Sinus (sin x) va kosinus (cos x) - xususiyatlar, grafiklar, formulalar. Kosinus teoremasining formulasi va isboti Kosinus teoremasining formulasi

Bir nuqtada markazlashtirilgan A.
α - radianlarda ifodalangan burchak.

Ta'rif
Sinus (sin a) gipotenuza va to'g'ri burchakli uchburchakning oyog'i orasidagi a burchakka bog'liq bo'lgan trigonometrik funktsiya, qarama-qarshi oyoq uzunligining nisbatiga teng |BC| gipotenuzaning uzunligiga |AC|.

Kosinus (cos a) gipotenuza va to‘g‘ri burchakli uchburchakning oyog‘i orasidagi a burchakka bog‘liq bo‘lgan trigonometrik funksiya bo‘lib, qo‘shni oyoq uzunligining nisbatiga teng |AB| gipotenuzaning uzunligiga |AC|.

Qabul qilingan belgilar

;
;
.

;
;
.

Sinus funksiya grafigi, y = sin x

Kosinus funksiyasining grafigi, y = cos x

Sinus va kosinusning xossalari

Davriylik

Funktsiyalar y = gunoh x va y = chunki x davr bilan davriy 2p.

Paritet

Sinus funktsiyasi g'alati. Kosinus funksiyasi juft.

Ta'rif va qadriyatlar sohasi, ekstremal, o'sish, pasayish

Sinus va kosinus funktsiyalari o'z ta'rif sohalarida uzluksizdir, ya'ni barcha x uchun (uzluksizlik isbotiga qarang). Ularning asosiy xossalari jadvalda keltirilgan (n - butun son).

Asosiy formulalar

Sinus va kosinus kvadratlarining yig'indisi

Yig'indi va farqdan sinus va kosinus formulalari

;
;

Sinuslar va kosinuslar hosilasi uchun formulalar

Yig'indi va ayirma formulalari

Kosinus orqali sinusni ifodalash

;
;
;
.

Kosinusni sinus orqali ifodalash

;
;
;
.

Tangens orqali ifodalash

; .

Qachon, bizda:
; .

Da :
; .

Sinuslar va kosinuslar, tangenslar va kotangentlar jadvali

Ushbu jadvalda argumentning ma'lum qiymatlari uchun sinuslar va kosinuslar qiymatlari ko'rsatilgan.

Murakkab o'zgaruvchilar orqali ifodalar

;

Eyler formulasi

Giperbolik funksiyalar orqali ifodalar

;
;

Hosilalar

; . Formulalarni chiqarish > > >

n-tartibli hosilalar:
{ -∞ < x < +∞ }

Sekant, kosekant

Teskari funksiyalar

Sinus va kosinusning teskari funksiyalari mos ravishda arksinus va arkkosindir.

Arksin, arksin

Arkkosin, arkkos

Adabiyotlar:
I.N. Bronshteyn, K.A. Semendyaev, muhandislar va kollej talabalari uchun matematika bo'yicha qo'llanma, "Lan", 2009 yil.

Kosinus teoremasi— Evklid geometriyasining Pifagor teoremasini umumlashtiruvchi teorema.

Kosinus teoremasi:

Tomonlari tekis uchburchak uchun a, b, c va burchak α , bu yon tomonga qarama-qarshi a, quyidagi munosabat amal qiladi:

a 2 = b 2 + c 2 - 2 miloddan avvalgi cosa.

Uchburchakning bir tomonining kvadrati qolgan 2 tomonining kvadratlari yig'indisidan shu tomonlarning ikki barobar ko'paytmasi va ular orasidagi burchakning kosinusiga teng.

Kosinus teoremasining xulosasi.

• Aniqlash uchun kosinus teoremasidan foydalaniladi cos uchburchak burchagi:

Aniq bo'lish uchun:

• Qachon b 2 + c 2 - a 2 > 0 , burchak α achchiq bo'ladi;
• Qachon b 2 + c 2 - a 2 = 0 , burchak α to'g'ri bo'ladi (burchak bo'lganda α to'g'ridan-to'g'ri, ya'ni kosinus teoremasi Pifagor teoremasiga kiradi);
• Qachon b 2 + c 2 - a 2 < 0 , burchak α ahmoq bo'ladi.

Kosinus teoremasining klassik isboti.

Uchburchak bo'lsin ABC. Yuqoridan C yon tomonga AB balandlikni tushirdi CD. Ma'nosi:

AD = b cos a,

DB = c - b cos a

2 ta to'g'ri burchakli uchburchak uchun Pifagor teoremasini yozamiz ADC Va BDC:

h 2 = b 2 - (b cos a) 2 (1)

h 2 = a 2 - (c - b cos a) 2 (2)

(1) va (2) tenglamalarning o'ng tomonlarini tenglashtiramiz:

b 2 - (b cos a) 2 = a 2 - (c - b cos a) 2

a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos a.

Agar taglikdagi burchaklardan 1 tasi o'tmas bo'lsa (balandligi poydevorning davomiga to'g'ri keladigan bo'lsa), u yuqorida muhokama qilinganga butunlay o'xshaydi.

Tomonlarni aniqlang b Va c:

b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos b

c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos g.

Hamma maktab o'quvchilari, ayniqsa kattalar ham kosinus teoremasi Pifagor teoremasi bilan bevosita bog'liqligini bilishmaydi. Aniqrog'i, ikkinchisi birinchisining alohida ishi. Bu nuqta, shuningdek, kosinus teoremasini isbotlashning ikkita usuli sizga ko'proq bilimdon odam bo'lishga yordam beradi. Bundan tashqari, boshlang'ich ifodalardan miqdorlarni ifodalashda mashq qilish mantiqiy fikrlashni yaxshi rivojlantiradi. O'rganilayotgan teoremaning uzun formulasi, albatta, sizni qattiq ishlashga va yaxshilashga majbur qiladi.

Suhbatni boshlash: notalarni kiritish

Bu teorema ixtiyoriy uchburchak uchun tuzilgan va isbotlangan. Shuning uchun, u har doim, har qanday vaziyatda, agar ikki tomon berilgan bo'lsa va ba'zi hollarda uchta va burchak bo'lsa va ular orasidagi shart emas, ishlatilishi mumkin. Uchburchakning turi qanday bo'lishidan qat'i nazar, teorema har doim ishlaydi.

Va endi barcha ifodalarda miqdorlarni belgilash haqida. Keyinchalik bir necha marta tushuntirishga to'g'ri kelmaslik uchun darhol rozi bo'lish yaxshiroqdir. Buning uchun quyidagi jadval tuzildi.

Formulyatsiya va matematik belgilar

Demak, kosinuslar teoremasi quyidagicha tuzilgan:

Har qanday uchburchakning bir tomonining kvadrati uning boshqa ikki tomonining kvadratlari yig'indisiga, shu tomonlarning ikki barobar ko'paytmasi va ular orasidagi burchakning kosinusiga teng.

Albatta, bu uzoq, lekin uning mohiyatini tushunsangiz, eslab qolish oson bo'ladi. Siz hatto uchburchak chizishni tasavvur qilishingiz mumkin. Vizual ravishda eslab qolish har doim osonroq.

Ushbu teoremaning formulasi quyidagicha ko'rinadi:

Bir oz uzoq, lekin hamma narsa mantiqiy. Agar siz biroz diqqat bilan qarasangiz, harflar takrorlanganligini ko'rishingiz mumkin, ya'ni eslab qolish qiyin emas.

Teoremaning umumiy isboti

Bu barcha uchburchaklar uchun to'g'ri bo'lgani uchun, fikr yuritish uchun har qanday turni tanlashingiz mumkin. Bu barcha o'tkir burchaklari bo'lgan raqam bo'lsin. C burchagi B burchakdan katta bo'lgan ixtiyoriy o'tkir burchakli uchburchakni ko'rib chiqaylik. Bu katta burchakka ega cho'qqidan qarama-qarshi tomonga perpendikulyar tushirish kerak. Chizilgan balandlik uchburchakni ikkita to'rtburchakka bo'ladi. Bu dalil uchun talab qilinadi.

Yon ikki qismga bo'linadi: x, y. Ular ma'lum miqdorlarda ifodalanishi kerak. Gipotenuzasi b ga teng bo'lgan uchburchakda tugaydigan qism quyidagi belgilar bilan ifodalanadi:

x = b * cos A.

Ikkinchisi bu farqga teng bo'ladi:

y = c - in * cos A.

Endi siz balandlikni noma'lum qiymat sifatida qabul qilib, ikkita to'g'ri burchakli uchburchak uchun Pifagor teoremasini yozishingiz kerak. Ushbu formulalar quyidagicha ko'rinadi:

n 2 = 2 da - (* cos A da) 2,

n 2 = a 2 - (c - b * cos A) 2.

Bu tengliklar chap tomonda bir xil ifodalarni o'z ichiga oladi. Bu ularning o'ng tomonlari ham teng bo'lishini anglatadi. Uni yozib olish oson. Endi siz qavslarni ochishingiz kerak:

2 da - 2da * (cos A) 2 = a 2 - c 2 + 2 c * in * cos A - 2 da * (cos A) 2.

Agar shu yerda o'xshash atamalarni ko'chirish va kamaytirishni amalga oshirsangiz, siz formuladan keyin yoziladigan dastlabki formulani, ya'ni kosinus teoremasini olasiz. Dalil to'liq.

Teoremani vektorlar yordamida isbotlash

Bu avvalgisidan ancha qisqaroq. Va agar siz vektorlarning xususiyatlarini bilsangiz, u holda uchburchak uchun kosinus teoremasi oddiygina isbotlangan bo'ladi.

Agar a, b, c tomonlari mos ravishda BC, AC va AB vektorlari bilan belgilansa, tenglik bajariladi:

BC = AC - AB.

Endi siz bir necha qadamlarni bajarishingiz kerak. Ulardan birinchisi tenglikning ikkala tomonini kvadratga solishdir:

BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB.

Keyin vektorlarning mahsuloti ular orasidagi burchakning kosinusiga va ularning skalyar qiymatlariga teng ekanligini hisobga olib, tenglikni skaler shaklda qayta yozish kerak:

BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB * cos A.

Faqat eski belgiga qaytish qoladi va biz yana kosinus teoremasini olamiz:

a 2 = b 2 + c 2 - 2 * b * c * cos A.

Boshqa tomonlar va barcha burchaklar uchun formulalar

Yon tomonni topish uchun kosinus teoremasining kvadrat ildizini olish kerak. Boshqa tomonlardan birining kvadratlari uchun formula quyidagicha ko'rinadi:

c 2 = a 2 + b 2 - 2 * a * b * cos C.

Tomonning kvadrati ifodasini yozish V, oldingi tenglikda almashtirishingiz kerak Bilan yoqilgan V, va aksincha va B burchagini kosinus ostiga qo'ying.

Teoremaning asosiy formulasidan A burchak kosinusining qiymatini ifodalashimiz mumkin:

cos A = (2 + c 2 da - a 2) / (2 da * c).

Boshqa burchaklar uchun formulalar xuddi shunday olingan. Ularni o'zingiz yozishga harakat qilish yaxshi amaliyotdir.

Tabiiyki, bu formulalarni yodlashning hojati yo'q. Teoremani tushunish va bu ifodalarni uning asosiy belgisidan chiqarish qobiliyatini tushunish kifoya.

Teoremaning asl formulasi, agar burchak ikki ma'lum burchak o'rtasida yotmasa, tomonni topishga imkon beradi. Masalan, siz topishingiz kerak V, qiymatlar berilganda: a, c, A. Yoki noma'lum Bilan, lekin ma'nolari bor a, b, A.

Bunday vaziyatda formulaning barcha shartlarini chapga siljitish kerak. Siz quyidagi tenglikni olasiz:

s 2 - 2 * v * s * cos A + v 2 - a 2 = 0.

Keling, uni biroz boshqacha shaklda qayta yozamiz:

c 2 - (2 * in * cos A) * c + (2 - a 2da) = 0.

Kvadrat tenglamani osongina ko'rishingiz mumkin. Unda noma'lum miqdor bor - Bilan, qolganlari esa beriladi. Shuning uchun uni diskriminant yordamida hal qilish kifoya. Shu tarzda noma'lum tomon topiladi.

Ikkinchi tomon uchun formula shunga o'xshash tarzda olinadi:

2 da - (2 * c * cos A) * in + (c 2 - a 2) = 0.

Boshqa iboralardan bunday formulalarni mustaqil ravishda olish ham oson.

Kosinusni hisoblamasdan, burchak turini qanday aniqlash mumkin?

Agar siz ilgari olingan burchak kosinus formulasiga diqqat bilan qarasangiz, quyidagilarni ko'rasiz:

• kasrning maxraji har doim musbat son bo'ladi, chunki u manfiy bo'lolmaydigan tomonlarning ko'paytmasini o'z ichiga oladi;
• burchakning qiymati hisoblagichning belgisiga bog'liq bo'ladi.

A burchagi quyidagicha bo'ladi:

• numerator noldan katta bo'lgan vaziyatda o'tkir;
• bu ifoda salbiy bo'lsa ahmoq;
• nolga teng bo'lganda to'g'ridan-to'g'ri.

Aytgancha, oxirgi holat kosinus teoremasini Pifagor teoremasiga aylantiradi. Chunki 90º burchak uchun uning kosinusu nolga teng va oxirgi a'zo yo'qoladi.

Birinchi vazifa

Vaziyat

Ba'zi bir ixtiyoriy uchburchakning o'tmas burchagi 120º ga teng. Cheklangan tomonlari haqida ma'lumki, ulardan biri ikkinchisidan 8 sm katta.Uchinchi tomonining uzunligi ma'lum, u 28 sm.Uchburchakning perimetrini topish talab qilinadi.

Yechim

Avval siz tomonlardan birini "x" harfi bilan belgilashingiz kerak. Bunday holda, ikkinchisi (x + 8) ga teng bo'ladi. Har uch tomon uchun ifodalar mavjud bo'lgani uchun biz kosinus teoremasi tomonidan berilgan formuladan foydalanishimiz mumkin:

28 2 = (x + 8) 2 + x 2 - 2 * (x + 8) * x * cos 120º.

Kosinuslar uchun jadvallarda siz 120 darajaga mos keladigan qiymatni topishingiz kerak. Bu minus belgisi bilan 0,5 raqami bo'ladi. Endi siz barcha qoidalarga rioya qilgan holda qavslarni ochishingiz va shunga o'xshash shartlarni keltirishingiz kerak:

784 = x 2 + 16x + 64 + x 2 - 2x * (-0,5) * (x + 8);

784 = 2x 2 + 16x + 64 + x 2 + 8x;

3x 2 + 24x - 720 = 0.

Ushbu kvadrat tenglama diskriminantni topish yo'li bilan yechiladi, u quyidagilarga teng bo'ladi:

D = 24 2 - 4 * 3 * (- 720) = 9216.

Uning qiymati noldan katta bo'lganligi sababli, tenglama ikkita ildiz javobiga ega.

x 1 = ((-24) + √(9216)) / (2 * 3) = 12;

x 2 = ((-24) - √(9216)) / (2 * 3) = -20.

Oxirgi ildiz muammoga javob bo'la olmaydi, chunki tomon ijobiy bo'lishi kerak.

Kosinuslar teoremasining bayoni

Tomonlari a,b,c va burchaklari a tomoniga qarama-qarshi bo‘lgan tekis uchburchak uchun quyidagi munosabat to‘g‘ri bo‘ladi:

Kosinus teoremasining isboti

ABC ixtiyoriy uchburchakni ko'rib chiqaylik. Faraz qilaylik, biz AC tomonining o'lchamini (u ma'lum b soniga teng), AB tomonining o'lchamini (u ma'lum c soniga teng) va bu tomonlar orasidagi burchakni bilamiz, ularning qiymati. a ga teng. BC tomonining o'lchamini topamiz (a o'zgaruvchisi orqali uning uzunligini bildiramiz)

Dalil uchun kosinus teoremalari Keling, qo'shimcha qurilishlarni amalga oshiraylik. C cho'qqisidan AB tomoniga CD balandligini tushiramiz.
AB tomonining uzunligi topilsin. Rasmdan ko'rinib turibdiki, qo'shimcha qurilish natijasida buni aytishimiz mumkin
AB = AD + BD

AD segmentining uzunligi topilsin. ADC uchburchak to'g'ri burchakli ekanligiga asoslanib, biz uning gipotenuzasi (b) va burchagi (a) uzunligini bilamiz, keyin AD tomonining o'lchamini trigonometrik funktsiyalarning xususiyatlaridan foydalanib, uning tomonlari nisbatidan topish mumkin. to'g'ri uchburchakda:

AD/AC = cos a
qayerda
AD = AC cos a
AD = b cos a

BD tomonining uzunligini AB va AD o'rtasidagi farq sifatida topamiz:
BD = AB - AD
BD = c - b cos a

Endi ikkita to'g'ri burchakli ADC va BDC uchburchaklar uchun Pifagor teoremasini yozamiz:
BDC uchburchagi uchun
CD 2 + BD 2 = BC 2
ADC uchburchak uchun
CD 2 + AD 2 = AC 2

Shuni ta'kidlash kerakki, ikkala uchburchakning ham umumiy tomoni bor - CD. Har bir uchburchak uchun uning uzunligini aniqlaymiz - uning qiymatini ifodaning chap tomoniga, qolganini esa o'ngga qo'ying.
CD 2= BC 2 - BD 2
CD 2= AC 2 - AD 2

Tenglamalarning chap tomonlari (CD tomonining kvadrati) teng bo'lgani uchun biz tenglamalarning o'ng tomonlarini tenglashtiramiz:
BC 2 - BD 2 = AC 2 - AD 2

Oldindan qilingan hisob-kitoblarga asoslanib, biz allaqachon bilamiz:
AD = b cos a
BD = c - b cos a
A.C. = b(shart bo'yicha)

Va BC tomonining qiymatini deb belgilaymiz a.
BC=a
(Bu biz topishimiz kerak bo'lgan narsa)

BC 2 - BD 2 = AC 2 - AD 2
Keling, tomonlarning harf belgilarini hisob-kitoblarimiz natijalari bilan almashtiramiz
a 2 - ( c - b cos a ) 2 = b 2 - ( b cos a ) 2
noma'lum qiymatni (a) chap tomonga, tenglamaning qolgan qismlarini esa o'ngga o'tkazing
a 2 = (c - b cos a ) 2 + b 2 - (b cos a ) 2
keling, qavslarni ochamiz
a 2 = b 2 + c 2 - 2c b cos a + (b cos a) 2 - (b cos a) 2
olamiz
a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos a

Kosinus teoremasi isbotlangan.

Kosinus teoremasi nima? Buni tasavvur qiling... Ixtiyoriy uchburchak uchun Pifagor teoremasi.

Kosinus teoremasi: shakllantirish.

Kosinus teoremasi quyidagicha ifodalanadi: Uchburchakning istalgan tomonining kvadrati uchburchakning qolgan ikki tomonining kvadratlari yig'indisiga, bu tomonlarning ikki barobar ko'paytmasi va ular orasidagi burchakning kosinusiga teng.

Va endi men nima uchun bu shunday ekanligini va Pifagor teoremasi bilan nima aloqasi borligini tushuntiraman.

Axir, Pifagor teoremasi nima deydi?

Aytaylik, achchiq bo'lsa nima bo'ladi?

Men ahmoq bo'lsam-chi?

Endi biz aniqlaymiz, to'g'rirog'i, avval uni shakllantiramiz va keyin isbotlaymiz.

Shunday qilib, har bir (o'tkir burchakli, to'g'ri burchakli va hatto to'rtburchaklar!) uchburchak uchun quyidagilar to'g'ri bo'ladi: kosinus teoremasi.

Kosinus teoremasi:

Nima va?

uchburchakdan (to'rtburchak!) ifodalanishi mumkin.

Va mana bu (yana dan).

Keling, almashtiramiz:

Biz oshkor qilamiz:

Biz bor narsamizdan foydalanamiz va... tamom!

2-holat: ruxsat bering.

Demak, ahmoq.

Va endi, diqqat, farq!

Bu dan, qaysi hozir tashqarida, va

Biz buni eslaymiz

(agar siz nima uchun bunday bo'lganini butunlay unutgan bo'lsangiz, mavzuni o'qing).

Demak, shunday! Farq tugadi!

Bo'lgani kabi, ya'ni:

Xo'sh, oxirgi bitta holat qoldi.

3-holat: ruxsat bering.

Shunday qilib, . Ammo keyin kosinus teoremasi shunchaki Pifagor teoremasiga aylanadi:

Kosinus teoremasi qanday masalalarda foydali?

Xo'sh, masalan, agar sizda bo'lsa uchburchakning ikki tomoni va ular orasidagi burchak berilgan, keyin siz darhol uchinchi tomonni topa olasizmi?.

Yoki agar siz uch tomoni ham berilgan, keyin uni darhol topasiz kosinus formula bo'yicha har qanday burchak

Va agar siz berilgan ikki tomon va ular orasidagi burchak EMAS, u holda uchinchi tomonni kvadrat tenglamani yechish orqali ham topish mumkin. To'g'ri, bu holatda, ba'zan siz ikkita javob olasiz va qaysi birini tanlashni aniqlashingiz yoki ikkalasini ham tark etishingiz kerak.

Uni ishlatishga harakat qiling va qo'rqmang - kosinus teoremasidan foydalanish Pifagor teoremasi kabi deyarli oson.

KOSINLAR TEOREMASI. ASOSIY NARSALAR HAQIDA QISQA

Kosinus teoremasi: Uchburchakning bir tomonining kvadrati qolgan ikki tomonning kvadratlari yig'indisiga, bu tomonlarning ikki barobar ko'paytmasi va ular orasidagi burchakning kosinusiga teng:

Xo'sh, mavzu tugadi. Agar siz ushbu satrlarni o'qiyotgan bo'lsangiz, demak siz juda zo'rsiz.

Chunki odamlarning atigi 5 foizi o‘z kuchi bilan biror narsani o‘zlashtira oladi. Va agar siz oxirigacha o'qisangiz, unda siz ushbu 5% ga kirasiz!

Endi eng muhimi.

Siz ushbu mavzu bo'yicha nazariyani tushundingiz. Va takror aytaman, bu... bu shunchaki ajoyib! Siz allaqachon tengdoshlaringizning aksariyatidan yaxshiroqsiz.

Muammo shundaki, bu etarli bo'lmasligi mumkin ...

Sabab?

Yagona davlat imtihonini muvaffaqiyatli topshirganlik uchun, kollejga byudjetga kirish uchun va ENG MUHIM, umrbod.

Men sizni hech narsaga ishontirmayman, faqat bitta narsani aytaman ...

Yaxshi ma'lumotga ega bo'lgan odamlar, olmaganlarga qaraganda ko'proq pul oladilar. Bu statistika.

Lekin bu asosiy narsa emas.

Asosiysi, ular BAXTLI (Bunday tadqiqotlar bor). Ehtimol, ularning oldida yana ko'p imkoniyatlar ochilib, hayot yanada yorqinroq bo'ladimi? Bilmayman...

Lekin o'zingiz o'ylab ko'ring...

Yagona davlat imtihonida boshqalardan yaxshiroq bo'lish va oxir-oqibat ... baxtli bo'lish uchun nima qilish kerak?

SHU MAVZU BO'YICHA MUAMMOLARNI YECHIB QOLING.

Imtihon paytida sizdan nazariya so'ralmaydi.

Sizga kerak bo'ladi vaqtga qarshi muammolarni hal qilish.

Va agar siz ularni hal qilmagan bo'lsangiz (KO'P!), Agar biror joyda ahmoqona xatoga yo'l qo'yasiz yoki shunchaki vaqtingiz bo'lmaydi.

Bu xuddi sportdagidek - aniq g'alaba qozonish uchun buni ko'p marta takrorlash kerak.

To'plamni xohlagan joyingizda toping, albatta yechimlar, batafsil tahlillar bilan va qaror qiling, qaror qiling, qaror qiling!

Siz bizning vazifalarimizdan foydalanishingiz mumkin (ixtiyoriy) va biz, albatta, ularni tavsiya qilamiz.

Vazifalarimizdan yaxshiroq foydalanish uchun siz hozir o'qiyotgan YouClever darsligining ishlash muddatini uzaytirishga yordam berishingiz kerak.

Qanaqasiga? Ikkita variant mavjud:

1. Ushbu maqoladagi barcha yashirin vazifalarni oching -
2. Darslikning barcha 99 ta maqolasidagi barcha yashirin vazifalarga kirishni oching - Darslik sotib oling - 899 rubl

Ha, bizning darsligimizda 99 ta shunday maqola bor va ulardagi barcha vazifalar va yashirin matnlarga kirish darhol ochilishi mumkin.

Barcha yashirin vazifalarga kirish saytning BUTUN muddati davomida taqdim etiladi.

Yakunida...

Bizning vazifalarimiz sizga yoqmasa, boshqalarni toping. Faqat nazariya bilan to'xtamang.

"Tushundim" va "Men hal qila olaman" - bu mutlaqo boshqa ko'nikmalar. Sizga ikkalasi ham kerak.

Muammolarni toping va ularni hal qiling!