Aylanma harakat kuchlarining hosil bo'lgan momenti. I.4.2 Aylanma harakat dinamikasining asosiy qonuni. Tarjima va aylanish harakatini tavsiflovchi kattaliklar o'rtasidagi bog'liqlik

Tarjima va aylanish harakatlarini ko'rib chiqsak, biz ular o'rtasida o'xshashlikni o'rnatishimiz mumkin. Tarjima harakatining kinematikasi yo'ldan foydalanadi s, tezlik  va tezlashtirish A. Ularning aylanish harakatidagi rolini burilish burchagi , burchak tezligi  va burchak tezlanishi e bajaradi. Tarjima harakati dinamikasida kuch va massa tushunchalari qo'llaniladi T va impuls Aylanma harakatda kuchning rolini moment bajaradi
kuchlar, massaning roli - inersiya momenti I z va impulsning roli - burchak momenti Tarjima harakati formulalarini bilgan holda, aylanish harakati uchun formulalarni yozish oson. Masalan, bir tekis harakatda bosib o'tgan masofa quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi: s =  t, va burilish burchagi bilan -  =  formula bo'yicha t. Nyutonning ikkinchi qonuni
Va
aylanish harakati dinamikasining asosiy qonuni esa
Va
Tarjima harakati paytida jismning impulsi ga teng
aylanish harakati paytida esa burchak momenti
Bu o'xshatishni yana davom ettirish mumkin.

Tarjima harakati paytida kuchning ishi. Quvvat

O'zgarmas kuch ta'sirida jism (moddiy nuqta) bo'lsin , harakat yoʻnalishi bilan oʻzgarmas  burchak hosil qilib, baʼzi mos yozuvlar tizimida toʻgʻri chiziqli harakat qiladi va yoʻldan oʻtadi. l. Keyin, maktab fizika kursidan ma'lumki, ish A Bu kuch quyidagi formula bilan topiladi:

A= Fl· chunki  = F l l, (1)

Keling, jism o'zgaruvchan kuch ta'sirida egri yo'l bo'ylab translyatsion harakat qilganda, ishni hisoblashning umumiy holatini ko'rib chiqaylik. Bir yo'lda l elementar bo'limni tanlang dl, uning ichida kuchni hisobga olish mumkin va burchak  doimiy qiymatlar, kesmaning o'zi esa to'g'ri chiziqli. Keyin ishla dA Ushbu bo'limda biz (1) formuladan foydalanamiz: dA = F· dl· cos. Ish A butun yo'l bo'ylab ish yig'indisiga teng dA, ya'ni.

(2)

Belgi l integral bilan integratsiya butun yo'l bo'ylab amalga oshiriladi l.

Agar vektorlarning skalyar ko'paytmasidan foydalansak, (2) formulaga boshqa shakl berilishi mumkin. Keyin integral dA shaklda yoziladi: dA = F· dl· cos=
Qayerda elementar siljish vektori va

(3)

(1) formuladan ish algebraik kattalik ekanligi ayon bo`ladi. Ishning belgisi  burchakka bog'liq. Agar  burchak o'tkir bo'lsa, u holda cos  > 0 va ish musbat, lekin  burchak o'tkir bo'lsa, ish manfiy bo'ladi.

SI ish birligi joule (J) dir. U (1) formuladan kiritilgan bo'lib, unda cos  = 1 qabul qilinadi.1 J. kuch va siljish yo‘nalishlari mos kelishi sharti bilan 1 m yo‘lda 1 N kuch bajargan ish.

Ish tezligini tavsiflash uchun vaqt birligi uchun bajarilgan ishga teng kuch tushunchasi kiritiladi. Agar elementar vaqt davri bo'lsa dt elementar ishlar bajariladi dA, keyin kuch R ga teng

(4)

SI birliklarida quvvat vattlarda (Vt) o'lchanadi. (4) dan kelib chiqqan holda, 1 Vt = 1 J / 1 s, ya'ni. 1 Vt- Bu 1 soniyada 1 J ish bajariladigan quvvat.

Aylanma harakatdagi kuchning ishi

O'zgaruvchan kuch ta'siri ostida bo'lgan qattiq jismni ko'rib chiqing o'q atrofida aylanadi z qaysidir burchakda. Bu kuch moment hosil qiladi M z, tanani aylantirish. Kuch tangsial ravishda kuchning qo'llanilish nuqtasi harakatlanadigan aylanaga yo'naltiriladi. Shuning uchun burchak = 0. Buni hisobga olib, mexanik ish uchun formulaga o'xshashlik (2) ga qarang), biz aylanish harakati paytida ish hisoblangan ifodani topamiz:

(5)

Agar kuchning tangensial komponentining yo'nalishi aylanish yo'nalishiga to'g'ri kelsa, ish ijobiy bo'ladi, agar ular teskari yo'nalishda bo'lsa, salbiy bo'ladi.

Ushbu maqolada fizikaning muhim bo'limi - "aylanish harakatining kinematikasi va dinamikasi" tasvirlangan.

Aylanma harakat kinematikasining asosiy tushunchalari

Moddiy nuqtaning qo'zg'almas o'q atrofida aylanish harakati shunday harakat deb ataladi, uning traektoriyasi o'qga perpendikulyar tekislikda joylashgan aylana bo'lib, uning markazi aylanish o'qida yotadi.

Qattiq jismning aylanish harakati - bu jismning barcha nuqtalari moddiy nuqtaning aylanish harakati qoidasiga muvofiq konsentrik (markazlari bir o'qda joylashgan) doiralar bo'ylab harakatlanadigan harakat.

Ixtiyoriy qattiq jism T chizma tekisligiga perpendikulyar bo'lgan O o'qi atrofida aylansin. Bu jismda M nuqtani tanlaymiz.Bu nuqta aylantirilganda O o'qi atrofida radiusli aylana tasvirlanadi. r.

Biroz vaqt o'tgach, radius o'zining dastlabki holatiga nisbatan Dph burchagi bilan aylanadi.

O'ng vintning yo'nalishi (soat yo'nalishi bo'yicha) musbat aylanish yo'nalishi sifatida qabul qilinadi. Vaqt o'tishi bilan aylanish burchagining o'zgarishi qattiq jismning aylanish harakati tenglamasi deb ataladi:

ph = ph(t).

Agar ph radianlarda o'lchansa (1 rad - uning radiusiga teng uzunlikdagi yoyga mos keladigan burchak), u holda M moddiy nuqta Dt vaqt ichida o'tadigan dumaloq yoyning uzunligi DS quyidagilarga teng bo'ladi:

DS = Dphr.

Bir tekis aylanish harakati kinematikasining asosiy elementlari

Moddiy nuqtaning qisqa vaqt ichida harakatini o'lchovi dt elementar aylanish vektori bo'lib xizmat qiladi dph.

Moddiy nuqta yoki jismning burchak tezligi elementar aylanish vektorining ushbu aylanish davomiyligiga nisbati bilan aniqlanadigan fizik miqdordir. Vektorning yo'nalishini O o'qi bo'ylab o'ng vint qoidasi bilan aniqlash mumkin.Skalar shaklda:

ō = dph/dt.

Agar ō = dph/dt = const, u holda bunday harakat bir tekis aylanish harakati deyiladi. U bilan burchak tezligi formula bilan aniqlanadi

ō = ph/t.

Dastlabki formulaga ko'ra, burchak tezligining o'lchami

[ō] = 1 rad/s.

Jismning bir tekis aylanish harakatini aylanish davri bilan tasvirlash mumkin. Aylanish davri T - bu tananing aylanish o'qi atrofida bir marta to'liq aylanish vaqtini aniqlaydigan fizik miqdor ([T] = 1 s). Agar burchak tezligi formulasida t = T, ph = 2 p (r radiusning bir to‘liq aylanishi) ni olsak, u holda

ō = 2p/T,

Shuning uchun biz aylanish davrini quyidagicha aniqlaymiz:

T = 2p/ō.

Jismning vaqt birligida qilgan aylanishlar soni n aylanish chastotasi deb ataladi, u quyidagilarga teng:

n = 1/T.

Chastota birliklari: [n]= 1/s = 1 s -1 = 1 Gts.

Burchak tezligi va aylanish chastotasi formulalarini taqqoslab, biz ushbu miqdorlarni bog'laydigan ifodani olamiz:

ō = 2pn.

Noto'g'ri aylanish harakati kinematikasining asosiy elementlari

Qattiq jismning yoki moddiy nuqtaning qo'zg'almas o'q atrofida notekis aylanish harakati uning vaqt o'tishi bilan o'zgarib turadigan burchak tezligi bilan tavsiflanadi.

Vektor ε , burchak tezligining o'zgarish tezligini tavsiflovchi, burchak tezlanish vektori deyiladi:

e = dō/dt.

Agar tana aylansa, tezlashsa, ya'ni dō/dt > 0, vektor eksa bo'ylab ō bilan bir xil yo'nalishda yo'nalishga ega.

Agar aylanish harakati sekin bo'lsa - dō/dt< 0 , u holda e va ō vektorlari qarama-qarshi yo'naltiriladi.

Izoh. Noto'g'ri aylanish harakati sodir bo'lganda, vektor ō nafaqat kattalikda, balki yo'nalishda ham o'zgarishi mumkin (aylanish o'qi aylantirilganda).

Tarjima va aylanish harakatini tavsiflovchi kattaliklar o'rtasidagi bog'liqlik

Ma'lumki, yoy uzunligi radiusning burilish burchagi va uning qiymati bilan bog'liq.

DS = Dph r.

Keyin aylanma harakatni amalga oshiradigan moddiy nuqtaning chiziqli tezligi

y = DS/Dt = Dphr/Dt = ōr.

Aylanma translyatsiya harakatini amalga oshiradigan moddiy nuqtaning normal tezlashishi quyidagicha aniqlanadi:

a = y 2 / r = ō 2 r 2 / r.

Shunday qilib, skalyar shaklda

a = ō 2 r.

Aylanma harakatni amalga oshiradigan tangensial tezlashtirilgan moddiy nuqta

a = e r.

Moddiy nuqtaning momenti

Massasi m i boʻlgan moddiy nuqtaning traektoriyasi radius vektori va uning impulsining vektor koʻpaytmasi bu nuqtaning aylanish oʻqiga nisbatan burchak momenti deyiladi. Vektorning yo'nalishi to'g'ri vida qoidasi yordamida aniqlanishi mumkin.

Moddiy nuqtaning momenti ( L i) r i va y i orqali oʻtkazilgan tekislikka perpendikulyar yoʻnaltirilgan boʻlib, ular bilan vektorlarning oʻng uchli uchligini hosil qiladi (yaʼni vektor oxiridan harakat qilganda). r i Kimga υ i o'ng vint vektor yo'nalishini ko'rsatadi L i).

Skayar shaklda

L = m i y i r i sin(y i , r i).

Aylana bo‘ylab harakatlanayotganda i-moddiy nuqta uchun radius vektori va chiziqli tezlik vektori o‘zaro perpendikulyar ekanligini hisobga olsak,

sin(y i , r i) = 1.

Shunday qilib, aylanish harakati uchun moddiy nuqtaning burchak momenti shaklni oladi

L = m i y i r i.

i-moddiy nuqtaga ta'sir qiluvchi kuch momenti

Radius vektorining vektor ko'paytmasi, kuch qo'llash nuqtasiga tortiladi va bu kuch aylanish o'qiga nisbatan i-moddiy nuqtaga ta'sir qiluvchi kuch momenti deb ataladi.

Skayar shaklda

M i = r i F i sin(r i , F i).

Shuni hisobga olib r i sina = l i,M i = l i F i.

Kattalik l i, aylanish nuqtasidan kuchning ta'sir yo'nalishiga tushirilgan perpendikulyar uzunligiga teng, kuchning qo'li deb ataladi. F i.

Aylanma harakatning dinamikasi

Aylanma harakat dinamikasi tenglamasi quyidagicha yoziladi:

M = dL/dt.

Qonunning formulasi quyidagicha: qo'zg'almas o'q atrofida aylanadigan jismning burchak momentumining o'zgarish tezligi jismga qo'llaniladigan barcha tashqi kuchlarning ushbu o'qiga nisbatan hosil bo'lgan momentga teng.

Impuls momenti va inersiya momenti

Ma'lumki, i-moddiy nuqta uchun skalyar shakldagi burchak impulsi formula bilan berilgan

L i = m i y i r i.

Agar chiziqli tezlik o'rniga uning ifodasini burchak tezlik bilan almashtirsak:

y i = ōr i,

u holda burchak momentumining ifodasi shaklni oladi

L i = m i r i 2 ō.

Kattalik I i = m i r i 2 absolyut qattiq jismning massa markazidan o'tuvchi i-moddiy nuqtasi o'qiga nisbatan inersiya momenti deyiladi. Keyin moddiy nuqtaning burchak momentini yozamiz:

L i = I i ō.

Absolyut qattiq jismning burchak momentini shu jismni tashkil etuvchi moddiy nuqtalarning burchak impulsi yig‘indisi sifatida yozamiz:

L = Iō.

Kuch momenti va inersiya momenti

Aylanma harakat qonuni quyidagilarni bildiradi:

M = dL/dt.

Ma'lumki, jismning burchak momentini inersiya momenti orqali ifodalash mumkin:

L = Iō.

M = Idō/dt.

Burchak tezlanishi ifoda bilan aniqlanishini hisobga olsak

e = dō/dt,

inersiya momenti orqali ifodalangan kuch momenti formulasini olamiz:

M = Ie.

Izoh. Kuch momenti ijobiy hisoblanadi, agar uni keltirib chiqaradigan burchak tezlanishi noldan katta bo'lsa va aksincha.

Shtayner teoremasi. Inersiya momentlarini qo'shish qonuni

Agar tananing aylanish o'qi uning massa markazidan o'tmasa, bu o'qga nisbatan Shtayner teoremasi yordamida uning inersiya momentini topish mumkin:
I = I 0 + ma 2,

Qayerda men 0- tananing boshlang'ich inersiya momenti; m- tana massasi; a- o'qlar orasidagi masofa.

Ruxsat etilgan o'q atrofida aylanadigan tizim bo'lsa n jismlar, u holda bu turdagi tizimning umumiy inersiya momenti uning tarkibiy qismlari momentlari yig'indisiga teng bo'ladi (inersiya momentlarini qo'shish qonuni).

Momentning eng yaxshi ta'rifi - bu kuchning ob'ektni eksa, tayanch nuqtasi yoki aylanish nuqtasi atrofida aylantirish tendentsiyasi. Momentni kuch va moment qo'li (o'qdan kuch ta'sir chizig'igacha bo'lgan perpendikulyar masofa) yoki inersiya momenti va burchak tezlashuvi yordamida hisoblash mumkin.

Qadamlar

Kuch va momentdan foydalanish

1. Jismga ta'sir qiluvchi kuchlarni va mos keladigan momentlarni aniqlang. Agar kuch ko'rib chiqilayotgan moment qo'liga perpendikulyar bo'lmasa (ya'ni, u burchak ostida harakat qilsa), unda sinus yoki kosinus kabi trigonometrik funktsiyalardan foydalanib uning tarkibiy qismlarini topishingiz kerak bo'lishi mumkin.

   • Ko'rib chiqilgan kuch komponenti perpendikulyar kuch ekvivalentiga bog'liq bo'ladi.
   • Gorizontal tayoqni tasavvur qiling-a, uning markazi atrofida aylantirish uchun gorizontal tekislikdan 30 ° burchak ostida 10 N kuch qo'llanilishi kerak.
   • Moment qo'liga perpendikulyar bo'lmagan kuch ishlatishingiz kerakligi sababli, tayoqni aylantirish uchun kuchning vertikal komponenti kerak.
   • Shuning uchun, y-komponentni hisobga olish kerak yoki F = 10sin30 ° N dan foydalanish kerak.

2. Moment tenglamasidan foydalaning, t = Fr va o'zgaruvchilarni berilgan yoki olingan ma'lumotlar bilan almashtiring.

   • Oddiy misol: Tasavvur qiling-a, vazni 30 kg bo'lgan bola belanchak taxtaning bir uchida o'tiribdi. Belanchakning bir tomonining uzunligi 1,5 m.
   • Belanchakning aylanish o'qi markazda bo'lgani uchun uzunlikni ko'paytirish kerak emas.
   • Massa va tezlashuv yordamida bolaning ta'sirini aniqlashingiz kerak.
   • Massa berilganligi sababli, siz uni tortishish tezlashuviga ko'paytirishingiz kerak, g, 9,81 m / s 2 ga teng. Demak:
   • Endi sizda moment tenglamasidan foydalanish uchun barcha kerakli ma'lumotlar mavjud:

3. Vaqt yo'nalishini ko'rsatish uchun belgilardan foydalaning (ortiqcha yoki minus). Agar kuch tanani soat yo'nalishi bo'yicha aylantirsa, u holda moment salbiy bo'ladi. Agar kuch tanani soat sohasi farqli ravishda aylantirsa, u holda moment ijobiydir.

   • Bir nechta qo'llaniladigan kuchlar bo'lsa, shunchaki tanadagi barcha momentlarni qo'shing.
   • Har bir kuch aylanishning turli yo'nalishlariga sabab bo'lganligi sababli, har bir kuchning yo'nalishini kuzatib borish uchun aylanish belgisidan foydalanish muhimdir.
   • Misol uchun, diametri 0,050 m, F 1 = 10,0 N, soat yo'nalishi bo'yicha yo'naltirilgan va F 2 = 9,0 N, soat sohasi farqli o'laroq, diametri 0,050 m bo'lgan g'ildirakning chetiga ikkita kuch qo'llangan.
   • Bu jism aylana bo'lgani uchun sobit o'q uning markazidir. Siz diametrni bo'lishingiz va radiusni olishingiz kerak. Radiusning o'lchami moment qo'li bo'lib xizmat qiladi. Shuning uchun radius 0,025 m ga teng.
   • Aniqlik uchun biz mos keladigan kuchdan kelib chiqadigan momentlarning har biri uchun alohida tenglamalarni echishimiz mumkin.
   • 1-kuch uchun harakat soat yo'nalishi bo'yicha yo'naltiriladi, shuning uchun uni yaratish momenti salbiy:
   • 2-kuch uchun harakat soat miliga teskari yo'naltiriladi, shuning uchun uni yaratish momenti ijobiydir:
   • Endi hosil bo'lgan momentni olish uchun barcha daqiqalarni qo'shishimiz mumkin:

   Inersiya momenti va burchak tezlanishidan foydalanish

   1. Muammoni hal qilishni boshlash uchun tananing inersiya momenti qanday ishlashini tushunib oling. Jismning inersiya momenti - bu jismning aylanish harakatiga qarshiligi. Inersiya momenti ham massaga, ham uning tarqalish xususiyatiga bog'liq.

      • Buni aniq tushunish uchun bir xil diametrli, ammo har xil massali ikkita silindrni tasavvur qiling.
      • Ikkala tsilindrni ham markaziy o'qi atrofida aylantirishingiz kerakligini tasavvur qiling.
      • Shubhasiz, massasi ko'proq bo'lgan silindrni boshqa silindrga qaraganda aylantirish qiyinroq bo'ladi, chunki u "og'irroq".
      • Endi turli diametrli, lekin bir xil massali ikkita silindrni tasavvur qiling. Silindrsimon ko'rinishi va har xil massaga ega bo'lishi uchun, lekin bir vaqtning o'zida turli diametrlarga ega bo'lishi uchun ikkala silindrning shakli yoki massa taqsimoti boshqacha bo'lishi kerak.
      • Kattaroq diametrli silindr tekis, yumaloq plastinkaga o'xshaydi, kichikroq silindr esa matoning qattiq naychasiga o'xshaydi.
      • Kattaroq diametrli silindrni aylantirish qiyinroq bo'ladi, chunki uzunroq moment qo'lini engish uchun ko'proq kuch qo'llash kerak.

   2. Inersiya momentini hisoblash uchun foydalanadigan tenglamani tanlang. Buning uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan bir nechta tenglamalar mavjud.

      • Birinchi tenglama eng oddiy: barcha zarralarning massalari va moment qo'llarining yig'indisi.
      • Bu tenglama moddiy nuqtalar yoki zarralar uchun ishlatiladi. Ideal zarracha massaga ega, lekin bo'sh joyni egallamaydigan jismdir.
      • Boshqacha qilib aytganda, bu tananing yagona muhim xususiyati - bu massa; siz uning hajmini, shakli yoki tuzilishini bilishingiz shart emas.
      • Moddiy zarracha g'oyasi fizikada hisob-kitoblarni soddalashtirish va ideal va nazariy sxemalardan foydalanish uchun keng qo'llaniladi.
      • Endi ichi bo'sh silindr yoki qattiq bir xil shar kabi ob'ektni tasavvur qiling. Ushbu ob'ektlar aniq va aniq shakl, o'lcham va tuzilishga ega.
      • Shuning uchun siz ularni moddiy nuqta sifatida ko'rib chiqa olmaysiz.
      • Yaxshiyamki, siz ba'zi umumiy ob'ektlarga tegishli formulalardan foydalanishingiz mumkin:

   3. Inersiya momentini toping. Momentni hisoblashni boshlash uchun siz inersiya momentini topishingiz kerak. Qo'llanma sifatida quyidagi misoldan foydalaning:

      • Og'irligi 5,0 kg va 7,0 kg bo'lgan ikkita kichik "og'irlik" bir-biridan 4,0 m masofada engil novda (massasini e'tiborsiz qoldirish mumkin) ustiga o'rnatiladi. Aylanish o'qi novda o'rtasida joylashgan. Tayoq tinch holatdan 30,0 rad/s burchak tezligiga 3,00 sekundda aylanadi. Ishlab chiqarilgan momentni hisoblang.
      • Aylanish o'qi novda o'rtasida joylashganligi sababli, ikkala yukning moment qo'li uning uzunligining yarmiga teng, ya'ni. 2,0 m.
      • "Yuklar" ning shakli, o'lchami va tuzilishi ko'rsatilmaganligi sababli, biz yuklarni moddiy zarralar deb hisoblashimiz mumkin.
      • Inersiya momentini quyidagicha hisoblash mumkin:

   4. Burchak tezlanishini toping, a. Burchak tezlanishini hisoblash uchun a= at/r formulasidan foydalanish mumkin.

      • Birinchi formuladan a= at/r tangensial tezlanish va radius berilganda foydalanish mumkin.
      • Tangensial tezlanish - bu harakat yo'nalishiga tangensial yo'naltirilgan tezlanish.
      • Egri chiziq bo'ylab harakatlanayotgan ob'ektni tasavvur qiling. Tangensial tezlanish - bu butun yo'lning istalgan nuqtasida uning chiziqli tezlashishi.
      • Ikkinchi formula bo'lsa, uni kinematika tushunchalari bilan bog'lash orqali tasvirlash eng oson: siljish, chiziqli tezlik va chiziqli tezlanish.
      • Siqilish - bu jismning bosib o'tgan masofasi (SI birligi metr, m); chiziqli tezlik - vaqt birligidagi siljishning o'zgarishi ko'rsatkichi (SI birligi - m/s); chiziqli tezlanish - vaqt birligida chiziqli tezlikning o'zgarishi ko'rsatkichi (SI birligi - m/s 2).
      • Endi bu miqdorlarning aylanma harakatdagi analoglarini ko'rib chiqamiz: burchakli siljish, th - ma'lum nuqta yoki segmentning burilish burchagi (SI birligi - rad); burchak tezligi, ō – vaqt birligidagi burchak siljishining o'zgarishi (SI birligi – rad/s); va burchak tezlanishi, a - vaqt birligidagi burchak tezligining o'zgarishi (SI birligi - rad/s 2).
      • Bizning misolimizga qaytsak, bizga burchak momentum va vaqt uchun ma'lumotlar berildi. Aylanish tinch holatdan boshlanganligi sababli, boshlang'ich burchak tezligi 0 ga teng. Biz tenglamadan foydalanib topishimiz mumkin:

   5. Momentni topish uchun t = Ia tenglamasidan foydalaning. O'zgaruvchilarni oldingi bosqichlarda olingan javoblar bilan almashtiring.

      • "Rad" birligi bizning o'lchov birliklariga to'g'ri kelmasligini sezishingiz mumkin, chunki u o'lchovsiz miqdor hisoblanadi.
      • Bu shuni anglatadiki, siz buni e'tiborsiz qoldirishingiz va hisob-kitoblaringizni davom ettirishingiz mumkin.
      • O'lchov birliklarini tahlil qilish uchun biz burchak tezlanishini s -2 da ifodalashimiz mumkin.
   • Birinchi usulda, agar tana aylana bo'lsa va uning aylanish o'qi markazda bo'lsa, unda kuchning tarkibiy qismlarini hisoblashning hojati yo'q (agar kuch burchak ostida qo'llanilmasa), chunki kuch yotadi. aylanaga tegish bo'yicha, ya'ni. moment qo'liga perpendikulyar.
   • Agar aylanish qanday sodir bo'lishini tasavvur qilish qiyin bo'lsa, unda qalam oling va vazifani qayta yaratishga harakat qiling. Aniqroq takrorlash uchun aylanish o'qining holatini va qo'llaniladigan kuchning yo'nalishini nusxalashni unutmang.

Qattiq jismning aylanish harakatining dinamikasi.

Inersiya momenti.

Quvvat momenti. Aylanma harakat dinamikasi uchun asosiy tenglama.

Impuls momenti.

Inersiya momenti.

(Tsilindrlarni siljitish bilan tajribani ko'rib chiqing.)

Aylanma harakatni ko'rib chiqishda yangi fizik tushunchalarni kiritish kerak: inersiya momenti, kuch momenti, impuls momenti.

Inersiya momenti - bu jismning qo'zg'almas o'q atrofida aylanish harakati paytida tananing inertsiyasining o'lchovidir.

Inersiya momenti sobit aylanish o'qiga nisbatan moddiy nuqta uning massasi ko'rib chiqilayotgan aylanish o'qiga bo'lgan masofaning kvadratiga tengdir (1-rasm):

Bu faqat moddiy nuqtaning massasiga va uning aylanish o'qiga nisbatan holatiga bog'liq va aylanishning o'zi mavjudligiga bog'liq emas.

Inersiya momenti - skalyar va qo'shimcha miqdor

Jismning inersiya momenti uning barcha nuqtalarining inersiya momentlari yig‘indisiga teng

.

Uzluksiz massa taqsimoti holatida bu yig'indi integralga kamayadi:

,

bu erda tananing kichik hajmining massasi, tananing zichligi, elementdan aylanish o'qigacha bo'lgan masofa.

Inersiya momenti aylanish harakati paytida massaning analogidir. Jismning inertsiya momenti qanchalik katta bo'lsa, aylanadigan jismning burchak tezligini o'zgartirish shunchalik qiyin bo'ladi. Inertsiya momenti faqat aylanish o'qining ma'lum bir pozitsiyasi uchun mantiqiydir.

Oddiygina "inersiya momenti" haqida gapirishning ma'nosi yo'q. Vaziyatga bog'liq:

1) aylanish o'qi holatidan;

2) aylanish o'qiga nisbatan tana massasining taqsimlanishidan, ya'ni. tananing shakli va uning o'lchami bo'yicha.

Buning eksperimental isboti - rulonli silindrlar bilan tajriba.

Ba'zi bir hil jismlar uchun integrallash orqali biz quyidagi formulalarni olishimiz mumkin (aylanish o'qi tananing massa markazidan o'tadi):

Halqaning inertsiya momenti (biz devor qalinligini e'tiborsiz qoldiramiz) yoki ichi bo'sh silindr:

R radiusli disk yoki qattiq silindrning inersiya momenti:

Qayerda .

To'pning inertsiya momenti

Tayoqning inersiya momenti

E Agar jism uchun massa markazidan o'tuvchi o'qqa nisbatan inersiya momenti ma'lum bo'lsa, u holda birinchisiga parallel bo'lgan har qanday o'qqa nisbatan inersiya momenti quyidagicha topiladi. Shtayner teoremasi: jismning ixtiyoriy o'qqa nisbatan inersiya momenti berilganga parallel bo'lgan va tananing massa markazidan o'tuvchi o'qga nisbatan J 0 inersiya momentiga teng, tana massasi ko'paytmasiga qo'shiladi. va o'qlar orasidagi masofaning kvadrati.

Qayerda d massa markazidan aylanish o'qigacha bo'lgan masofa.

Massa markazi xayoliy nuqta bo'lib, uning pozitsiyasi ma'lum bir jism massasining taqsimlanishini tavsiflaydi. Jismning massa markazi xuddi shu jismga ta'sir etuvchi barcha tashqi kuchlar ta'sirida bir xil massadagi moddiy nuqta qanday harakat qilsa, xuddi shunday harakat qiladi.

Inersiya momenti tushunchasi mexanikaga 18-asr oʻrtalarida mahalliy olim L. Eyler tomonidan kiritilgan va shu vaqtdan boshlab qattiq jismlar dinamikasining koʻpgina masalalarini yechishda keng qoʻllanila boshlandi. Har xil aylanuvchi komponentlar va tizimlarni (malovlar, turbinalar, elektr motor rotorlari, giroskoplar) hisoblashda inertsiya momentining qiymati amalda ma'lum bo'lishi kerak. Inersiya momenti jismning harakat tenglamalariga (kema, samolyot, snaryad va boshqalar) kiradi. Bu tashqi bezovtalik (shamol va boshqalar) ta'sirida massa markazi atrofida samolyotning aylanish harakati parametrlarini bilmoqchi bo'lganda aniqlanadi. O'zgaruvchan massali jismlar (raketa) uchun massa va inersiya momenti vaqt o'tishi bilan o'zgaradi.

2 .Quvvat momenti.

Xuddi shu kuch aylanuvchi jismga uning yo‘nalishi va qo‘llanish nuqtasiga qarab turli burchak tezlanishlarini berishi mumkin. Kuchning aylanish harakatini tavsiflash uchun kuch momenti tushunchasi kiritiladi.

Ruxsat etilgan nuqta va qo'zg'almas o'q atrofidagi kuch momenti o'rtasida farqlanadi. O nuqtaga (qutbga) nisbatan kuch momenti O nuqtadan kuch vektori tomonidan kuch qo‘llash nuqtasiga chizilgan radius vektorining vektor mahsulotiga teng vektor kattalikdir:

Ushbu ta'rifni tushuntiruvchi rasm. 3 O nuqta va vektor chizma tekisligida yotsa, vektor ham shu tekislikda joylashadi va  vektor bizdan uzoqqa yo'naltiriladi (2 vektorning vektor ko'paytmasi sifatida; o'ngga ko'ra) gimlet qoidasi).

Quvvat momentining moduli son jihatdan qo'l kuchining ko'paytmasiga teng:

Bu erda O nuqtaga nisbatan kuchning qo'li,  - yo'nalishlar orasidagi burchak va, .

Elka - aylanish markazidan kuch ta'sir chizig'igacha bo'lgan eng qisqa masofa.

Quvvat momentining vektori, agar uning tutqichi kuchning aylanish harakati yo'nalishi bo'yicha aylantirilsa, o'ng gimletning tarjima harakati bilan birgalikda yo'naltiriladi. Kuch momenti eksenel (erkin) vektor bo'lib, u aylanish o'qi bo'ylab yo'naltirilgan, ma'lum bir harakat chizig'i bilan bog'liq emas, uni o'tkazish mumkin.

o'ziga parallel bo'shliq.

Harakatsiz Z o'qiga nisbatan kuch momenti vektorning bu o'qga proyeksiyasi (O nuqtadan o'tadi).

E Agar tanaga bir nechta kuchlar ta'sir etsa, u holda kuchlarning qo'zg'almas Z o'qiga nisbatan hosil bo'lgan momenti tanaga ta'sir qiluvchi barcha kuchlarning ushbu o'qiga nisbatan momentlarining algebraik yig'indisiga teng bo'ladi.

Agar jismga qo'llaniladigan kuch aylanish tekisligida yotmasa, uni 2 komponentga ajratish mumkin: aylanish tekisligida yotgan va  unga F n. 4-rasmdan ko'rinib turibdiki, F n aylanish hosil qilmaydi, faqat tananing deformatsiyasiga olib keladi; jismning aylanishi faqat F  komponentiga bog'liq.

Aylanadigan jismni moddiy nuqtalar to'plami sifatida ko'rsatish mumkin.

IN o'zboshimchalik bilan massasi bo'lgan nuqtani tanlaylik m i, bu nuqtaga tezlanish beradigan kuch bilan ta'sir qiladi (5-rasm). Aylanish faqat tangensial komponentni hosil qilganligi sababli, chiqishni soddalashtirish uchun u aylanish o'qiga perpendikulyar yo'naltiriladi.

Ushbu holatda

Nyutonning ikkinchi qonuniga ko'ra:. Tenglikning ikkala tomonini ko'paytiring r i ;

,

moddiy nuqtaga ta'sir qiluvchi kuch momenti qayerda,

Moddiy nuqtaning inersiya momenti.

Demak, .

Butun tana uchun: ,

bular. jismning burchak tezlanishi unga ta'sir qiluvchi tashqi kuchlar momentiga to'g'ridan-to'g'ri proportsional va uning inersiya momentiga teskari proportsionaldir. Tenglama

(1) qattiq jismning qo'zg'almas o'qqa nisbatan aylanish harakati dinamikasi tenglamasi yoki aylanish harakati uchun Nyutonning ikkinchi qonuni.

3 . Impuls momenti.

Aylanma va translatsiya harakati qonunlarini solishtirganda, o'xshashlik ko'rinadi.

Impulsning analogi burchak momentidir. Burchak impulsi tushunchasi qo'zg'almas nuqtaga nisbatan va qo'zg'almas o'qqa nisbatan ham kiritilishi mumkin, lekin ko'p hollarda uni quyidagicha aniqlash mumkin. Agar moddiy nuqta qo'zg'almas o'q atrofida aylansa, uning bu o'qga nisbatan burchak momenti kattaligi bo'yicha teng bo'ladi.

Qayerda m i- moddiy nuqtaning massasi,

 i - uning chiziqli tezligi

r i- aylanish o'qiga masofa.

Chunki aylanish harakati uchun

bu o'qqa nisbatan moddiy nuqtaning inersiya momenti qayerda.

Qattiq jismning qo'zg'almas o'qga nisbatan burchak impulslari uning barcha nuqtalarining bu o'qga nisbatan burchak impulslarining yig'indisiga teng:

G de - tananing inersiya momenti.

Shunday qilib, qattiq jismning sobit aylanish o'qiga nisbatan burchak momenti uning shu o'qga nisbatan inersiya momenti va burchak tezligi ko'paytmasiga teng va burchak tezligi vektori bilan yo'naltiriladi.

(2) tenglamani vaqtga qarab farqlaylik:

Tenglama (3) - qattiq jismning sobit o'qqa nisbatan aylanish harakati dinamikasi uchun asosiy tenglamaning yana bir shakli: momentning hosilasi.

qattiq jismning sobit aylanish o'qiga nisbatan impulsi tashqi kuchlarning bir xil o'qga nisbatan momentiga teng

Bu tenglama raketa dinamikasining eng muhim tenglamalaridan biridir. Raketa harakatlanayotganda uning massa markazining pozitsiyasi doimiy ravishda o'zgarib turadi, buning natijasida turli xil kuch momentlari paydo bo'ladi: tortishish, aerodinamik kuch, lift tomonidan yaratilgan kuchlar. Raketaning unga qo'llaniladigan barcha kuch momentlari ta'sirida aylanish harakati tenglamasi, raketaning massa markazining harakat tenglamalari va ma'lum boshlang'ich sharoitlari bo'lgan kinematik tenglamalari bilan birgalikda pozitsiyani aniqlashga imkon beradi. istalgan vaqtda kosmosda raketaning.

Ushbu mavzu kuchning maxsus turi - inertial kuchlarni ko'rib chiqishga bag'ishlangan. Bu kuchlarning o'ziga xosligi quyidagicha. Barcha mexanik kuchlar - ular tortishish, elastik yoki ishqalanish kuchlari - jismga boshqa jismlar ta'sirida paydo bo'ladi. Inertial kuchlar bilan vaziyat boshqacha.

Birinchidan, inertsiya nima ekanligini eslaylik. Inertsiya - bu tananing har doim o'zining dastlabki tezligini saqlab qolishga intilishidan iborat bo'lgan jismoniy hodisa. Va inertial kuchlar tananing tezligi o'zgarganda paydo bo'ladi - ya'ni. tezlashuv paydo bo'ladi. Tananing ishtirok etayotgan harakatiga qarab u yoki bu tezlanishni boshdan kechiradi va u yoki bu inertial kuch hosil qiladi. Ammo bu kuchlarning barchasi bir xil naqsh bilan birlashtirilgan: inersiya kuchi har doim uni hosil qilgan tezlanishga qarama-qarshi yo'naltiriladi.

O'z tabiatiga ko'ra inertsiya kuchlari boshqa mexanik kuchlardan farq qiladi. Boshqa barcha mexanik kuchlar bir jismning boshqasiga ta'siri natijasida paydo bo'ladi. Holbuki, inertial kuchlar tananing mexanik harakatining xususiyatlaridan kelib chiqadi. Aytgancha, tananing harakatiga qarab, u yoki bu inertial kuch paydo bo'ladi:

Harakat to'g'ridan-to'g'ri bo'lishi mumkin, keyin suhbat boshlanadi tarjima harakatining inertsiya kuchi haqida;

Harakat egri chiziqli bo'lishi mumkin, keyin esa shunday bo'ladi markazdan qochma inertsiya kuchi haqida;

Nihoyat, harakat ham to'g'ri chiziqli, ham egri chiziqli bo'lishi mumkin (agar tana aylanuvchi tizimda harakat qilsa yoki aylanayotganda harakat qilsa), keyin biz gaplashamiz. Koriolis kuchi haqida.

Keling, inersiya kuchlarining turlarini va ularning paydo bo'lish shartlarini batafsil ko'rib chiqaylik.

1. OLGAN HARAKATNING INERTSIYA KUCHIF i . Bu tananing to'g'ri yo'l bo'ylab harakatlanishida sodir bo'ladi. To'g'ri yo'lda harakatlanayotgan transport vositalarida, tormozlashda va tezlashishda biz doimo bu kuchning ta'siriga duch kelamiz. Tormozlashda biz oldinga tashlanadi, chunki... harakat tezligi keskin pasayadi va tanamiz o'z tezligini saqlab qolishga harakat qiladi. Tezlikni ko'targanda, biz xuddi shu sababga ko'ra o'rindiqning orqa tomoniga bosamiz. Shaklda. 2.1

Tezlik pasaygan taqdirda translatsiya harakatining tezlanish yo'nalishlari va inertial kuchi tasvirlangan: tezlanish harakatga qarama-qarshi, inersiya kuchi esa tezlanishga qarama-qarshi yo'naltirilgan. Inersiya kuchi formulasi Nyutonning ikkinchi qonuni bilan berilgan: . Minus belgisi vektorlar va qarama-qarshi yo'nalishlarga ega ekanligi bilan bog'liq. Ushbu kuchning raqamli qiymati (modul) mos ravishda quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

F = ma (3.1)

2. INERTIAFNING SENTRIFUGAL KUCHI i . Ushbu kuch qanday paydo bo'lishini tushunish uchun 1-rasmga qarang. 3.2, bu diskning gorizontal tekislikda aylanayotganini ko'rsatadi, bu diskning markaziga valentlik aloqasi (masalan, elastik tasma) orqali biriktirilgan shar bilan. Disk aylana boshlaganda, to'p undan uzoqlashishga intiladi

markazlashtiriladi va elastik tasmasini tortadi. Bundan tashqari, disk qanchalik tez aylansa, to'p diskning markazidan uzoqlashadi. To'pning disk tekisligi bo'ylab bu harakati chaqirilgan kuchning ta'siridan kelib chiqadi markazdan qochma inertsiya kuchi (F cb) . Shunday qilib, markazdan qochma kuch aylanish jarayonida yuzaga keladi va aylanish markazidan radius bo'ylab yo'naltiriladi.F cb inertsiya kuchidir, ya'ni uning paydo bo'lishi tezlashuv mavjudligidan kelib chiqadi, bu kuchga qarama-qarshi yo'naltirilishi kerak. Agar markazdan qochma kuch markazdan yo'naltirilgan bo'lsa, unda bu kuchning sababi normal (markazga yo'naltirilgan) tezlanish ekanligi aniq. va n , chunki aynan u aylanish markaziga yo'naltirilgan (1-mavzu, §1.2, 3-bandga qarang). Bunga asoslanib, markazdan qochma kuch formulasini olamiz. Nyutonning ikkinchi qonuniga ko'ra F=ma , Qayerda m - tana massasi. U holda bu munosabat markazdan qochma inertsiya kuchi uchun amal qiladi:

F cb = ma n.

(1.18) va (1.19) ni hisobga olgan holda biz quyidagilarni olamiz:

(3.2) va F cb = mō 2 r (3.3).

3. CORIOLIS FORCE F K . Ikki turdagi harakat birlashganda: aylanish va translatsiya, Koriolis kuchi (yoki Koriolis kuchi) deb ataladigan boshqa kuch paydo bo'ladi. bu kuchni hisoblagan frantsuz mexanik Gustav Gaspard Koriolis (1792-1843) nomi bilan atalgan.

Koriolis kuchining ko'rinishini rasmda ko'rsatilgan tajriba misolida aniqlash mumkin. 3.3. U gorizontal holatda aylanadigan diskni tasvirlaydi

Guruch. 3.3 yuqori ko'rinish

samolyot. Diskda OA radial chizig'ini o'tkazamiz va sharni O dan A ga yo'nalishda v tezlik bilan urib chiqamiz. Agar disk aylanmasa, to'p biz chizgan to'g'ri chiziq bo'ylab aylanadi. Agar disk o'q bilan ko'rsatilgan yo'nalishda aylantirilsa, u holda to'p nuqta chiziq bilan ko'rsatilgan OB egri chizig'i bo'ylab aylanadi va uning tezligi y o'z yo'nalishini o'zgartiradi (3.3 (b)-rasmga qarang). Binobarin, aylanuvchi mos yozuvlar tizimiga (va bu holda u diskdir) nisbatan shar o'zini v tezligiga perpendikulyar ma'lum bir kuch ta'sir qilgandek tutadi. Bu Koriolis kuchi F K . Aynan shu narsa to'pning to'g'ri OA traektoriyasidan chetlanishiga olib keladi. Ushbu kuchni tavsiflovchi formula yana Nyutonning ikkinchi qonuni bilan aniqlanadi, faqat bu safar tezlanish deb ataladigan narsa ishlaydi. Koriolis tezlashuvi K : ,F K =2myus (3,5).

Shunday qilib, yuqorida aytib o'tilganidek, Koriolis kuchi o'zini namoyon qilishi uchun 2 turdagi harakatni birlashtirish kerak. Va bu erda ikkita variant bor: 1). Tana aylanadigan mos yozuvlar ramkasiga nisbatan harakat qiladi. Aynan shu holat 3.3-rasmda tasvirlangan. 2). Aylanadigan jism translatsion harakatni amalga oshiradi.Misol sifatida, “egri” to‘plar deb ataladigan – futbolda qo‘llaniladigan texnikani ko‘rib chiqishimiz mumkin – to‘p uchish vaqtida aylanayotgan tarzda urilganda.