Onlaynda Kramer usuli yordamida tizimni hal qiling. Chiziqli tenglamalar tizimini yechish uchun Kramer usuli

Chiziqli tenglamalar tizimi mustaqil o'zgaruvchilar soni qancha tenglamalarni o'z ichiga oladi, ya'ni. kabi ko'rinadi

Bunday chiziqli tenglamalar sistemalari kvadratik deyiladi. Tizimning mustaqil o'zgaruvchilari uchun koeffitsientlardan tashkil topgan determinant (1.5) tizimning asosiy determinanti deb ataladi. Biz uni yunoncha D harfi bilan belgilaymiz. Shunday qilib,

. (1.6)

Agar asosiy determinantda ixtiyoriy ( j th) ustun, tizimning bepul shartlari ustuni bilan almashtiring (1.5), keyin siz olishingiz mumkin n yordamchi sifatlovchilar:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

Kramer qoidasi chiziqli tenglamalarning kvadratik sistemalarini yechish quyidagicha. Agar (1.5) sistemaning asosiy determinanti D noldan farq qilsa, u holda sistema formulalar yordamida topiladigan yagona yechimga ega:

(1.8)

1.5-misol. Tenglamalar sistemasini Kramer usuli yordamida yeching

.

Keling, tizimning asosiy determinantini hisoblaylik:

D¹0 dan beri tizimda (1.8) formulalar yordamida topish mumkin bo'lgan yagona yechim mavjud:

Shunday qilib,

Matritsalar ustida amallar

1. Matritsani songa ko‘paytirish. Matritsani songa ko'paytirish amali quyidagicha aniqlanadi.

2. Matritsani songa ko'paytirish uchun uning barcha elementlarini shu raqamga ko'paytirish kerak. Ya'ni

. (1.9)

1.6-misol. .

Matritsa qo'shilishi.

Bu amal faqat bir xil tartibdagi matritsalar uchun kiritiladi.

Ikki matritsani qo'shish uchun bitta matritsaning elementlariga boshqa matritsaning mos keladigan elementlarini qo'shish kerak:

(1.10)
Matritsa qo‘shish amali assotsiativlik va kommutativlik xossalariga ega.

1.7-misol. .

Matritsalarni ko'paytirish.

Agar matritsa ustunlari soni A matritsa qatorlari soniga to'g'ri keladi IN, keyin bunday matritsalar uchun ko'paytirish amali kiritiladi:

2

Shunday qilib, matritsani ko'paytirishda A o'lchamlari m´ n matritsaga IN o'lchamlari n´ k matritsani olamiz BILAN o'lchamlari m´ k. Bunday holda, matritsa elementlari BILAN quyidagi formulalar yordamida hisoblab chiqiladi:

Muammo 1.8. Agar iloji bo'lsa, matritsalar ko'paytmasini toping AB Va B.A.:

Yechim. 1) Ish topish uchun AB, sizga matritsa qatorlari kerak A matritsa ustunlariga ko'paytiring B:

2) ish B.A. mavjud emas, chunki matritsa ustunlari soni B matritsa qatorlari soniga mos kelmaydi A.

Teskari matritsa. Matritsa usuli yordamida chiziqli tenglamalar sistemalarini yechish

Matritsa A- 1 kvadrat matritsaning teskarisi deyiladi A, agar tenglik bajarilsa:

qayerdan orqali I matritsa bilan bir xil tartibdagi o'ziga xoslik matritsasini bildiradi A:

.

Kvadrat matritsaning teskari bo‘lishi uchun uning determinanti noldan farq qilishi zarur va yetarli. Teskari matritsa quyidagi formula yordamida topiladi:

, (1.13)

Qayerda A ij- elementlarga algebraik qo'shimchalar a ij matritsalar A(matritsa qatorlariga algebraik qo'shimchalar mavjudligiga e'tibor bering A teskari matritsada mos ustunlar shaklida joylashgan).

1.9-misol. Teskari matritsani toping A- 1 dan matritsaga

.

Teskari matritsani (1.13) formuladan foydalanib topamiz, bu holat uchun n= 3 quyidagi shaklga ega:

.

Keling, det topamiz A = | A| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Asl matritsaning determinanti nolga teng bo'lmaganligi sababli, teskari matritsa mavjud.

1) Algebraik to‘ldiruvchilarni toping A ij:

Teskari matritsani topish qulayligi uchun biz asl matritsa satrlariga algebraik qo'shimchalarni mos ustunlarga joylashtirdik.

Olingan algebraik qo'shimchalardan biz yangi matritsa tuzamiz va uni aniqlovchi detga bo'lamiz. A. Shunday qilib, biz teskari matritsani olamiz:

Bosh determinanti nolga teng boʻlmagan chiziqli tenglamalarning kvadratik sistemalarini teskari matritsa yordamida yechish mumkin. Buning uchun (1.5) sistema matritsa shaklida yoziladi:

Qayerda

Tenglikning ikkala tomonini (1.14) chapdan ko'paytirish A- 1, biz tizimning yechimini olamiz:

, qayerda

Shunday qilib, kvadrat sistemaning yechimini topish uchun tizimning bosh matritsasining teskari matritsasi topib, uni o'ng tarafdagi erkin hadlar ustun matritsasiga ko'paytirish kerak.

Muammo 1.10. Chiziqli tenglamalar sistemasini yeching

teskari matritsadan foydalanish.

Yechim. Tizimni matritsa shaklida yozamiz: ,

Qayerda - tizimning asosiy matritsasi, - noma'lumlar ustuni va - erkin atamalar ustuni. Tizimning asosiy determinanti bo'lgani uchun , keyin tizimning asosiy matritsasi A teskari matritsaga ega A-1 . Teskari matritsani topish uchun A-1 , biz matritsaning barcha elementlariga algebraik to'ldiruvchilarni hisoblaymiz A:

Olingan raqamlardan biz matritsa (va matritsa qatorlariga algebraik qo'shimchalar) tuzamiz. A tegishli ustunlarga yozing) va aniqlovchi D ga bo'ling. Shunday qilib, biz teskari matritsani topdik:

Biz (1.15) formuladan foydalanib tizimning yechimini topamiz:

Shunday qilib,

Oddiy Jordan eliminatsiya usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yechish

Chiziqli tenglamalarning ixtiyoriy (kvadrat bo'lishi shart emas) tizimi berilsin:

(1.16)

Tizimga yechim topish talab qilinadi, ya'ni. tizimning barcha tengliklarini qanoatlantiradigan shunday o'zgaruvchilar to'plami (1.16). Umumiy holatda (1.16) sistemada faqat bitta yechim emas, son-sanoqsiz yechimlar ham bo'lishi mumkin. Bundan tashqari, u hech qanday yechimga ega bo'lmasligi mumkin.

Bunday muammolarni hal qilishda noma'lumlarni yo'q qilishning taniqli maktab kursi usuli qo'llaniladi, bu oddiy Iordaniyani yo'q qilish usuli deb ham ataladi. Bu usulning mohiyati shundan iboratki, (1.16) sistemaning tenglamalaridan birida o'zgaruvchilardan biri boshqa o'zgaruvchilar bilan ifodalanadi. Keyinchalik bu o'zgaruvchi tizimdagi boshqa tenglamalarga almashtiriladi. Natijada, bir tenglama va bir o'zgaruvchini o'z ichiga olgan tizim asl tizimdan kichik bo'ladi. O'zgaruvchi ifodalangan tenglama esga olinadi.

Bu jarayon tizimda oxirgi tenglama qolguncha takrorlanadi. Noma'lumlarni yo'q qilish jarayoni orqali ba'zi tenglamalar haqiqiy identifikatsiyaga aylanishi mumkin, masalan. Bunday tenglamalar tizimdan chiqarib tashlanadi, chunki ular o'zgaruvchilarning har qanday qiymatlari uchun qondiriladi va shuning uchun tizimning echimiga ta'sir qilmaydi. Agar noma'lumlarni yo'q qilish jarayonida hech bo'lmaganda bitta tenglama o'zgaruvchilarning har qanday qiymatlari uchun (masalan,) qondirib bo'lmaydigan tenglikka aylansa, biz tizimda yechim yo'q degan xulosaga kelamiz.

Agar yechish jarayonida qarama-qarshi tenglamalar paydo bo'lmasa, unda qolgan o'zgaruvchilardan biri oxirgi tenglamadan topiladi. Agar oxirgi tenglamada faqat bitta o'zgaruvchi qolsa, u raqam sifatida ifodalanadi. Agar oxirgi tenglamada boshqa o'zgaruvchilar qolsa, u holda ular parametrlar hisoblanadi va ular orqali ifodalangan o'zgaruvchi bu parametrlarning funktsiyasi bo'ladi. Keyin "teskari harakat" deb ataladigan narsa sodir bo'ladi. Topilgan o'zgaruvchi oxirgi eslab qolgan tenglamaga almashtiriladi va ikkinchi o'zgaruvchi topiladi. Keyin topilgan ikkita o'zgaruvchi oxirgidan oldingi yodlangan tenglamaga almashtiriladi va uchinchi o'zgaruvchi topiladi va hokazo, birinchi yodlangan tenglamagacha.

Natijada, biz tizimga yechim topamiz. Agar topilgan o'zgaruvchilar raqamlar bo'lsa, bu yechim noyob bo'ladi. Agar topilgan birinchi o'zgaruvchi, keyin esa qolganlari parametrlarga bog'liq bo'lsa, u holda tizim cheksiz ko'p echimlarga ega bo'ladi (har bir parametr to'plami yangi yechimga mos keladi). Muayyan parametrlar to‘plamiga qarab tizim yechimini topish imkonini beruvchi formulalar tizimning umumiy yechimi deyiladi.

1.11-misol.

x

Birinchi tenglamani yod olgandan keyin va ikkinchi va uchinchi tenglamalarga o'xshash shartlarni keltirsak, biz tizimga kelamiz:

ifoda qilaylik y ikkinchi tenglamadan va uni birinchi tenglamaga almashtiring:

Keling, ikkinchi tenglamani eslaylik va birinchisidan topamiz z:

Orqaga qarab ishlaymiz, biz doimo topamiz y Va z. Buning uchun biz birinchi navbatda topilgan joydan oxirgi eslab qolgan tenglamani almashtiramiz y:

.

Keyin biz uni birinchi yodlangan tenglamaga almashtiramiz qaerdan topishimiz mumkin x:

Muammo 1.12. Noma'lumlarni yo'q qilish orqali chiziqli tenglamalar tizimini yeching:

. (1.17)

Yechim. Birinchi tenglamadan o'zgaruvchini ifodalaylik x va uni ikkinchi va uchinchi tenglamalarga almashtiring:

.

Birinchi tenglamani eslaylik

Bu sistemada birinchi va ikkinchi tenglamalar bir-biriga zid keladi. Haqiqatan ham, ifodalash y , biz 14 = 17 ni olamiz. Bu tenglik o'zgaruvchilarning hech qanday qiymatlari uchun amal qilmaydi. x, y, Va z. Binobarin, tizim (1.17) mos kelmaydi, ya'ni. yechimi yo‘q.

Biz o'quvchilarni dastlabki tizimning asosiy determinanti (1.17) nolga teng ekanligini tekshirishga taklif qilamiz.

Keling, (1.17) sistemadan faqat bitta erkin atama bilan farq qiladigan tizimni ko'rib chiqaylik.

Muammo 1.13. Noma'lumlarni yo'q qilish orqali chiziqli tenglamalar tizimini yeching:

. (1.18)

Yechim. Avvalgidek, biz birinchi tenglamadan o'zgaruvchini ifodalaymiz x va uni ikkinchi va uchinchi tenglamalarga almashtiring:

.

Birinchi tenglamani eslaylik va ikkinchi va uchinchi tenglamalarda o'xshash shartlarni keltiring. Biz tizimga kelamiz:

Ifoda qilish y birinchi tenglamadan va uni ikkinchi tenglamaga almashtirish , biz 14 = 14 identifikatsiyani olamiz, bu tizimning yechimiga ta'sir qilmaydi va shuning uchun uni tizimdan chiqarib tashlash mumkin.

Oxirgi eslab qolgan tenglikda, o'zgaruvchi z biz uni parametr deb hisoblaymiz. Ishonamizki. Keyin

Keling, almashtiramiz y Va z birinchi eslab qolgan tenglikni kiriting va toping x:

.

Shunday qilib, (1.18) tizim cheksiz sonli echimlarga ega va parametrning ixtiyoriy qiymatini tanlagan holda (1.19) formulalar yordamida istalgan yechimni topish mumkin. t:

(1.19)
Shunday qilib, tizimning yechimlari, masalan, quyidagi o'zgaruvchilar to'plamidir (1; 2; 0), (2; 26; 14) va boshqalar. Formulalar (1.19) tizimning umumiy (har qanday) yechimini (1.18) ifodalaydi. ).

Agar dastlabki tizim (1.16) etarlicha katta miqdordagi tenglamalar va noma'lumlarga ega bo'lsa, oddiy Iordaniyani yo'q qilishning ko'rsatilgan usuli noqulay ko'rinadi. Biroq, unday emas. Tizim koeffitsientlarini bir bosqichda qayta hisoblash algoritmini umumiy shaklda olish va masalaning yechimini maxsus Iordaniya jadvallari shaklida rasmiylashtirish kifoya.

Chiziqli shakllar (tenglamalar) tizimi berilsin:

, (1.20)
Qayerda x j- mustaqil (izlangan) o'zgaruvchilar; a ij- doimiy koeffitsientlar
(i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Tizimning o'ng qismlari y i (i = 1, 2,…, m) o'zgaruvchilar (qaram) yoki doimiylar bo'lishi mumkin. Noma'lumlarni yo'q qilish orqali ushbu tizimning echimlarini topish talab etiladi.

Keling, "oddiy Iordaniyani yo'q qilishning bir bosqichi" deb nomlangan quyidagi operatsiyani ko'rib chiqaylik. O'zboshimchalikdan ( r th) tenglik ixtiyoriy o'zgaruvchini ifodalaymiz ( xs) va boshqa barcha tengliklarni almashtiring. Albatta, bu faqat agar mumkin bo'lsa a rs¹ 0. Koeffitsient a rs hal qiluvchi (ba'zan yo'naltiruvchi yoki asosiy) element deb ataladi.

Biz quyidagi tizimni olamiz:

. (1.21)

Kimdan s- tizimning tengligi (1.21), biz keyinchalik o'zgaruvchini topamiz xs(qolgan o'zgaruvchilar topilgandan keyin). S-chi qator eslab qoladi va keyinchalik tizimdan chiqarib tashlanadi. Qolgan tizimda bitta tenglama va dastlabki tizimdan kamroq mustaqil o'zgaruvchi bo'ladi.

Olingan sistemaning (1.21) koeffitsientlarini dastlabki sistemaning (1.20) koeffitsientlari orqali hisoblab chiqamiz. dan boshlaylik r th tenglama, o'zgaruvchini ifodalagandan keyin xs qolgan o'zgaruvchilar orqali u quyidagicha ko'rinadi:

Shunday qilib, yangi koeffitsientlar r th tenglamalari quyidagi formulalar yordamida hisoblanadi:

(1.23)
Endi yangi koeffitsientlarni hisoblaymiz b ij(i¹ r) ixtiyoriy tenglama. Buning uchun (1.22) da ifodalangan o‘zgaruvchini almashtiramiz. xs V i sistemaning tenglamasi (1.20):

Shunga o'xshash shartlarni keltirganimizdan so'ng, biz quyidagilarni olamiz:

(1.24)
Tenglikdan (1.24) biz tizimning qolgan koeffitsientlari (1.21) hisoblangan formulalarni olamiz (istisnodan tashqari) r tenglama):

(1.25)
Chiziqli tenglamalar tizimini oddiy Iordaniyani yo'q qilish usuli bilan o'zgartirish jadvallar (matritsalar) ko'rinishida keltirilgan. Ushbu jadvallar "Iordaniya jadvallari" deb ataladi.

Shunday qilib, muammo (1.20) quyidagi Iordaniya jadvali bilan bog'liq:

1.1-jadval

Jordan 1.1-jadvalda tizimning o'ng qismlari (1.20) yoziladigan chap sarlavha ustuni va mustaqil o'zgaruvchilar yoziladigan yuqori sarlavha satri mavjud.

Jadvalning qolgan elementlari tizim koeffitsientlarining asosiy matritsasini tashkil qiladi (1.20). Agar siz matritsani ko'paytirsangiz A yuqori sarlavha qatori elementlaridan tashkil topgan matritsaga chap sarlavha ustunining elementlaridan iborat matritsani olasiz. Ya'ni, mohiyatan, Iordaniya jadvali chiziqli tenglamalar tizimini yozishning matritsa shaklidir: . Tizim (1.21) quyidagi Iordaniya jadvaliga mos keladi:

1.2-jadval

Ruxsat beruvchi element a rs Biz ularni qalin harflar bilan ta'kidlaymiz. Eslatib o'tamiz, Iordaniyani yo'q qilishning bir bosqichini amalga oshirish uchun hal qiluvchi element nolga teng bo'lmasligi kerak. Yoqish elementini o'z ichiga olgan jadval qatori yoqish qatori deb ataladi. Yoqish elementini o'z ichiga olgan ustun yoqish ustuni deb ataladi. Berilgan jadvaldan keyingi jadvalga o'tishda bitta o'zgaruvchi ( xs) jadvalning yuqori sarlavha satridan chap sarlavha ustuniga va aksincha, tizimning bo'sh a'zolaridan biri ( y r) jadvalning chap bosh ustunidan yuqori bosh qatoriga o'tadi.

Keling, (1.23) va (1.25) formulalardan kelib chiqadigan Iordaniya jadvalidan (1.1) jadvalga (1.2) o'tishda koeffitsientlarni qayta hisoblash algoritmini tasvirlaylik.

1. Yechish elementi teskari son bilan almashtiriladi:

2. Yechish qatorining qolgan elementlari hal qiluvchi elementga bo‘linadi va ishorani teskari tomonga o‘zgartiradi:

3. Rezolyutsiya ustunining qolgan elementlari ruxsat elementiga bo'linadi:

4. Ruxsat beruvchi qator va ruxsat beruvchi ustunga kiritilmagan elementlar formulalar yordamida qayta hisoblab chiqiladi:

Oxirgi formulani eslab qolish oson, agar siz kasrni tashkil etuvchi elementlarni sezsangiz , chorrahada joylashgan i-oh va r th qatorlar va j th va s th ustunlar (yechish qatori, hal qiluvchi ustun va qayta hisoblangan element joylashgan chorrahadagi satr va ustun). Aniqroq aytganda, formulani yodlashda quyidagi diagrammadan foydalanishingiz mumkin:

Iordaniya istisnolarining birinchi bosqichini bajarishda siz hal qiluvchi element sifatida ustunlarda joylashgan 1.3-jadvalning istalgan elementini tanlashingiz mumkin. x 1 ,…, x 5 (barcha ko'rsatilgan elementlar nolga teng emas). Faqat oxirgi ustundagi faollashtiruvchi elementni tanlamang, chunki mustaqil o'zgaruvchilarni topishingiz kerak x 1 ,…, x 5 . Masalan, biz koeffitsientni tanlaymiz 1 o'zgaruvchi bilan x 1.3-jadvalning uchinchi qatorida 3-rasm (yoqish elementi qalin qilib ko'rsatilgan). 1.4-jadvalga o'tayotganda, o'zgaruvchi x Yuqori sarlavha qatoridagi 3 raqami chap sarlavha ustunining (uchinchi qator) doimiy 0 ga almashtiriladi. Bunday holda, o'zgaruvchi x 3 qolgan o'zgaruvchilar orqali ifodalanadi.

String x 3 (1.4-jadval) oldindan eslab qolgach, 1.4-jadvaldan chiqarib tashlash mumkin. 1.4-jadvaldan yuqori sarlavha satrida nolga ega uchinchi ustun ham chiqarib tashlangan. Gap shundaki, berilgan ustunning koeffitsientlaridan qat'i nazar b i 3 har bir tenglamaning barcha mos keluvchi shartlari 0 b i 3 ta tizim nolga teng bo'ladi. Shuning uchun bu koeffitsientlarni hisoblash shart emas. Bitta o'zgaruvchini yo'q qilish x 3 va tenglamalardan birini eslab, biz 1.4-jadvalga mos keladigan tizimga kelamiz (chiziq kesib tashlangan holda) x 3). 1.4-jadvalda hal qiluvchi element sifatida tanlash b 14 = -5, 1.5-jadvalga o'ting. 1.5-jadvalda birinchi qatorni eslab, uni to'rtinchi ustun bilan birga jadvaldan chiqarib tashlang (yuqorida nol bilan).

1.5-jadval 1.6-jadval

Oxirgi 1.7-jadvaldan biz quyidagilarni topamiz: x 1 = - 3 + 2x 5 .

Topilgan o'zgaruvchilarni eslab qolgan satrlarga izchil ravishda almashtirib, qolgan o'zgaruvchilarni topamiz:

Shunday qilib, tizim cheksiz ko'p echimlarga ega. O'zgaruvchan x 5, o'zboshimchalik bilan qiymatlar tayinlanishi mumkin. Ushbu o'zgaruvchi parametr sifatida ishlaydi x 5 = t. Biz tizimning mosligini isbotladik va uning umumiy yechimini topdik:

x 1 = - 3 + 2t

x 2 = - 1 - 3t

x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Parametr berish t turli qiymatlar bo'lsa, biz asl tizimga cheksiz ko'p echimlarni olamiz. Shunday qilib, masalan, tizimning yechimi quyidagi o'zgaruvchilar to'plamidir (- 3; - 1; - 2; 4; 0).

Gabriel Kramer - shveytsariyalik matematik, chiziqli algebra yaratuvchilardan biri, Iogan Bernullining shogirdi va do'sti. Kramer kvadrat matritsali ixtiyoriy sonli chiziqli tenglamalar tizimini ko'rib chiqdi. U tizimga yechimni umumiy maxrajli kasrlar ustuni - matritsaning determinanti sifatida taqdim etdi. Kramer usuli chiziqli tenglamalar sistemalarini yechishda determinantlardan foydalanishga asoslanadi, bu esa yechim jarayonini sezilarli darajada tezlashtiradi. Bu usul yordamida har bir tenglamada qancha noma’lum bo‘lsa, shuncha chiziqli tenglamalar tizimini yechish mumkin. Asosiysi, tizimning determinanti "0" ga teng emas, u holda yechimda Kramer usulidan foydalanish mumkin, agar "0" bo'lsa - bu usuldan foydalanish mumkin emas. Bu usuldan chiziqli tenglamalar sistemalarini yagona yechimga ega yechishda ham foydalanish mumkin.

Kramer teoremasi. Agar tizimning determinanti nolga teng bo'lmasa, chiziqli tenglamalar tizimi bitta yagona yechimga ega va noma'lum determinantlar nisbatiga teng. Maxrajda sistemaning determinanti, hisoblagich esa ushbu noma'lumning koeffitsientlarini erkin hadlar bilan almashtirish orqali tizimning aniqlovchisidan olingan aniqlovchini o'z ichiga oladi. Bu teorema har qanday tartibli chiziqli tenglamalar tizimi uchun amal qiladi.

Aytaylik, bizga ushbu turdagi SLAE berilgan:

\[\chap\(\begin(matritsa) 3x_1 + 2x_2 =1\\ x_1 + 4x_2 = -3 \end(matritsa)\o'ng.\]

Kramer teoremasiga ko'ra biz quyidagilarni olamiz:

Javob: \

Onlayn hal qiluvchi yordamida Kramer usuli yordamida tenglamani qayerda yechish mumkin?

Tenglamani bizning https://site saytimizda echishingiz mumkin. Bepul onlayn hal qiluvchi har qanday murakkablikdagi onlayn tenglamalarni bir necha soniya ichida hal qilish imkonini beradi. Bajarishingiz kerak bo'lgan yagona narsa ma'lumotlaringizni hal qiluvchiga kiritishdir. Shuningdek, bizning veb-saytimizda video ko'rsatmalarini ko'rishingiz va tenglamani qanday echishni o'rganishingiz mumkin. Va agar sizda hali ham savollaringiz bo'lsa, ularni bizning VKontakte guruhimizda http://vk.com/pocketteacher so'rashingiz mumkin. Guruhimizga qo'shiling, biz har doim sizga yordam berishdan xursandmiz.

Kramer usuli noma'lum o'zgaruvchilar soni tenglamalar soniga teng bo'lgan va asosiy matritsaning determinanti nolga teng bo'lmagan chiziqli algebraik tenglamalar (SLAE) tizimlarini echish uchun ishlatiladi. Ushbu maqolada biz Kramer usuli yordamida noma'lum o'zgaruvchilar qanday topilganligini tahlil qilamiz va formulalarni olamiz. Shundan so'ng misollarga o'tamiz va chiziqli algebraik tenglamalar sistemalarining Kramer usuli yordamida yechilishini batafsil bayon qilamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Kramer usuli - formulalarni hosil qilish.

Shaklning chiziqli tenglamalar tizimini yechishimiz kerak

Bu yerda x 1, x 2, …, x n nomaʼlum oʻzgaruvchilar, a i j, i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n- sonli koeffitsientlar, b 1, b 2, ..., b n - erkin atamalar. SLAE yechimi x 1 , x 2 , …, x n qiymatlari to'plami bo'lib, ular uchun tizimning barcha tenglamalari identifikatsiyaga aylanadi.

Matritsa shaklida bu tizimni A ⋅ X = B shaklida yozish mumkin, bu erda - tizimning asosiy matritsasi, uning elementlari noma'lum o'zgaruvchilarning koeffitsientlari, - matritsa erkin atamalar ustuni va - matritsa noma'lum o'zgaruvchilar ustunidir. Noma'lum o'zgaruvchilar x 1, x 2, …, x n topilgandan so'ng, matritsa tenglamalar tizimining yechimiga aylanadi va A ⋅ X = B tenglik bir xillikka aylanadi.

Faraz qilamizki, A matritsa yagona emas, ya’ni uning determinanti nolga teng emas. Bunda chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi Kramer usulida topiladigan yagona yechimga ega. (Tizimlarni yechish usullari chiziqli algebraik tenglamalar tizimlarini yechish bo'limida ko'rib chiqiladi).

Kramer usuli matritsa determinantining ikkita xususiyatiga asoslanadi:

Shunday qilib, noma'lum o'zgaruvchi x 1 ni topishni boshlaylik. Buning uchun tizimning birinchi tenglamasining ikkala qismini A 1 1 ga, ikkinchi tenglamaning ikkala qismini A 2 1 ga va shunga o‘xshash n- tenglamaning ikkala qismini A n 1 ga ko‘paytiramiz (ya’ni, biz sistemaning tenglamalarini birinchi matritsa ustunining mos algebraik to'ldiruvchilariga ko'paytiring):

Keling, x 1, x 2, ..., x n noma'lum o'zgaruvchilar uchun atamalarni guruhlab, tizim tenglamasining barcha chap tomonlarini qo'shamiz va bu yig'indini tenglamalarning barcha o'ng tomonlari yig'indisiga tenglashtiramiz:

Agar determinantning yuqorida aytib o'tilgan xususiyatlariga murojaat qilsak, bizda mavjud

oldingi tenglik esa shaklni oladi

qayerda

Xuddi shunday, biz x 2 ni topamiz. Buning uchun tizim tenglamalarining ikkala tomonini A matritsasining ikkinchi ustunining algebraik to‘ldiruvchilariga ko‘paytiramiz:

Biz tizimning barcha tenglamalarini qo'shamiz, x 1, x 2, ..., x n noma'lum o'zgaruvchilar uchun atamalarni guruhlaymiz va determinantning xususiyatlarini qo'llaymiz:

Qayerda
.

Qolgan noma'lum o'zgaruvchilar xuddi shunday topiladi.

Agar belgilasak

Keyin olamiz Kramer usuli yordamida noma'lum o'zgaruvchilarni topish uchun formulalar .

Izoh.

Agar chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi bir jinsli bo'lsa, ya'ni , unda u faqat arzimas yechimga ega (da). Haqiqatan ham, nol bepul shartlar uchun barcha determinantlar nolga teng bo'ladi, chunki ular nol elementlar ustunini o'z ichiga oladi. Shuning uchun formulalar beradi.

Kramer usuli yordamida chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechish algoritmi.

Keling, yozamiz Kramer usuli yordamida chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechish algoritmi.

Kramer usuli yordamida chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechishga misollar.

Keling, bir nechta misollarning echimlarini ko'rib chiqaylik.

Misol.

Kramer usuli yordamida chiziqli algebraik tenglamalarning bir jinsli bo‘lmagan sistemasi yechimini toping. .

Yechim.

Tizimning asosiy matritsasi shaklga ega. Formuladan foydalanib uning determinantini hisoblaymiz :

Tizimning asosiy matritsasining determinanti noldan farq qilganligi sababli, SLAE noyob yechimga ega va uni Kramer usuli bilan topish mumkin. Determinantlarni yozamiz va. Biz tizimning asosiy matritsasining birinchi ustunini erkin shartlar ustuniga almashtiramiz va determinantni olamiz. . Xuddi shunday, biz asosiy matritsaning ikkinchi ustunini erkin shartlar ustuniga almashtiramiz va biz .

Ushbu determinantlarni hisoblaymiz:

Formulalar yordamida x 1 va x 2 noma'lum o'zgaruvchilarni toping :

Keling, tekshiramiz. Olingan x 1 va x 2 qiymatlarini dastlabki tenglamalar tizimiga almashtiramiz:

Tizimning ikkala tenglamasi ham identifikatsiyaga aylanadi, shuning uchun yechim to'g'ri topildi.

Javob:

.

SLAE asosiy matritsasining ba'zi elementlari nolga teng bo'lishi mumkin. Bunday holda, mos keladigan noma'lum o'zgaruvchilar tizim tenglamalarida mavjud bo'lmaydi. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.

Misol.

Kramer usulida chiziqli tenglamalar sistemasi yechimini toping .

Yechim.

Keling, tizimni shaklda qayta yozamiz , shuning uchun tizimning asosiy matritsasi ko'rinadigan bo'ladi . Formuladan foydalanib uning determinantini topamiz

Bizda ... bor

Asosiy matritsaning determinanti nolga teng emas, shuning uchun chiziqli tenglamalar tizimi yagona yechimga ega. Keling, uni Kramer usuli yordamida topamiz. Determinantlarni hisoblaylik :

Shunday qilib,

Javob:

Tizim tenglamalarida noma'lum o'zgaruvchilarning belgilari x 1, x 2, ..., x n dan farq qilishi mumkin. Bu qaror qabul qilish jarayoniga ta'sir qilmaydi. Ammo asosiy matritsa va Kramer usulining zarur determinantlarini tuzishda tizim tenglamalarida noma'lum o'zgaruvchilarning tartibi juda muhimdir. Keling, bir misol bilan ushbu fikrga oydinlik kiritaylik.

Misol.

Kramer usulidan foydalanib, uchta noma'lumli uchta chiziqli algebraik tenglamalar tizimining yechimini toping. .

Yechim.

Ushbu misolda noma'lum o'zgaruvchilar boshqa belgiga ega (x1, x2 va x3 o'rniga x, y va z). Bu yechimga ta'sir qilmaydi, lekin o'zgaruvchan teglar bilan ehtiyot bo'ling. Siz uni tizimning asosiy matritsasi sifatida qabul qila olmaysiz . Avval tizimning barcha tenglamalarida noma'lum o'zgaruvchilarni tartiblash kerak. Buning uchun tenglamalar tizimini quyidagicha qayta yozamiz . Endi tizimning asosiy matritsasi aniq ko'rinadi . Uning determinantini hisoblaymiz:

Asosiy matritsaning determinanti nolga teng emas, shuning uchun tenglamalar tizimi yagona yechimga ega. Keling, uni Kramer usuli yordamida topamiz. Keling, aniqlovchilarni yozamiz (belgiga e'tibor bering) va ularni hisoblang:

Formulalar yordamida noma'lum o'zgaruvchilarni topish qoladi :

Keling, tekshiramiz. Buning uchun asosiy matritsani olingan yechimga ko'paytiring (agar kerak bo'lsa, bo'limga qarang):

Natijada, biz dastlabki tenglamalar tizimining erkin shartlari ustunini oldik, shuning uchun yechim to'g'ri topildi.

Javob:

x = 0, y = -2, z = 3.

Misol.

Kramer usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yeching , bu yerda a va b ba'zi haqiqiy sonlar.

Yechim.

Javob:

Misol.

Tenglamalar sistemasi yechimini toping Kramer usuli bo'yicha, - qandaydir haqiqiy son.

Yechim.

Tizimning bosh matritsasining determinantini hisoblaymiz: . ifoda intervaldir, shuning uchun har qanday haqiqiy qiymatlar uchun. Binobarin, tenglamalar sistemasi Kramer usulida topiladigan yagona yechimga ega. Biz hisoblaymiz va:

Nolga teng bo'lmagan matritsaning asosiy determinanti bilan noma'lumlar soni bilan bir xil miqdordagi tenglamalar bilan tizimning koeffitsientlari (bunday tenglamalar uchun yechim mavjud va faqat bitta).

Kramer teoremasi.

Kvadrat sistema matritsasining determinanti nolga teng bo‘lmasa, bu sistema izchil va bitta yechimga ega ekanligini bildiradi va uni quyidagicha topish mumkin. Kramer formulalari:

qaerda D - tizim matritsasining determinanti,

Δ i tizim matritsasining determinanti bo'lib, uning o'rniga i Ustun o'ng tomonlar ustunini o'z ichiga oladi.

Tizimning determinanti nolga teng bo'lsa, bu tizim kooperativ yoki mos kelmasligi mumkinligini anglatadi.

Ushbu usul odatda keng hisob-kitoblarga ega bo'lgan kichik tizimlar uchun ishlatiladi va agar noma'lumlardan birini aniqlash kerak bo'lsa. Usulning murakkabligi shundaki, ko'plab determinantlarni hisoblash kerak.

Kramer usulining tavsifi.

Tenglamalar tizimi mavjud:

3 ta tenglamalar sistemasini 2 ta tenglamalar sistemasi uchun yuqorida muhokama qilingan Kramer usuli yordamida yechish mumkin.

Noma'lumlar koeffitsientlaridan determinant tuzamiz:

Bu bo'ladi tizim determinanti. Qachon D≠0, ya'ni tizim izchil. Endi 3 ta qo'shimcha determinant yaratamiz:

,,

Biz tizimni hal qilamiz Kramer formulalari:

Kramer usuli yordamida tenglamalar tizimini yechishga misollar.

1-misol.

Berilgan tizim:

Keling, uni Kramer usuli yordamida hal qilaylik.

Avval siz tizim matritsasining determinantini hisoblashingiz kerak:

Chunki D≠0, ya’ni Kramer teoremasidan sistema izchil va u bitta yechimga ega. Biz qo'shimcha determinantlarni hisoblaymiz. D 1 determinanti D determinantidan uning birinchi ustunini erkin koeffitsientlar ustuniga almashtirish orqali olinadi. Biz olamiz:

Xuddi shu tarzda, ikkinchi ustunni erkin koeffitsientlar ustuni bilan almashtirib, tizim matritsasining determinantidan D 2 determinantini olamiz:

Usullari Kramer Va Gauss- eng mashhur yechim usullaridan biri SLAU. Bundan tashqari, ba'zi hollarda muayyan usullardan foydalanish tavsiya etiladi. Sessiya yopildi va endi ularni noldan takrorlash yoki o'zlashtirish vaqti keldi. Bugun biz Kramer usuli yordamida yechimni ko'rib chiqamiz. Zero, chiziqli tenglamalar tizimini Kramer usuli yordamida yechish juda foydali mahoratdir.

Chiziqli algebraik tenglamalar sistemalari

Chiziqli algebraik tenglamalar tizimi bu quyidagi shakldagi tenglamalar tizimidir:

Qiymat to'plami x , bunda sistemaning tenglamalari identifikatsiyaga aylanadi, sistemaning yechimi deyiladi, a Va b real koeffitsientlardir. Ikki noma'lumli ikkita tenglamadan iborat oddiy tizim sizning boshingizda yoki bir o'zgaruvchini boshqasi bilan ifodalash orqali hal qilinishi mumkin. Ammo SLAEda ikkitadan ortiq o'zgaruvchi (xes) bo'lishi mumkin va bu erda oddiy maktab manipulyatsiyalari etarli emas. Nima qilsa bo'ladi? Masalan, Cramer usuli yordamida SLAE ni hal qiling!

Shunday qilib, tizim quyidagilardan iborat bo'lsin n bilan tenglamalar n noma'lum.

Bunday tizimni matritsa shaklida qayta yozish mumkin

Bu yerga A - tizimning asosiy matritsasi; X Va B , mos ravishda, noma'lum o'zgaruvchilar va erkin shartlarning ustun matritsalari.

Kramer usuli yordamida SLAE ni yechish

Agar asosiy matritsaning determinanti nolga teng bo'lmasa (matritsa yagona bo'lmasa), tizimni Kramer usuli yordamida echish mumkin.

Kramer usuliga ko'ra, eritma quyidagi formulalar yordamida topiladi:

Bu yerga delta bosh matritsaning determinanti hisoblanadi va delta x n-chi – asosiy matritsaning determinantidan n-ustunni erkin hadlar ustuniga almashtirish orqali olingan aniqlovchi.

Bu Kramer usulining butun mohiyatidir. Yuqoridagi formulalar yordamida topilgan qiymatlarni almashtirish x kerakli tizimga kirib, biz yechimimizning to'g'riligiga (yoki aksincha) ishonch hosil qilamiz. Mohiyatni tezda tushunishingizga yordam berish uchun biz quyida Kramer usuli yordamida SLAE ning batafsil yechimiga misol keltiramiz:

Birinchi marta muvaffaqiyatga erisha olmagan bo'lsangiz ham, tushkunlikka tushmang! Bir oz mashq qilsangiz, siz yong'oq kabi SLAU'larni yorishni boshlaysiz. Bundan tashqari, endi daftarni varaqlash, mashaqqatli hisob-kitoblarni hal qilish va yadroni yozish mutlaqo shart emas. Koeffitsientlarni tayyor shaklga almashtirish orqali siz onlayn tarzda Kramer usulidan foydalanib, SLAE ni osongina hal qilishingiz mumkin. Siz, masalan, ushbu veb-saytda Cramer usulidan foydalangan holda onlayn yechim kalkulyatorini sinab ko'rishingiz mumkin.

Va agar tizim o'jar bo'lib chiqsa va taslim bo'lmasa, siz har doim bizning mualliflarimizga yordam so'rashingiz mumkin, masalan. Agar tizimda kamida 100 ta noma'lum bo'lsa, biz uni albatta to'g'ri va o'z vaqtida hal qilamiz!