Segmentning o'rta nuqtasining koordinatalarini topish, misollar, echimlar. Segmentning o'rta nuqtasining koordinatalarini topish, misollar, yechimlar a va b nuqtalar kiritiladi!

Segment uzunligini turli usullar bilan aniqlash mumkin. Segment uzunligini qanday topish mumkinligini bilish uchun o'lchagichga ega bo'lish yoki hisoblash uchun maxsus formulalarni bilish kifoya.

Chizgich yordamida segment uzunligi Buning uchun biz tekislikda qurilgan segmentga millimetr bo'linmalari bo'lgan o'lchagichni qo'llaymiz va boshlang'ich nuqtasi o'lchagich shkalasining nolga mos kelishi kerak. Keyin ushbu shkalada ushbu segmentning so'nggi nuqtasini belgilashingiz kerak.

Olingan butun shkala bo'linmalarining soni sm va mm bilan ifodalangan segmentning uzunligi bo'ladi.

Tekislik koordinatalari usuli Agar (x1;y1) va (x2;y2) segmentning koordinatalari ma'lum bo'lsa, uning uzunligini quyidagicha hisoblash kerak. Birinchi nuqtaning koordinatalarini ikkinchi nuqta tekisligidagi koordinatalardan ayirish kerak. Natijada ikkita raqam bo'lishi kerak. Bu raqamlarning har biri kvadrat bo'lishi kerak, keyin esa bu kvadratlarning yig'indisi topilishi kerak. Olingan raqamdan kvadrat ildizni chiqarib olishingiz kerak, bu nuqtalar orasidagi masofa bo'ladi. Bu nuqtalar segmentning uchlari bo'lgani uchun, keyin berilgan qiymat

va uning uzunligi bo'ladi.

Keling, koordinatalar yordamida segment uzunligini qanday topishga misolni ko'rib chiqaylik. Ikki nuqta (-1;2) va (4;7) koordinatalari mavjud. Nuqtalarning koordinatalari orasidagi farqni topishda quyidagi qiymatlarni olamiz: x = 5, y = 5. Olingan raqamlar segmentning koordinatalari bo'ladi. Keyin har bir raqamni kvadratga aylantiramiz va natijalar yig'indisini topamiz, u 50 ga teng. Bu raqamning kvadrat ildizini olamiz. Natijada: 2 ning 5 ta ildizi. Bu segmentning uzunligi.

Kosmosdagi koordinatalar usuli Buning uchun vektor uzunligini qanday topishni ko'rib chiqish kerak. Aynan shu segment Evklid fazosida bo'ladi. U tekislikdagi segment uzunligi bilan deyarli bir xil tarzda topiladi. Vektor turli tekisliklarda tuzilgan

. Vektor uzunligini qanday topish mumkin?
Buning uchun vektorning koordinatalarini toping, uning boshlang'ich nuqtasining koordinatalarini oxirgi nuqtasining koordinatalaridan ayirish kerak;
Shundan so'ng siz har bir vektor koordinatasini kvadratga olishingiz kerak.
Keyin koordinatalarning kvadratlarini qo'shamiz.

Keling, misol yordamida hisoblash algoritmini ko'rib chiqaylik. AB vektorining koordinatalarini topish kerak. A va B nuqtalar quyidagi koordinatalarga ega: A (1;6;3) va B (3;-1;7). Vektorning boshi A nuqtada, oxiri B nuqtada joylashgan. Shunday qilib, uning koordinatalarini topish uchun B nuqtaning koordinatalaridan A nuqtaning koordinatalarini ayirish kerak: (3 - 1; -1 -) 6;7 - 3) = (2;- 7:4).

Endi biz har bir koordinatani kvadratga aylantiramiz va ularni qo'shamiz: 4+49+16=69. Nihoyat, u berilgan sonning kvadrat ildizini oladi. Uni ajratib olish qiyin, shuning uchun natijani shunday yozamiz: vektor uzunligi 69 ning ildiziga teng.

Agar siz segmentlar va vektorlarning uzunligini o'zingiz hisoblashingiz muhim bo'lmasa, faqat natija kerak bo'lsa, unda siz onlayn kalkulyatordan foydalanishingiz mumkin, masalan, bu.

Endi ushbu usullarni o'rganib, taqdim etilgan misollarni ko'rib chiqsangiz, har qanday masalada segment uzunligini osongina topishingiz mumkin.

Segmentni o'lchash uning uzunligini topishni anglatadi. Bo'lim uzunligi uning uchlari orasidagi masofadir.

Segmentlarni o'lchash berilgan segmentni o'lchov birligi sifatida olingan boshqa segment bilan solishtirish orqali amalga oshiriladi. O'lchov birligi sifatida olingan segment deyiladi yagona segment.

Agar santimetr birlik segmenti sifatida olinsa, u holda berilgan segmentning uzunligini aniqlash uchun ma'lum bir segmentga santimetr necha marta joylashtirilganligini aniqlash kerak. Bunday holda, santimetr o'lchagich yordamida o'lchash qulay.

Keling, segmentni chizamiz AB va uzunligini o'lchang. Segmentga santimetr o'lchagichning shkalasini qo'llang AB shuning uchun uning nol nuqtasi (0) nuqta bilan mos keladi A:

Agar nuqta shu bo'lsa B shkalaning ba'zi bo'linishlariga to'g'ri keladi - masalan, 5, keyin ular aytadilar: segment uzunligi AB 5 sm ga teng va yozing: AB= 5 sm.

Chiziqni o'lchash xususiyatlari

Nuqta segmentni ikki qismga (ikki segmentga) ajratganda, butun segmentning uzunligi ushbu ikki segmentning uzunliklari yig'indisiga teng bo'ladi.

Segmentni ko'rib chiqing AB:

Nuqta C uni ikki qismga ajratadi: A.C. Va C.B.. Biz buni ko'ramiz A.C.= 3 sm, C.B.= 4 sm va AB= 7 sm. A.C. + C.B. = AB.

Har qanday segment noldan kattaroq ma'lum uzunlikka ega.

Ushbu maqolada biz segmentning o'rtasining koordinatalarini uning uchlari koordinatalaridan topish haqida gapiramiz. Birinchidan, biz kerakli tushunchalarni beramiz, so'ngra segmentning o'rta nuqtasining koordinatalarini topish uchun formulalarni olamiz va yakunida biz tipik misollar va masalalarning echimlarini ko'rib chiqamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Segmentning o'rtasi tushunchasi.

Segmentning o'rtasi tushunchasini kiritish uchun bizga segment va uning uzunligining ta'riflari kerak.

Segment tushunchasi beshinchi sinfda matematika darslarida o‘rgatiladi. o'rta maktab quyidagicha: agar biz ikkita ixtiyoriy mos kelmaydigan A va B nuqtalarni olsak, ularga o'lchagichni qo'llasak va A dan B ga (yoki B dan A ga) chiziq chizsak, unda biz hosil bo'lamiz. AB segmenti(yoki B A segmenti). A va B nuqtalari deyiladi segmentning uchlari. Shuni yodda tutishimiz kerakki, AB segmenti va BA segmenti bir xil segmentdir.

Agar AB segmenti uchlaridan ikki tomonga cheksiz davom ettirilsa, u holda olamiz to'g'ri AB(yoki to'g'ridan-to'g'ri VA). AB segmenti AB chiziqning bir qismi bo'lib, A va B nuqtalari orasiga kiradi. Shunday qilib, AB segmenti A, B nuqtalarning birlashmasi va A va B nuqtalar orasida joylashgan AB to'g'ri chiziqning barcha nuqtalari to'plamidir. Agar A va B nuqtalar orasida joylashgan AB to‘g‘ri chiziqning ixtiyoriy M nuqtasini olsak, u holda M nuqta deymiz. yolg'on AB segmentida.

Segment uzunligi AB - berilgan masshtabdagi A va B nuqtalari orasidagi masofa (uzunlik birlik segmenti). AB segmentining uzunligini deb belgilaymiz.

Ta'rif.

Nuqta C deyiladi segmentning o'rta nuqtasi AB, agar u AB segmentida yotsa va uning uchlaridan bir xil masofada bo'lsa.

Ya'ni, agar C nuqta AB segmentining o'rta nuqtasi bo'lsa, u holda uning ustida yotadi va.

Keyinchalik, bizning vazifamiz, agar A va B nuqtalarning koordinatalari koordinata chizig'ida yoki to'rtburchaklar koordinatalar tizimida berilgan bo'lsa, AB segmentining o'rtasining koordinatalarini topishdan iborat bo'ladi.

Koordinata chizig'idagi segmentning o'rta nuqtasining koordinatasi.

Bizga Ox koordinatali chiziq va uning ustidagi ikkita mos kelmaydigan A va B nuqta berilsin, ular haqiqiy sonlar va ga mos keladi. C nuqta AB segmentining o'rta nuqtasi bo'lsin. C nuqtaning koordinatasini topamiz.

C nuqtasi AB segmentining o'rtasi bo'lganligi sababli, tenglik to'g'ri bo'ladi. Koordinata chizig'idagi nuqtadan nuqtagacha bo'lgan kesma masofasida biz nuqtalar orasidagi masofa ularning koordinatalaridagi farq moduliga teng ekanligini ko'rsatdik, shuning uchun . Keyin yoki . Tenglikdan koordinata chizig'ida AB segmentining o'rtasi koordinatasini topamiz: - bu segment uchlari koordinatalari yig'indisining yarmiga teng. Ikkinchi tenglikdan ni olamiz, bu mumkin emas, chunki biz A va B nuqtalarini ajratdik.

Shunday qilib, uchlari bo'lgan AB segmentining o'rta nuqtasining koordinatalarini topish formulasi shaklga ega .

Tekislikdagi segmentning o'rta nuqtasining koordinatalari.

To'g'ri to'rtburchak Dekart koordinatalari Oxyz tizimini tekislikka kiritamiz. Bizga ikkita nuqta berilsin va biz bilamizki, C nuqta AB segmentining o'rtasidir. C koordinatalari va nuqtalarini topamiz.

Qurilish bo'yicha, tekis parallel, shuningdek parallel chiziqlar , shuning uchun, tomonidan Thales teoremasi AC va CB segmentlarining tengligidan segmentlarning tengligi va , shuningdek segmentlar va . Shuning uchun nuqta segmentning o'rta nuqtasi, a esa segmentning o'rta nuqtasidir. Keyin, ushbu moddaning oldingi bandiga binoan Va .

Ushbu formulalardan foydalanib, A va B nuqtalar koordinata o'qlaridan birida yoki koordinata o'qlaridan biriga perpendikulyar to'g'ri chiziqda joylashgan hollarda AB segmentining o'rtasi koordinatalarini hisoblashingiz mumkin. Keling, ushbu holatlarni sharhlarsiz qoldirib, grafik rasmlarni keltiramiz.

Shunday qilib, AB segmentining o'rtasi uchlari nuqtalarda bo'lgan va koordinatalarga ega bo'lgan tekislikda .

Kosmosdagi segmentning o'rta nuqtasining koordinatalari.

To'rtburchak koordinatalar tizimi Oxyz uch o'lchovli fazoga kiritilsin va ikkita nuqta aniqlansin. Va . AB segmentining o'rta nuqtasi bo'lgan S nuqtaning koordinatalarini topish formulalarini olamiz.

Keling, umumiy holatni ko'rib chiqaylik.

A, B va C nuqtalarning mos ravishda Ox, Oy va Oz koordinata o‘qlariga proyeksiyalari bo‘lsin va bo‘lsin.

Demak, Thales teoremasiga ko'ra, nuqtalar segmentlarning o'rta nuqtalari hisoblanadi mos ravishda. Keyin (ushbu maqolaning birinchi xatboshiga qarang). Shunday qilib, oldik segment o'rtasining koordinatalarini kosmosdagi uchlari koordinatalaridan hisoblash uchun formulalar.

Bu formulalar A va B nuqtalar koordinata o‘qlaridan birida yoki koordinata o‘qlaridan biriga perpendikulyar to‘g‘ri chiziqda yotsa, shuningdek, A va B nuqtalar koordinata tekisliklaridan birida yoki koordinata tekisliklaridan biriga parallel bo'lgan tekislik.

Segment o'rtasining koordinatalari uning uchlari radius vektorlarining koordinatalari orqali.

Segment o'rtasining koordinatalarini topish formulalarini vektor algebrasiga o'tish orqali osongina olish mumkin.

To'g'ri to'rtburchak Dekart koordinata tizimi Oksi tekislikda berilgan va C nuqta AB segmentining o'rta nuqtasi bo'lsin va.

Vektorlar ustidagi amallarning geometrik ta'rifiga ko'ra, tenglik (C nuqtasi vektorlar ustiga qurilgan parallelogramma diagonallarining kesishish nuqtasi va , ya'ni C nuqtasi parallelogramma diagonalining o'rtasi). To'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi vektor koordinatalari maqolasida biz nuqta radius vektorining koordinatalari ushbu nuqtaning koordinatalariga teng ekanligini aniqladik, shuning uchun . Keyin koordinatadagi vektorlar ustida tegishli amallarni bajarib, bizda . Qanday qilib C nuqtaning koordinatalari bor degan xulosaga kelishimiz mumkin .

Mutlaqo shunga o'xshash AB segmentining o'rtasi koordinatalarini uning fazodagi uchlari koordinatalari orqali topish mumkin. Bunday holda, agar C AB segmentining o'rtasi bo'lsa va bo'lsa, bizda bo'ladi .

Segmentning o'rta nuqtasining koordinatalarini topish, misollar, echimlar.

Ko'pgina masalalarda segmentning o'rta nuqtasining koordinatalarini topish uchun formulalardan foydalanish kerak. Keling, eng tipik misollarning echimlarini ko'rib chiqaylik.

Keling, formulani qo'llashni talab qiladigan misoldan boshlaylik.

Misol.

Ikki nuqtaning koordinatalari tekislikda berilgan . AB segmentining o'rta nuqtasining koordinatalarini toping.

Yechim.

C nuqta AB segmentining o'rta nuqtasi bo'lsin. Uning koordinatalari A va B nuqtalarining tegishli koordinatalari yig'indisining yarmiga teng:

Shunday qilib, AB segmentining o'rtasi koordinatalarga ega.

Test ishi Ru veb-saytidagi onlayn xizmatdan foydalanib, berilgan koordinatalardan foydalangan holda segment uzunligini qanday aniqlash mumkinligi haqida batafsil misol keltiraman.

Aytaylik, tekislikdagi segment uzunligini topish kerak

(kosmosda siz analogiya bo'yicha hisoblashingiz mumkin, shunchaki nuqtani uch o'lchamga o'zgartirishingiz kerak)

AB segmentining uchlari A (1, 2) va B (3, 4) koordinatalariga ega.

AB segmentining uzunligini hisoblash uchun quyidagi amallarni bajaring:

1. Ikki nuqta orasidagi masofani onlayn topish uchun xizmat sahifasiga o'ting:

Biz buni ishlatishimiz mumkin, chunki ... koordinatalar bo'ylab segmentning uzunligi A va B nuqtalari orasidagi masofaga aynan teng.

A nuqtasining to'g'ri o'lchamini o'rnatish uchun, rasmda ko'rsatilganidek, pastki o'ng chetini chapga torting.

Birinchi A (1, 2) nuqtaning koordinatalarini kiritganingizdan so'ng, tugmani bosing

3. Ikkinchi bosqichda siz ikkinchi B nuqtasini kiritish shaklini ko'rasiz, rasmdagi kabi uning koordinatalarini kiriting. quyida:

a va b nuqtalari kiritildi! Yechim:

Ballar beriladi a =

Va b=

Nuqtalar orasidagi masofani toping

Geometriya, nazariy mexanika va fizikaning boshqa sohalarida uchta asosiy koordinatalar tizimi qo'llaniladi: kartezian, qutbli va sferik. Ushbu koordinata tizimlarida har bir nuqta uchta koordinataga ega. Ikki nuqtaning koordinatalarini bilib, siz ushbu ikki nuqta orasidagi masofani aniqlashingiz mumkin.

Sizga kerak bo'ladi

Segment uchlarining dekart, qutb va sferik koordinatalari

Ko'rsatmalar

Avval to'rtburchaklar dekart koordinatalar tizimini ko'rib chiqaylik. Ushbu koordinatalar sistemasidagi nuqtaning fazodagi o'rni aniqlanadi koordinatalar x, y va z. Bosh nuqtadan nuqtaga radius vektori chiziladi. Ushbu radius vektorining koordinata o'qlariga proyeksiyalari bo'ladi koordinatalar bu nuqta.
Aytaylik, sizda ikkita ochko bor koordinatalar mos ravishda x1,y1,z1 va x2,y2 va z2. Birinchi va ikkinchi nuqtalarning radius vektorlarini mos ravishda r1 va r2 bilan belgilang. Shubhasiz, bu ikki nuqta orasidagi masofa r = r1-r2 vektorining kattaligiga teng bo'ladi, bu erda (r1-r2) vektor farqi.
r vektorining koordinatalari aniq bo'ladi: x1-x2, y1-y2, z1-z2. U holda r vektorning kattaligi yoki ikki nuqta orasidagi masofa teng bo'ladi: r = sqrt(((x1-x2)^2)+((y1-y2)^2)+((z1-z2)^2 )).

Endi qutb koordinata tizimini ko'rib chiqaylik, unda nuqta koordinatasi radial koordinata r (XY tekisligidagi radius vektor), burchak koordinatasi bilan beriladi? (vektor r va X o'qi orasidagi burchak) va z koordinatasi, Dekart tizimidagi z koordinatasiga o'xshash nuqtaning qutb koordinatalarini quyidagi tarzda Dekart koordinatalariga aylantirish mumkin: x = r*cos?, y. = r*sin?, z = z. Keyin bilan ikki nuqta orasidagi masofa koordinatalar r1, ?1 ,z1 va r2, ?2, z2 teng bo'ladi R = sqrt(((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)+((r1*sin?1-r2*sin ?2 )^2)+((z1-z2)^2)) = sqrt((r1^2)+(r2^2)-2r1*r2(cos?1*cos?2+sin?1*sin? 2) +((z1-z2)^2))

Endi sferik koordinatalar tizimini ko'rib chiqing. Unda nuqtaning pozitsiyasi uchta bilan belgilanadi koordinatalar r, ? Va?. r - bosh nuqtadan nuqtagacha bo'lgan masofa, ? Va? - mos ravishda azimut va zenit burchak. Burchakmi? qutb koordinatalari tizimida bir xil belgiga ega burchakka o'xshash, a? - radius vektor r va Z o'qi orasidagi burchak va 0 koordinatalari r1, ?1, ?1 va r2, ?2 va?2 R = sqrt(((r1*sin?1*cos?) ga teng bo'ladi. 1-r2*sin 2*cos?2)^2)+((r1*sin?1*sin?1-r2*sin?2*sin?2)^2)+((r1*cos?1- r2*cos?2) ^2)) = (((r1*sin?1)^2)+((r2*sin?2)^2)-2r1*r2*sin?1*sin?2*(cos) ?1*cos?2 +sin?1*sin?2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2))

Segment koordinata tekisligidagi ikkita nuqta bilan aniqlansin, keyin uning uzunligini Pifagor teoremasi yordamida topish mumkin.

Ko'rsatmalar

(x1- y1) va (x2- y2) segment uchlari koordinatalari berilsin. Koordinatalar tizimida chiziqli segmentni chizing.

X va Y o'qlari bo'yicha segmentning uchlaridan perpendikulyarlarni chizing.

Agar siz proyeksiya segmentlarini segmentlarning uchlariga parallel ravishda uzatishni amalga oshirsangiz, siz to'g'ri burchakli uchburchak olasiz. Bu uchburchakning oyoqlari uzatilgan proyeksiyalar, gipotenuza esa AB segmentining o'zi bo'ladi.

Proyeksiya uzunligini hisoblash oson. Y o'qidagi proyeksiyaning uzunligi y2-y1 ga, X o'qidagi proyeksiyaning uzunligi esa x2-x1 ga teng bo'ladi. Keyin Pifagor teoremasi bo'yicha |AB|²- = (y2 - y1)²- + (x2 - x1)²-, bu erda |AB| - segment uzunligi.

Umumiy holatda segment uzunligini topish uchun ushbu sxemani taqdim etgandan so'ng, segmentni qurmasdan segmentning uzunligini hisoblash oson. Oxirgi koordinatalari (1-3) va (2-5) bo'lgan segment uzunligini hisoblaymiz. Keyin |AB|²- = (2 - 1)²- + (5 - 3)²- = 1 + 4 = 5, shuning uchun kerakli segmentning uzunligi 5^1/2 ga teng.