Bir jinsli tenglamalar. Keng qamrovli qoʻllanma (2019)

Agar tenglamani shaklga aylantirish mumkin bo'lsa, u holda bu tenglama bir hil deyiladi. Differensial ko'rinishdagi tenglama ekanligini ko'rsatish oson M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 faqat va faqat funktsiyalar bo'lsa, bir hil bo'ladi M(x, y) Va N(x, y) bir xil darajadagi bir hil funktsiyalar. Eslatib o‘tamiz, F(x 1 ,x 2 ,..,x n) funksiya F(tx 1 ,tx 2 ,..,tx n)=t k F(x 1 ,x munosabatini qanoatlantirsa, k darajali bir jinsli funksiya deyiladi. 2 ,..,x n).

Bir jinsli differensial tenglama y = xu ni almashtirish orqali ajratiladigan o'zgaruvchilarga ega tenglamaga keltiriladi, yoki, bu bir xil, , bu erda u yangi talab qilinadigan funksiya. Haqiqatan ham, keyin y" = u + u"x va asl tenglamani quyidagicha qayta yozish mumkin u + u"x= f(u), yoki u"x= f(u)u. Oxirgidan f(u)u yozishimiz mumkin.

Misol. (y 2 - 2xy)dx + x 2 dy = 0 tenglamani yeching. Bu bir jinsli tenglama, chunki y 2 - 2xy va x 2 ikkinchi darajali bir jinsli funksiyalardir. y = xu, dy = udx + xdu almashtirishni qilamiz. Tenglamaga almashtirsak, biz bor

(x 2 u 2 - 2x 2 u)dx + x 2 (udx + xdu) = 0.

Qavslarni ochib, o'xshashlarini olib, x 2 ga kamaytirsak, biz ajratiladigan o'zgaruvchilarga ega tenglamani olamiz.

(u 2 - u)dx + xdu = 0

O'zgaruvchilarni ajratib, biz olamiz yoki bir xil narsa, Oxirgi munosabatni birlashtirib, biz lnu - ln(u-1) = lnx + lnC ga ega bo'lamiz. Potensiyalash (logarifmik funktsiyadan e x ga o'tish) orqali biz yozishimiz mumkin yoki teskari almashtirishni amalga oshirib, tenglamaning umumiy integralini olamiz.

Shakl tenglamalari a 1 x + b 1 y +c 1 = 0, a 2 x + b 2 y +c 2 = 0, agar determinant nolga teng bo'lmasa, koordinatalarning kelib chiqishini bir hil o'tkazishga keltiriladi. , va agar bu determinant nolga teng bo'lsa, 1 x + b 1 y = z ni almashtirish orqali.

Qaror qiling bir hil tenglamalar onlayn maxsus xizmatdan foydalanish mumkin

Differensial tenglamalar nazariyasining asosiy tushunchalari

Differensial tenglama - mustaqil o'zgaruvchi, kerakli funktsiya va uning hosilalari bilan bog'liq bo'lgan tenglama. Yechim tenglamaga almashtirilganda uni o'ziga xoslikka aylantiradigan funktsiyadir.

Agar kerakli funktsiya bitta o'zgaruvchiga bog'liq bo'lsa, DE oddiy deb ataladi, aks holda u qisman DE deb ataladi; Eng yuqori tartib

1-tartibli differensial tenglamalar. Koshi muammosi, uning yechimining mavjudligi va yagonaligi haqidagi teorema. Umumiy, xususiy yechim (integral), maxsus yechim.

F(x;y;y ’ )=0 – 1-tartib DE(1)

y ’ =f(x;y) hosila(2)ga nisbatan ruxsat etilgan DE

P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 – differentsial shakl(3)

Berilgan dastlabki shartni (y(x 0)=y 0) qanoatlantiradigan 1-tartibli DE yechimini topish masalasi Koshi masalasi deyiladi.

T. Agar (2) tenglamada f(x;y) funksiya va ...
uning qisman hosilasi f y ’ (x;y) nuqtani (x 0 ;y 0) o'z ichiga olgan ba'zi D sohada uzluksiz bo'lsa, u holda mavjud bo'ladi. yagona yechim Bu tenglamaning y=ph(x), boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi.

Umumiy yechim ixtiyoriy doimiyni o'z ichiga olgan y=ph(x;s) funksiyadir.

Umumiy yechimdan s=s 0 doimiy qiymatida olingan y=ph(x;s 0) funktsiya xususiy yechimdir.

Agar umumiy yechim F(x;y;c)=0 ko’rinishda topilsa, u differensial tenglamaning bosh integrali deyiladi. F(x;y;c 0)=0 esa tenglamaning qisman integralidir.

ph(x;c) funksiya differensial tenglamaning maxsus yechimi deyiladi F(x,y,y') = 0, agar differensialni aniqlash sohasidagi bu funksiyaning har bir nuqtasida yechimning yagonaligi buzilgan bo'lsa. tenglama.

1-tartibli DE ning geometrik talqini. Izoklin usuli

Tenglama y ’ =f(x;y) nuqta koordinatalari o'rtasida bog'lanishni o'rnatadi va qiyalik y ’ integral egri chiziqqa tangens. DE Oksi tekisligida yo'nalishlar maydonini beradi. Maydonning barcha nuqtalarida yo'nalishi bir xil bo'lgan egri chiziq izoklin deyiladi. Izoklinlardan integral egri chiziqlarni yasashga yaqinlashtirish mumkin. Izoklinal tenglama f(x;y)=s.

Ajraladigan tenglamalar

Ajratilgan tenglama: P(x)dx+Q(y)dy=0

Masofadan boshqarish pultining umumiy integrali:

Ajraladigan tenglama: P 1 (x)Q 1 (y)dx+P 2 (x)Q 2 (y)dy=0

Bir hil masofadan boshqarish pultlari. Bir hil holga keltiruvchi tenglamalar

f(x;y) funksiya n-tartibli bir jinsli funksiya deyiladi, agar uning har bir argumenti ixtiyoriy koeffitsient l ga ko'paytirilganda, butun funksiya l n ga ko'paytirilsa, ya'ni. f(l x; l y)= l n f(x; y). masofadan boshqarish pulti y ’ f(x;y) funksiya bir jinsli bo'lsa =f(x;y) bir jinsli deyiladi. f-i nol buyurtma

P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 bir jinsli DE ning differentsial shakli

Shaklning tenglamasi bir hil turga keltirilishi mumkin. Siz shunday tizim yaratishingiz kerak:
Ushbu tizimning yechimi quyidagicha bo'lsin:

Keyin, tenglamani bir hil turga keltirish uchun shaklni almashtirishni amalga oshirish kerak.
Tizimda yechim bo'lmasa, almashtirishni amalga oshirish kerak.

Biz ko'rib chiqadigan keyingi tenglamalar deyiladi bir jinsga qaytariladigan differentsial tenglamalar. Ular talabalar uchun juda og'riqli, chunki birinchi qarashda bunday nazoratni aniqlash qiyin. Yana bir muammo shundaki, har kim ham qachon va qanday sxemadan foydalanish kerakligini o'rgana olmaydi va bilishi mumkin emas.
Biroq, hisoblash sxemasi kitoblarda juda yaxshi tasvirlangan va birinchi darajali DE yechimini topishga imkon beradi, garchi bu juda ko'p hisob-kitoblarni talab qilsa. Sizni nazariya bilan qo'rqitmaslik uchun biz darhol hamma narsa aniq bo'ladigan tayyor javoblarni tahlil qilishga o'tamiz.

1-misol
Yechish: Bizning oldimizda birinchi tartibli differensial tenglamalar ilgari ko'rib chiqilganidan butunlay boshqacha turdagi. Hisoblash sxemasi ham boshqacha, avvalo sizga kerak statsionar nuqtani aniqlang- Buning uchun pay va maxrajning nollarini topish kerak.
Keling, tenglamalar tizimini tuzamiz va yechamiz:

Statsionar nuqta M(-1;1).
Keyinchalik, biz o'zgaruvchilarni o'zgartiramiz (koordinata siljishi)

bu yerdan biz asl masofadan boshqarish pultini o'zgartiramiz bir jinsli differensial tenglama
yoki
O'zgaruvchilarni o'zgartirishni amalga oshiramiz va yangi o'zgaruvchi orqali differentsialni topamiz

Tenglamani almashtirib, biz hisoblash uchun oddiy munosabatni olamiz:

osonlik bilan qisqartirilishi mumkin

Keyin ikkala qismni ham birlashtiramiz

va topamiz

Biz olgan birinchi almashtirishga qaytsak

bu yerda ixtiyoriy doimiy.
Biz buni shunday qabul qildik differensial tenglamani yechish. Berilgan hisoblash sxemasini yaxshilab ko'rib chiqing, talabalar uchun oltinga arziydi.

2-misol Tenglamaning bosh integralini toping
Yechish: Bu birinchi tartibli differensial tenglamaning yechimi juda oddiy, ammo har bir talaba o‘z-o‘zidan javob varaqasi yoki qo‘llanmasiz topa olmaydi.
Tenglamani bir jinsli differentsial tenglamaga keltirish metodikasi quyidagi harakatlardan iborat: maxsus nuqtani toping(kasrning soni va maxrajining nollari).
Buning uchun biz tizimni hal qilamiz chiziqli tenglamalar

Keyinchalik biz o'zgaruvchilarning o'zgarishini kiritamiz

O'ngdagi birliklar tenglamalar tizimining echimlari.
Yangi o'zgaruvchilardagi asl differensial tenglamamiz kirishga ega bo'ladi

Aynan soddalashtirish uchun tenglamalar tizimi echildi.
Keyin o'zgaruvchilarni o'zgartirishni amalga oshirishingiz kerak
Keyin
O'zgartirilgandan so'ng, natijada paydo bo'lgan masofadan boshqarish pultini qisqartirish mumkin ajratilgan o'zgaruvchan tenglama

Formulaning ikkala tomonini birlashtirish orqali

Keling, birinchi navbatda logarifmlarga o'taylik

Keyinchalik, ikkala qismni ham ochib, biz shaklning bog'liqligini olamiz

O'zgaruvchilarning dastlabki o'zgarishiga qaytsak, biz yangi o'zgaruvchilardagi differensial tenglamaning yechimini olamiz.

va keyin oxirgi

Bu yerda C=const Koshi shartidan aniqlanishi mumkin bo'lgan ixtiyoriy real doimiydir.
Differensial tenglamaning umumiy yechimini olish ba'zan shunchalik qiyin bo'lishi mumkin.

3-misol Differensial tenglamani yeching
Yechish: Bizda birinchi tartibli DE bor, uni bir hil differentsial tenglamaga keltirishimiz mumkin. Buning uchun kasrning hisobi va maxraji nolga teng bo'lishi sharti bilan tenglamalar tizimini tuzamiz.

Nuqtaning koordinatalarini bilib, biz koordinatalar tizimini o'tkazamiz

Dastlabki differensial tenglama keyinchalik shaklga o'tkaziladi
yoki
Keyin z=Y/X, Y=z*X oʻzgaruvchilarni oʻzgartirishingiz kerak va hosila quyidagicha boʻladi.

Keling, uni tenglamaga almashtiramiz va o'zgaruvchilarni ajratamiz, shuning uchun biz olamiz Ajratilgan o'zgaruvchilar bilan DE

Differensial tenglamani integrallash orqali biz logarifmik tenglamaga erishamiz

Keyinchalik, mahsulot formulasidan foydalanib, o'ng tomondagi logarifmlarni oldindan qisqartirib, natijada paydo bo'lgan qaramlikni ko'rsatamiz.

O'zgaruvchilarning o'zgarishiga qaytsak (z) biz yechimni olamiz

takroriy almashtirishdan keyin aniq shaklga ega bo'ladi

Birini o'ngga siljitish

olamiz
Bu erda faqat 3 ta misol muhokama qilinadi, ammo ular hisoblash sxemasini to'liq tavsiflaydi. Endi siz bir hil bo'lgan tenglamalar va undan keyin nima qilish kerakligini bilasiz mustaqil ish Bunday misollar bilan siz test va imtihonlarda qiyinchiliklarga duch kelmaysiz. Keyingi darsda siz boshqa birinchi tartibli differensial tenglamalar va yechim sxemalarini o'rganish uchun juda ko'p tayyor javoblarni topasiz.

Shaklning tenglamasini ko'rib chiqing

Agar
, keyin almashtirish yordamida (5.1) tenglama
, Qayerda Va - yangi o'zgaruvchilar va
Va - tizimdan aniqlangan ba'zi doimiy raqamlar

bir jinsli tenglamaga keltiriladi
.

Agar
, u holda (5.1) tenglama quyidagi shaklni oladi:

O'zgartirishni amalga oshirgan
, biz mustaqil o'zgaruvchiga ega bo'lmagan tenglamani olamiz.

Misol 1. Tenglamani integrallash

va nuqtalardan o'tuvchi integral egri chiziqni ajratib ko'rsatish:

a) (2; 2); b)
.

Yechim. Keling, qo'ying
. Keyin

tomonidan qisqartirish va a'zolarni yig'ish x Va d z, olamiz

Keling, o'zgaruvchilarni ajratamiz:

.

Integratsiyalash, biz olamiz

, Qayerda
.

O'zgartirish z da, asl tenglamaning bosh integralini shaklda olamiz

yoki bir xil narsa,

. (5.2)

Tenglik (5.2) doiralar oilasini belgilaydi

Ko'rsatilgan doiralarning markazlari to'g'ri chiziqda yotadi
va boshida ular to'g'ri chiziqqa tegadi
. Funktsiya
, o'z navbatida, berilgan differensial tenglama tenglamasining alohida yechimidir.

Topilgan doiralardan qaysi biri dastlabki shartlarni qanoatlantirishini aniqlaymiz, ya'ni Koshi masalasini hal qilamiz:

a) bosh integralni qo'yish
,
, topamiz
, shuning uchun kerakli egri chiziq aylana hisoblanadi
;

b) (5.2) aylanalarning hech biri nuqtadan o'tmaydi
. Lekin u yarim tekis

belgilangan nuqtadan o'tadi va shuning uchun tegishli funktsiya
va kerakli yechimni beradi.

Misol 2. Tenglamani yeching: .

Yechim. Dastlabki tenglama (5.1) tenglamaning maxsus holatidir.

Aniqlovchi
V Ushbu holatda nolga teng emas, shuning uchun birinchi navbatda tizimni ko'rib chiqing
.

Ushbu tizimni hal qilib, biz buni olamiz
. Berilgan tenglamada almashtirishni amalga oshirish orqali
, biz bir hil tenglamaga kelamiz

O'zgartirishdan keyin oxirgi tenglamani integrallash
, topamiz
. Eski o'zgaruvchilarga qaytish x Va y formulalar bo'yicha
, bizda ... bor.

1.6. Umumlashtirilgan bir jinsli tenglama

Ta'rif. Tenglama deyiladi umumlashtirilgan bir hil, agar shunday raqamni topsangiz k, bu tenglamaning chap tomoni ma'lum darajada bir jinsli funktsiyaga aylanadi m nisbatan x, y, d x va d y sharti bilan x birinchi o'lchamning qiymati hisoblanadi, y – k- o'lchovlar, d x - nol o'lcham va d y – (
)-chi o'lchov.

Masalan, bu tenglama bo'ladi

. (6.1)

Haqiqatan ham, o'lchovlar bilan bog'liq faraz ostida x, y, d x va d y chap tomonning a'zolari
va d y mos ravishda (-2), (2) o'lchamlarga ega bo'ladi k) Va (k–1). Ushbu miqdorlarni tenglashtirib, biz kerakli sonni qondirishi kerak bo'lgan shartni olamiz k:

Bu shart qanoatlansa
(bu bilan k ko'rib chiqilayotgan tenglamaning chap tomonidagi barcha atamalar o'lchovga ega bo'ladi (-2)). Shuning uchun (6.1) tenglama umumlashtirilgan bir jinsli hisoblanadi.

Umumlashtirilgan bir hil tenglama almashtirish yordamida ajratiladigan o'zgaruvchilarga ega tenglamaga keltiriladi.
, Qayerda z- yangi noma'lum funksiya. Ta'riflangan usul yordamida (6.1) tenglamani integrallaymiz. Chunki
, Bu
, va shuning uchun (6.1) tenglama quyidagi shaklni oladi:

O'zgaruvchilarni ajratish orqali hosil bo'lgan tenglamani yechish, biz topamiz
, qayerda
. Oxirgi tenglik (6.1) tenglamaning umumiy yechimini aniqlaydi.

1.7. 1-tartibli chiziqli differensial tenglamalar

Ta'rif . Chiziqli tenglama 1-birinchi buyurtma kerakli funksiya va uning hosilasiga nisbatan chiziqli tenglamadir. Bu shunday ko'rinadi:

, (7.1)

Qayerda
Va
– ning uzluksiz funksiyalari berilgan x. Agar funktsiya
, u holda (7.1) tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

(7.2)

va deyiladi chiziqli bir jinsli tenglama, aks holda (
≢0) deyiladi chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglama.

Chiziqli bir hil differentsial tenglama (7.2) ajratiladigan o'zgaruvchilarga ega tenglamadir:

;

(7.3)

(7.3) ifoda (7.2) tenglamaning umumiy yechimini aniqlaydi. Funktsiya bo'lgan (7.1) tenglamaning umumiy yechimini topish
tenglama (7.2) bilan bir xil funktsiyani bildiradi, biz so'zda foydalanamiz ixtiyoriy doimiyni o'zgartirish usuli, bu quyidagicha: funktsiyani topishga harakat qilaylik
shuning uchun (7.2) chiziqli bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi bir jinsli chiziqli tenglamaning (7.1) yechimidir. Keyin (7.3) funktsiyaning hosilasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

Topilgan hosilani (7.1) tenglamaga almashtirib, biz quyidagilarga erishamiz:

Bu yerdan
, Qayerda - ixtiyoriy doimiy. Natijada (7.1) bir jinsli chiziqli tenglamaning umumiy yechimi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

. (7.4)

E'tibor bering, (7.4) ifodaning birinchi hadi chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning (7.2) umumiy yechimini (7.3) ifodalaydi, ikkinchi hadi esa umumiy (7.4) dan olingan chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamaning (7.1) xususiy yechimidir. ) bilan
. Kuzatilgan faktni teorema shaklida tuzamiz.

Teorema . Agar chiziqli bir jinsli bo'lmagan differensial tenglamaning alohida yechimi ma'lum bo'lsa
, keyin boshqa barcha yechimlar shaklga ega
, Qayerda
mos chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning umumiy yechimidir.

Ammo shuni ta'kidlash kerakki, 1-tartibli (7.1) chiziqli bir hil bo'lmagan differensial tenglamani echish uchun boshqa usul ko'proq qo'llaniladi, ba'zan esa deyiladi. Bernoulli usuli. (7.1) tenglamaning yechimini shaklda izlaymiz
. Keyin
. Topilgan hosilani asl tenglamaga (7.1) almashtirib, biz quyidagilarga erishamiz: