Asosiy elementar funktsiyalarning hosilalari taqdimot jadvali. Ayrim elementar funksiyalarning hosilalari. Shahar ta'lim muassasasi Srednesantimirskaya o'rta maktabi

HOSILA

Shahar ta'lim muassasasi Srednesantimirskaya o'rta maktabi

Matematika o'qituvchisi tomonidan to'ldirilgan

Singatullova G.Sh.

• Tsiklning ta'rifi.
• Hosilning fizik ma'nosi.
• .

• Differensiallashning asosiy qoidalari.
• Murakkab funktsiyaning hosilasi.
• Mavzu bo'yicha masalalar yechishga misollar hosila.

Tsiklning ta'rifi

y= funksiya qandaydir intervalda (a, b) aniqlansin. f(x). Bu oraliqdan istalgan x 0 nuqtani olaylik va x 0 nuqtadagi x argumentiga ixtiyoriy ∆ x o'sishini beraylik, x 0 + ∆ x nuqta shu intervalga tegishli bo'lsin. Funktsiya ortib boradi

Hosil y = funktsiyalari f(x) x =x 0 nuqtada argumentning o'sishi nolga moyil bo'lganda, bu nuqtadagi ∆y funktsiya o'sishning ∆x argumentining o'sishiga nisbati chegarasi deyiladi.

Hosilning geometrik ma'nosi

y= funktsiyasi bo'lsin f(x) ba'zi bir intervalda (a, b) aniqlanadi. Keyin funksiya grafigiga sekant MR nishab burchagi tangensi.

Bu yerda  tangens funksiyaning qiyalik burchagi f(x) nuqtada (x 0 , f(x 0)).

Egri chiziqlar orasidagi burchakni istalgan nuqtada bu egri chiziqlarga chizilgan tangenslar orasidagi burchak sifatida aniqlash mumkin.

Egri chiziqqa tangens tenglamasi:

Hosilning fizik ma'nosi 1. Moddiy zarrachaning harakat tezligini aniqlash masalasi

Nuqta s= s(t) qonuniga muvofiq ma’lum bir to‘g‘ri chiziq bo‘ylab harakatlansin, bu yerda s – bosib o‘tgan masofa, t – vaqt, nuqtaning t 0 momentdagi tezligini topish kerak.

Vaqt t 0 momentida bosib o'tgan masofa s 0 = s(t 0), momentga (t 0 + ∆t) esa - yo'l s 0 + ∆s=s(t 0 + ∆t) ga teng. ).

Keyin ∆t oralig'ida o'rtacha tezlik bo'ladi

∆t qanchalik kichik bo'lsa, o'rtacha tezlik t 0 momentidagi nuqta harakatini shunchalik yaxshi tavsiflaydi. Shuning uchun, ostida nuqtaning t vaqtidagi tezligi 0 t 0 dan t 0 +∆t gacha bo'lgan davr uchun o'rtacha tezlik chegarasi sifatida tushunish kerak, ∆t⇾0 bo'lganda, ya'ni.

2. KIMYOVIY MALZUMAT HAQIDAGI MUAMMO REAKSIYALAR

Biror modda kimyoviy reaksiyaga kirishsin. Bu moddaning Q miqdori reaksiya davomida t vaqtga qarab o'zgaradi va vaqtning funktsiyasidir. Moddaning miqdori ∆t vaqt ichida ∆Q ga o'zgargan bo'lsin, u holda nisbat ∆t vaqt ichida kimyoviy reaksiyaning o'rtacha tezligini va bu nisbatning chegarasini ifodalaydi.

Kimyoviy reaksiyaning hozirgi tezligi

vaqt t.

3. VAZIFA RADIOAKTİV ERISH TEZATINI ANIQLASH

Agar m - radioaktiv moddaning massasi va t - vaqt bo'lsa, radioaktiv moddaning massasi vaqt o'tishi bilan kamayishi sharti bilan t vaqtdagi radioaktiv parchalanish hodisasi m = m(t) funktsiyasi bilan tavsiflanadi.

∆t vaqt ichida o'rtacha yemirilish tezligi nisbat bilan ifodalanadi

va t vaqtidagi oniy parchalanish tezligi

Hosilini hisoblash ALGORITMMI

y= f(x) funksiyaning hosilasini quyidagi sxema yordamida topish mumkin:

1. X argumentiga ∆x≠0 o'sish beraylik va y+∆y= f(x+∆x) funksiyaning o'sish qiymatini topamiz.

2. ∆y= f(x+∆x) - f(x) funksiyaning o'sish qismini toping.

3. O'zaro munosabatlarni yarating

4. ∆x⇾0 da bu nisbatning chegarasini toping, ya'ni.

(agar bu chegara mavjud bo'lsa).

Differensiallashning asosiy qoidalari

Mayli u=u(x) Va v=v(x) – x nuqtada differentsiallanuvchi funksiyalar.

1) (u  v)  = u   v 

2) (uv)  = u  v +uv 

(cu)  =cu 

3) , Agar v  0

Murakkab funktsiyaning hosilasi

Teorema. Agar funktsiya x nuqtada differentsiallanadigan bo'lsa va funktsiya

mos nuqtada differensiallanadi, u holda kompleks funksiya x nuqtada differentsiallanadi va:

bular. murakkab funksiyaning hosilasi funksiyaning oraliq argumentga nisbatan hosilasi va x ga nisbatan oraliq argument hosilasining hosilasiga teng.

Vazifa 1.

Muammo 2 .

Muammo 3 .

Muammo 4 .

Muammo 5 .

Muammo 6 .

Muammo 7 .

Muammo 8 .

Shunga o'xshash hujjatlar

Ikki o‘zgaruvchili funksiya tushunchasi, chegarasi va uzluksizligi. Birinchi tartibli qisman hosilalar, umumiy differentsialni topish. Yuqori tartibli qisman hosilalar va bir nechta o'zgaruvchilar funksiyasining ekstremumlari. Ekstremumning mavjudligi uchun zarur shart-sharoitlar.

test, 02/02/2014 qo'shilgan


Burchaklar va ularni o'lchash. Burchaklar va sonlar qatorlari orasidagi moslik. Trigonometrik funksiyalarning geometrik ma'nosi. Trigonometrik funksiyalarning xossalari. Asosiy trigonometrik identifikatsiya va undan kelib chiqadigan oqibatlar. Universal trigonometrik almashtirish.

o'quv qo'llanma, 04/18/2012 qo'shilgan


“Hosila” tushunchasining mohiyati. Jismning harakatini tavsiflovchi funksiyaning ikkinchi hosilasi sifatida tezlanish. Vaqt momentidagi nuqtaning oniy tezligini aniqlash masalasini yechish. Reaksiyalarda hosila, uning roli va o‘rni. Umumiy shakl formulalar.

taqdimot, 22/12/2013 qo'shilgan


Burchaklar va ularni o'lchash, o'tkir burchakning trigonometrik funktsiyalari. Trigonometrik funksiyalarning xossalari va belgilari. Juft va toq funksiyalar. Teskari trigonometrik funksiyalar. Oddiy trigonometrik tenglamalar va tengsizliklarni formulalar yordamida yechish.

o'quv qo'llanma, 30/12/2009 qo'shilgan


Nyuton polinomi yordamida interpolyatsiyani bajarish. Berilgan oraliqdagi ildiz qiymatini uchta takrorlashda aniqlashtirish va hisoblash xatosini topish. Nyuton, Sampson va Eyler usullarini masalalar yechishda qo‘llash. Funksiyaning hosilasini hisoblash.

test, 2011-06-02 qo'shilgan


Hosila tushunchasi, uning geometrik va fizik ma'nosi, differentsial. Funktsiyalarni o'rganish va grafiklarni chizish. Faktorizatsiya, ifodalarni soddalashtirish. Tengsizliklarni, tenglamalar sistemalarini yechish va o'ziga xoslikni isbotlash. Funksiya chegaralarini hisoblash.

test, 11/16/2010 qo'shilgan


Funksiya hosilasining ta'rifi, uning o'sishining geometrik ma'nosi. Berilgan munosabatning geometrik ma'nosi. Funksiyaning berilgan nuqtadagi hosilasining fizik ma’nosi. Berilgan nisbat moyil bo'lgan raqam. Hosila hisoblash misollarini tahlil qilish.

taqdimot, 12/18/2014 qo'shilgan


Hosilalar jadvaliga umumiy nuqtai elementar funktsiyalar. Oraliq argument tushunchasi. Murakkab funktsiyalarni differentsiallash qoidalari. Nuqtaning traektoriyasini uning o‘qlari bo‘yicha proyeksiyalarining o‘zgarishi ko‘rinishida tasvirlash usuli. Parametrli belgilangan funksiyani differentsiallash.

test, 08/11/2009 qo'shilgan


Antik davrdan hozirgi kungacha trigonometriyaning fan sifatida shakllanishining tarixiy sharhi. Algebra darslarida trigonometrik funksiyalar tushunchasining kiritilishi va darsliklardan foydalangan holda tahlilning boshlanishi A.G. Mordkovich, M.I. Bashmakova. Chiziqli differensial tenglamalar yechimlari.

dissertatsiya, 07/02/2011 qo'shilgan


Trigonometriyaning fan sifatida shakllanishining tarixiy sharhi. Trigonometrik funksiyalar tushunchasi bilan tanishtirishning turli usullari. Tahlil maktab darsliklari M.I. Bashmakov va A.G. Mordkovich ushbu mavzu bo'yicha. O'quv materialidan foydalanish istiqbollari.

Slayd 1

Slayd 2

Slayd 3

Slayd 4

Slayd 5

Slayd 6

Slayd 7

Slayd 8

Slayd 9

Slayd 10

Slayd 11

Slayd 12

Slayd 13

Differensiallash qoidalari TEOREMA 1. Yig'indi, ko'paytma va qismni differentsiallash. Agar f va g funksiyalar x nuqtada differentsiallansa, f + g, f g, f /g bu nuqtada differentsiallanadi (agar g(x) 0 bo'lsa) va y = f g bo'lsin. 1) (f(x) + g(x))" = f "(x) + g "(x); 2) (f(x) g(x))" = f "(x)g(x) + f(x)g "(x); Isbot. 2-xususiyatning isbotini keltiramiz. f = f (x + x) – f(x) f (x + x) = f(x) + f ; g = g (x + x) – g(x) g(x + x)= g(x)+ g. g "(x) f "(x) 0 x 0 da (uzluksiz differentsial funksiya tufayli.)

TEOREMA 2. Kompleks funktsiyani differentsiallash y = f(u) funksiya u 0 nuqtada, y 0 = f(u 0), u = (x) funksiya x 0 nuqtada differentsiallanuvchi bo lsin, u 0 = (x 0). U holda y = f ((x)) kompleks funksiya x 0 nuqtada differensiallanadi va f " ((x 0)) = f " (u 0)· " (x 0) yoki Izoh: hosilani hisoblash qoidasi. murakkab funksiyaning har qanday chekli sonli funksiyalar tarkibiga taalluqlidir.Masalan: (f ((g(x))))" = f "((g(x))) "(g(x)) g" (x). Natijada. Agar f (x) x nuqtada differensiallansa va C = const bo'lsa, u holda (C f(x))" = C f "(x); (f(x)/C)" = f " (x)/C.

1-misol. y = cosx, x R. (cosx) = (sin(/2 – x)) = cos(/2 – x)·(/2 – x) = – sinx. y = tgx, x /2 + k, k Z. 1 va 2 teoremalardan foydalanib, y = ctgx, x + k, k Z trigonometrik funksiyalarning hosilalarini topamiz.

TEOREMA 3. Teskari funksiyani differentsiallash. Agar y = f(x) uzluksiz va intervalda qat'iy monoton bo'lsa va f "(x 0) hosilasiga ega bo'lsa, u holda uning teskari funksiyasi x = g(y) y 0 = f(x 0) nuqtada differentsiallanadi, va g "( y 0) = 1/ f "(x 0). x0x0 x 0 - x 0 + y0y0 x y x y y = f(x) x = g(y) y shunday bo'lsinki, y 0 + y (,). x = g(y 0 + y) – g(y 0) ni belgilaymiz.0 ning mavjudligini isbotlashimiz kerak.Isbot.f(x) ga qat’iy oshsin.= f(x 0 -), = f( x 0 +).U holda [, ] da uzluksiz va qat’iy ortib boruvchi x = g(y) teskari funksiya va f(x 0) (,) funksiya aniqlanadi.Agar y 0 bo’lsa, u holda x 0, qat’iylik tufayli. funktsiyaning monotonligi.Shuning uchun y 0 nuqtada x = g(y) uzluksiz bo'lganligi uchun y bo'lsa, x bo'lsa, bir xillikni yozishga haqlimiz.

2-misol. Teskari trigonometrik funksiyalarning hosilalarini toping

0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 " title=" Elementar funksiyalarning hosilalari jadvali 1)(S)´= 0, C = const; 2)(x)´ = x -1, R, x > 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2" class="link_thumb"> 8 !} Elementar funksiyalarning hosilalari jadvali 1)(S)´= 0, C = const; 2)(x)´ = x -1, R, x > 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 x, x p/2 + pn, n; 8)(ctg x) = - 1/ sin 2 x, x pn, n; 9)10) 11)12) 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 "> 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R ; (e x)´ = e x, x R; 4).5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 x, x p/2 + pn, n; 8)(ctg x) = - 1/ sin 2 x, x pn, n; 9)10) 11)12)"> 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 " title=" Elementar funksiyalarning hosilalari jadvali 1)(S)´= 0, C = const; 2)(x)´ = x -1, R, x > 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2"> title="Elementar funksiyalarning hosilalari jadvali 1)(S)´= 0, C = const; 2)(x)´ = x -1, R, x > 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2"> !}

n-tartibli hosila TA'RIFI. f(x) U (x 0) da aniqlansin va bu oraliqning har bir nuqtasida f (x) hosilasi bo‘lsin. Agar x 0 nuqtada f (x) ning hosilasi bo'lsa, u f (x) funksiyaning shu nuqtadagi ikkinchi hosilasi deyiladi va belgilanadi.Har qanday n tartibli f (n) (x) hosilasi. = 1, 2, ... Agar U (x 0) da f (n-1) (x) boʻlsa (bu holda nol tartibli hosila funksiyaning oʻzini bildiradi), u holda n = 1, 2, 3 boʻladi. , …. X to‘plamning har bir nuqtasida n-tartibgacha hosilalari bo‘lgan funksiya X to‘plamda n marta differentsiallanuvchi deyiladi.

f(x) va g(x) funksiyalar x nuqtada n-tartibli hosilalarga ega bo'lsin. U holda A va V doimiy bo'lgan Af(x) + Vg(x) funksiya ham x nuqtada hosilaga ega va (Af(x) + Vg(x)) (n) = Af (n) ( x) + Vg (n)(x). Har qanday tartibli hosilalarni hisoblashda ko'pincha quyidagi asosiy formulalar qo'llaniladi. y = x; y (n) = (-1)... (- (n-1)) x - n. y = x -1, y = (-1)x -2, y = (-1)(-2) x -3 ... Xususan, agar = m N bo'lsa, u holda y = a x ; y (n) = a x (lna) n. y = a x lna, y = a x (lna) 2, y = a x (lna) 3, ... Xususan (e x) (n) = e x. y " = ((x + a) - 1)" = - (x+a) - 2, y "" = 2 (x + a) - 3, y """ = (x + a) - 4, …

Y = ln(x+a); y (n) = (–1) n–1 (n–1)!(x+a) –n. y = (x +a) –1, y = – (x +a) –2, y = 2(x +a) –3, y (4) = – 2 3(x +a) – 4, … y = sin ax; y (n) = a n sin(ax+n· /2) y = a cos ax = a sin(ax+ /2), y = a 2 cos(ax+ /2) = a 2 sin(ax+2· / 2), y = a 3 cos(ax + 2· /2) = a 3 sin(ax+3· /2), … y = cos ax; y (n) = a n cos(ax+n· /2) y = – a sin ax = a cos(ax+ /2), y = – a 2 sin(ax+ /2) = a 2 cos(ax + 2) · /2), y = – a 3 sin(ax+2· /2) = a 3 cos(ax + 3· /2),...

Ikki funktsiya ko'paytmasining N-hosilasi (Leybnits formulasi) bu erda Bu formula Leybnits formulasi deb ataladi. Uni f(x) va g(x) funksiyalari x nuqtada n-tartibli hosilalarga ega bo'lsin, bu erda yozilishi mumkin. Induksiya orqali (f(x) g(x)) (n) = ekanligini isbotlashimiz mumkin?
5-misol. y = (x 2 +3x+5) sin x, y (13) =? = sin(x +13p /2) (x 2 +3x+5) + 13 sin (x +12p /2) (2x+3) + 78 sin (x +11p /2) 2 = = cos x (x 2) +3x+5) + 13 sin x (2x+3) + 78 (- cos x) 2 = = (x 2 +3x -151) cos x + 13 (2x+3) sin x. F(x) = sin x, g(x) = (x 2 +3x+5) qo'yib, Leybnits formulasini qo'llaymiz. Keyin