.

Mashqlar

1408. Agar asosini o‘zgartirmagan holda sonning logarifmi qanday o‘zgaradi?

a) sonning kvadrati;

b) sonning kvadrat ildizini oling?

1409. Jurnal 2 farqi qanday o'zgaradi? a - jurnal 2 b , raqamlar bo'lsa A Va b mos ravishda almashtiring:

A) A 3 va b 3; b) 3 A va 3 b ?

1410. log 10 2 ≈ 0,3010, log 10 3 ≈ 0,4771 ekanligini bilib, 10 asosning logarifmlarini toping:

8; 9; 3 √2 ; 3 √6 ; 0,5; 1 / 9

1411. Geometrik progressiyaning ketma-ket hadlarining logarifmlari arifmetik progressiya hosil qilishini isbotlang.

1412. Funksiyalar bir-biridan farq qiladimi?

da = jurnal 3 X 2 va da = 2 log 3 X

Bu funksiyalarning grafiklarini tuzing.

1413. Quyidagi o‘zgartirishlardagi xatoni toping:

log 2 1/3 = log 2 1/3

2log 2 1/3 > log 2 1/3;

log 2 (1/3) 2 > log 2 1/3

(1 / 3) 2 > 1 / 3 ;