Logarifmik tenglamalar! Muammolar va tengsizliklarga misollar

Maxfiyligingizni saqlash biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik amaliyotlarimizni ko'rib chiqing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar identifikatsiyalash uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi muayyan shaxs yoki u bilan aloqa.

Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:

• Saytda ariza topshirganingizda, biz sizning ismingiz, telefon raqamingiz, manzilingiz kabi turli xil ma'lumotlarni to'plashimiz mumkin Elektron pochta va hokazo.

Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:

• Biz tomonidan yig'ilgan Shaxsiy ma'lumot bizga siz bilan bog'lanish va noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va bo'lajak voqealar haqida sizni xabardor qilish imkonini beradi.
• Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
• Shuningdek, biz shaxsiy ma'lumotlardan biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish uchun auditlar, ma'lumotlarni tahlil qilish va turli tadqiqotlar o'tkazish kabi ichki maqsadlarda foydalanishimiz mumkin.
• Agar siz sovrinlar o'yinida, tanlovda yoki shunga o'xshash aksiyada ishtirok etsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.

Ma'lumotni uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Biz sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.

Istisnolar:

• Zarur hollarda qonun hujjatlariga muvofiq sud tartibi, V sud va/yoki ommaviy so'rovlar yoki so'rovlar asosida davlat organlari Rossiya Federatsiyasi hududida - shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qiling. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa jamoat ahamiyatiga ega bo'lgan maqsadlar uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak.
• Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli vorisi uchinchi shaxsga o'tkazishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.

Shaxsiy hayotingizni kompaniya darajasida hurmat qilish

Sizning shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz xodimlarimizga maxfiylik va xavfsizlik standartlarini etkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy qo'llaymiz.

KO'RSATMA VA LOGARITMIK FUNKSIYALAR VIII

§ 184. Daraja va ildizning logarifmi

Teorema 1. Musbat sonning darajasining logarifmi bu darajaning ko'rsatkichi va uning asosining logarifmi ko'paytmasiga teng.

Boshqacha aytganda, agar A Va X ijobiy va A =/= 1, keyin har qanday haqiqiy son uchun k

jurnal a x k = k jurnal a x . (1)

Ushbu formulani isbotlash uchun buni ko'rsatish kifoya

= a k jurnal a x . (2)

= x k

a k jurnal a x = (a jurnal a x ) k = x k .

Bu (2) formulaning haqiqiyligini anglatadi va shuning uchun (1).

E'tibor bering, agar raqam k tabiiy ( k = n ), u holda (1) formula formulaning maxsus holatidir

jurnal a (x 1 x 2 x 3 ... x n ) = jurnal a x 1 + jurnal a x 2 + log a x 3 + ...log a x n .

oldingi bandda isbotlangan. Haqiqatan ham, bu formulada faraz qilsak

x 1 = x 2 = ... = x n = x ,

olamiz:

jurnal a x n = n jurnal a x .

1) log 3 25 = log 3 5 2 = 2 log 3 5;

2) log 3 2 √ 3 = √3 log 3 2.

Salbiy qiymatlar uchun X (1) formula o'z ma'nosini yo'qotadi. Masalan, log 2 (-4) 2 = 2 log 2 (- 4) ni yoza olmaysiz, chunki log 2 (-4) ifodasi aniqlanmagan. E'tibor bering, ushbu formulaning chap tomonidagi ifoda quyidagi ma'noga ega:

log 2 (-4) 2 = log 2 16 = 4.

Umuman olganda, agar raqam bo'lsa X salbiy, keyin ifoda jurnali a x 2k = 2k jurnal a x chunki aniqlanadi x 2k > 0. Ifodasi 2 ga teng k jurnal a x bu holda hech qanday ma'no yo'q. Shuning uchun yozing

Jurnal a x 2k = 2k jurnal a x

bu taqiqlangan. Biroq, siz yozishingiz mumkin

jurnal a x 2k = 2k jurnal a | x | (3)

Bu formulani (1) dan osongina olish mumkin, buni hisobga olgan holda

x 2k = | x | 2k

Masalan,

log 3 (-3) 4 = 4 log 3 | -3 | = 4 log 3 3 = 4.

Teorema 2. Musbat sonning ildizining logarifmi radikal ifodaning ildiz darajasiga bo'lingan logarifmiga teng.

Boshqacha qilib aytganda, raqamlar bo'lsa A Va X ijobiydir A =/= 1 va P u natural sondir

jurnal a n √x = 1 / n jurnal a x

Haqiqatan ham, n √x = . Shunday qilib, 1-teorema bo'yicha

jurnal a n √x =log a = 1 / n jurnal a x .

1) log 3 √8 = 1/2 log 3 8; 2) log 2 5 √27 = 1 / 5 log 2 27.

Mashqlar

1408. Agar asosini o‘zgartirmagan holda sonning logarifmi qanday o‘zgaradi?

a) sonning kvadrati;

b) sonning kvadrat ildizini oling?

1409. Jurnal 2 farqi qanday o'zgaradi? a - jurnal 2 b , raqamlar bo'lsa A Va b mos ravishda almashtiring:

A) A 3 va b 3; b) 3 A va 3 b ?

1410. log 10 2 ≈ 0,3010, log 10 3 ≈ 0,4771 ekanligini bilib, 10 asosning logarifmlarini toping:

8; 9; 3 √2 ; 3 √6 ; 0,5; 1 / 9

1411. Geometrik progressiyaning ketma-ket hadlarining logarifmlari arifmetik progressiya hosil qilishini isbotlang.

1412. Funksiyalar bir-biridan farq qiladimi?

da = jurnal 3 X 2 va da = 2 log 3 X

Bu funksiyalarning grafiklarini tuzing.

1413. Quyidagi o‘zgartirishlardagi xatoni toping:

log 2 1/3 = log 2 1/3

2log 2 1/3 > log 2 1/3;

log 2 (1/3) 2 > log 2 1/3

(1 / 3) 2 > 1 / 3 ;

A asosli logarifm y ning funksiyasidir (x) = log a x, a asosli ko'rsatkichli funktsiyaga teskari: x (y) = a y.

O'nlik logarifm son asosining logarifmidir 10 : log x ≡ log 10 x.

Tabiiy logarifm e ning asosining logarifmi: ln x ≡ log e x.

2,718281828459045... ;
.

Logarifmning grafigi ko‘rsatkichli funksiya grafigidan uni y = x to‘g‘ri chiziqqa nisbatan aks ettirib olinadi. Chap tomonda y funksiyaning grafiklari joylashgan (x) = log a x to'rtta qiymat uchun logarifm asoslari: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 va a = 1/8 . Grafik shuni ko'rsatadiki, a > bo'lganda 1 logarifm monoton ravishda ortadi. X ortishi bilan o'sish sezilarli darajada sekinlashadi. Da 0 < a < 1 logarifm monoton ravishda kamayadi.

Logarifmning xossalari

Domen, qiymatlar to‘plami, ortib borayotgan, kamayuvchi

Logarifm monotonik funktsiyadir, shuning uchun uning ekstremasi yo'q. Logarifmning asosiy xususiyatlari jadvalda keltirilgan.

Shaxsiy qadriyatlar

10 asosga logarifm deyiladi o'nlik logarifm va quyidagicha ifodalanadi:

Logarifmdan asosga e chaqirdi tabiiy logarifm:

Logarifmlar uchun asosiy formulalar

Teskari funktsiyani aniqlashdan kelib chiqadigan logarifmning xususiyatlari:

Logarifmlarning asosiy xossasi va uning oqibatlari

Asosiy almashtirish formulasi

Logarifm logarifm olishning matematik amalidir. Logarifmlarni qabul qilishda omillarning ko'paytmalari hadlar yig'indisiga aylantiriladi.

Potentsiyalash logarifmning teskari matematik amalidir. Potentsiyalash vaqtida berilgan baza potentsiallash amalga oshiriladigan ifoda darajasiga ko'tariladi. Bunda atamalar yig'indisi omillar mahsulotiga aylanadi.

Logarifmlar uchun asosiy formulalarni isbotlash

Logarifmlar bilan bog'liq formulalar ko'rsatkichli funktsiyalar formulalaridan va teskari funktsiyaning ta'rifidan kelib chiqadi.

Ko'rsatkichli funktsiyaning xususiyatini ko'rib chiqing
.
Keyin
.
Ko‘rsatkichli funksiyaning xossasini qo‘llaymiz
:
.

Keling, bazani almashtirish formulasini isbotlaylik.
;
.
c = b deb faraz qilsak, bizda:

Teskari funksiya

Logarifmning a asosiga teskari ko‘rsatkichi a bo‘lgan ko‘rsatkichli funktsiyadir.

Agar , keyin

Agar , keyin

Logarifmning hosilasi

X modulining logarifmining hosilasi:
.
n-tartibning hosilasi:
.
Formulalarni chiqarish > > >

Logarifmaning hosilasini topish uchun uni asosga qisqartirish kerak e.
;
.

Integral

Logarifmning integrali qismlar bo'yicha integrallash orqali hisoblanadi: .
Shunday qilib,

Kompleks sonlar yordamida ifodalar

Kompleks sonlar funktsiyasini ko'rib chiqing z:
.
Kompleks sonni ifodalaylik z modul orqali r va argument φ :
.
Keyin, logarifmning xususiyatlaridan foydalanib, biz quyidagilarga ega bo'lamiz:
.
Yoki

Biroq, argument φ yagona belgilanmagan. Agar qo'ysangiz
, bu yerda n butun son,
keyin har xil uchun bir xil raqam bo'ladi n.

Demak, logarifm kompleks o‘zgaruvchining funksiyasi sifatida bir qiymatli funksiya emas.

Quvvat seriyasining kengayishi

Kengaytirish qachon sodir bo'ladi:

Adabiyotlar:
I.N. Bronshteyn, K.A. Semendyaev, muhandislar va kollej talabalari uchun matematika bo'yicha qo'llanma, "Lan", 2009 yil.

Biz logarifmlarni o'rganishda davom etamiz. Ushbu maqolada biz bu haqda gaplashamiz logarifmlarni hisoblash, bu jarayon deyiladi logarifm. Avval logarifmlarni ta'rifi bo'yicha hisoblashni tushunamiz. Keyinchalik, ularning xususiyatlaridan foydalanib, logarifmlarning qiymatlari qanday topilganligini ko'rib chiqaylik. Shundan so'ng, biz boshqa logarifmlarning dastlab belgilangan qiymatlari orqali logarifmlarni hisoblashga e'tibor qaratamiz. Va nihoyat, keling, logarifm jadvallarini qanday ishlatishni o'rganamiz. Butun nazariya batafsil echimlar bilan misollar bilan ta'minlangan.

Sahifani navigatsiya qilish.

Ta'rif bo'yicha logarifmlarni hisoblash

Eng oddiy hollarda juda tez va oson bajarish mumkin ta'rifi bo'yicha logarifmni topish. Keling, bu jarayon qanday sodir bo'lishini batafsil ko'rib chiqaylik.

Uning mohiyati b raqamini a c ko'rinishida ifodalashdan iborat bo'lib, undan logarifm ta'rifi bo'yicha c soni logarifmning qiymati hisoblanadi. Ya'ni, ta'rifiga ko'ra, quyidagi tenglik zanjiri logarifmni topishga mos keladi: log a b=log a a c =c.

Shunday qilib, logarifmni ta'rifi bo'yicha hisoblash a c = b bo'lgan c raqamini topishga to'g'ri keladi va c sonining o'zi logarifmning kerakli qiymatidir.

Oldingi paragraflardagi ma'lumotlarni hisobga olgan holda, logarifm belgisi ostidagi raqam logarifm asosining ma'lum bir kuchi bilan berilganda, siz darhol logarifm nimaga teng ekanligini ko'rsatishingiz mumkin - bu ko'rsatkichga teng. Keling, misollarga yechimlarni ko'rsatamiz.

Misol.

log 2 2 −3 ni toping, shuningdek e 5,3 sonining natural logarifmini hisoblang.

Yechim.

Logarifmning ta'rifi darhol log 2 2 −3 =−3 ekanligini aytishga imkon beradi. Haqiqatan ham, logarifm belgisi ostidagi raqam 2-bazaning -3 darajasiga teng.

Xuddi shunday, biz ikkinchi logarifmni topamiz: lne 5,3 =5,3.

Javob:

log 2 2 −3 =−3 va lne 5,3 =5,3.

Agar logarifm belgisi ostidagi b soni logarifm asosining kuchi sifatida ko'rsatilmagan bo'lsa, u holda siz b sonining a c ko'rinishida tasvirini topish mumkinmi yoki yo'qligini tekshirishingiz kerak. Ko'pincha bu ko'rinish juda aniq, ayniqsa logarifm belgisi ostidagi raqam 1, yoki 2 yoki 3, ... kuchiga asosga teng bo'lsa.

Misol.

log 5 25, va logarifmlarini hisoblang.

Yechim.

25=5 2 ekanligini ko'rish oson, bu birinchi logarifmni hisoblash imkonini beradi: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Keling, ikkinchi logarifmni hisoblashga o'tamiz. Raqam 7 ning kuchi sifatida ifodalanishi mumkin: (agar kerak bo'lsa, qarang). Demak, .

Uchinchi logarifmni qayta yozamiz quyidagi shakl. Endi buni ko'rishingiz mumkin , shundan biz shunday xulosaga kelamiz . Shuning uchun, logarifmning ta'rifi bo'yicha .

Qisqacha, yechim quyidagicha yozilishi mumkin: .

Javob:

log 5 25=2 , Va .

Logarifm belgisi ostida etarlicha katta natural son mavjud bo'lganda, uni tub omillarga ko'paytirish zarar qilmaydi. Ko'pincha bunday raqamni logarifm asosining ba'zi bir kuchi sifatida ko'rsatishga yordam beradi va shuning uchun bu logarifmni ta'rifi bo'yicha hisoblang.

Misol.

Logarifmning qiymatini toping.

Yechim.

Logarifmlarning ayrim xossalari darhol logarifmlar qiymatini belgilash imkonini beradi. Bu xossalarga birning logarifmi xossasi va asosga teng son logarifmi xossasi kiradi: log 1 1=log a a 0 =0 va log a a=log a a 1 =1. Ya'ni, agar logarifm belgisi ostida 1 raqami yoki logarifm asosiga teng a soni mavjud bo'lsa, bu hollarda logarifmlar mos ravishda 0 va 1 ga teng bo'ladi.

Misol.

Logarifm va log10 nimaga teng?

Yechim.

dan boshlab, keyin logarifmning ta'rifidan kelib chiqadi .

Ikkinchi misolda logarifm belgisi ostidagi 10 soni uning asosiga to'g'ri keladi, shuning uchun o'nlik o'nlik logarifmi birga teng, ya'ni lg10=lg10 1 =1.

Javob:

VA lg10=1.

E'tibor bering, logarifmlarni ta'rifi bo'yicha hisoblash (bu haqda oldingi bandda muhokama qilganmiz) loggarifmlarning xususiyatlaridan biri bo'lgan log a a p =p tengligidan foydalanishni nazarda tutadi.

Amalda logarifm belgisi ostidagi son va logarifm asosi ma’lum sonning kuchi sifatida osonlik bilan ifodalanganda formuladan foydalanish juda qulay. , bu logarifmlarning xususiyatlaridan biriga mos keladi. Keling, ushbu formuladan foydalanishni ko'rsatadigan logarifmni topish misolini ko'rib chiqaylik.

Misol.

Logarifmni hisoblang.

Yechim.

Javob:

.

Logarifmlarning yuqorida qayd etilmagan xususiyatlari ham hisob-kitoblarda qo'llaniladi, ammo bu haqda keyingi paragraflarda gaplashamiz.

Boshqa ma'lum logarifmlar orqali logarifmlarni topish

Ushbu banddagi ma'lumotlar logarifmlarning xossalarini hisoblashda foydalanish mavzusini davom ettiradi. Ammo bu erda asosiy farq shundaki, logarifmlarning xossalari dastlabki logarifmni qiymati ma'lum bo'lgan boshqa logarifm shaklida ifodalash uchun ishlatiladi. Aniqlik uchun misol keltiramiz. Aytaylik, log 2 3≈1,584963 ekanligini bilamiz, u holda, masalan, log 2 6 ni logarifmning xossalari yordamida biroz o‘zgartirish orqali topishimiz mumkin: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Yuqoridagi misolda mahsulotning logarifmi xususiyatidan foydalanishimiz kifoya edi. Biroq, berilganlar orqali asl logarifmni hisoblash uchun ko'pincha logarifmlar xususiyatlarining kengroq arsenalidan foydalanish kerak bo'ladi.

Misol.

Agar log 60 2=a va log 60 5=b ekanligini bilsangiz, 27 ning 60 asosiga logarifmini hisoblang.

Yechim.

Shunday qilib, log 60 27 ni topishimiz kerak. 27 = 3 3 ekanligini va asl logarifmni kuchning logarifmi xususiyatidan kelib chiqib, 3·log 60 3 shaklida qayta yozish mumkinligini ko'rish oson.

Endi log 60 3 ni ma'lum logarifmlar orqali qanday ifodalashni ko'rib chiqamiz. Asosga teng son logarifmining xossasi 60 60=1 tenglik logini yozishga imkon beradi. Boshqa tomondan, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Shunday qilib, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Demak, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Nihoyat, biz asl logarifmni hisoblaymiz: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Javob:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Shakl logarifmining yangi bazasiga o'tish formulasining ma'nosini alohida ta'kidlash kerak. . Bu sizga har qanday asosli logarifmlardan ma'lum bir asosli, qiymatlari ma'lum yoki ularni topish mumkin bo'lgan logarifmlarga o'tish imkonini beradi. Odatda, dastlabki logarifmdan, o'tish formulasidan foydalanib, ular 2, e yoki 10 asoslaridan birida logarifmlarga o'tadilar, chunki bu asoslar uchun ularning qiymatlarini ma'lum darajada hisoblash imkonini beruvchi logarifmlar jadvallari mavjud. aniqlik. Keyingi paragrafda bu qanday amalga oshirilganligini ko'rsatamiz.

Logarifm jadvallari va ulardan foydalanish

Logarifm qiymatlarini taxminiy hisoblash uchun foydalanish mumkin logarifm jadvallari. Eng ko'p qo'llaniladigan asosiy 2 logarifm jadvali, natural logarifm jadvali va o'nlik logarifm jadvali. O'nlik sanoq sistemasida ishlaganda o'nlik asosga asoslangan logarifmlar jadvalidan foydalanish qulay. Uning yordami bilan biz logarifmlarning qiymatlarini topishni o'rganamiz.

Taqdim etilgan jadval sizga 1000 dan 9999 gacha (uchta kasrli) raqamlarning o'n mingdan birlik aniqligi bilan o'nlik logarifmlarining qiymatlarini topishga imkon beradi. O'nlik logarifmlar jadvalidan foydalanib, logarifmning qiymatini topish tamoyilini tahlil qilamiz aniq misol- bu aniqroq. Log1.256 ni topamiz.

O'nlik logarifmlar jadvalining chap ustunida biz 1,256 raqamining birinchi ikkita raqamini topamiz, ya'ni 1,2 ni topamiz (aniqlik uchun bu raqam ko'k rangda aylana shaklida chizilgan). 1.256 raqamining uchinchi raqami (5-raqam) qo'sh chiziqning chap tomonidagi birinchi yoki oxirgi satrda joylashgan (bu raqam qizil rang bilan aylanalangan). 1.256 asl raqamining to'rtinchi raqami (6-raqam) qo'sh chiziqning o'ng tomonidagi birinchi yoki oxirgi qatorda joylashgan (bu raqam yashil chiziq bilan o'ralgan). Endi biz logarifm jadvalining katakchalaridagi raqamlarni belgilangan qator va belgilangan ustunlar kesishmasida topamiz (bu raqamlar to'q sariq rangda ta'kidlangan). Belgilangan raqamlar yig'indisi o'nlik logarifmning kerakli qiymatini to'rtinchi kasrgacha aniq beradi, ya'ni log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Yuqoridagi jadvaldan foydalanib, kasrdan keyin uchtadan ortiq raqamga ega bo'lgan, shuningdek, 1 dan 9,999 gacha bo'lgan diapazondan tashqariga chiqadigan raqamlarning o'nlik logarifmlarining qiymatlarini topish mumkinmi? Ha mumkin. Keling, bu qanday amalga oshirilishini misol bilan ko'rsatamiz.

Keling, lg102.76332 ni hisoblaymiz. Avval siz yozishingiz kerak standart shakldagi raqam: 102,76332=1,0276332·10 2. Shundan so'ng, mantisani uchinchi kasrga yaxlitlash kerak, bizda bor 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, asl o'nlik logarifmi taxminan olingan sonning logarifmiga teng bo'lsa, ya'ni log102,76332≈lg1,028·10 2 ni olamiz. Endi biz logarifmning xususiyatlarini qo'llaymiz: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Nihoyat, lg1.028 oʻnlik logarifmlar jadvalidan lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012 logarifm qiymatini topamiz. Natijada, logarifmni hisoblashning butun jarayoni quyidagicha ko'rinadi: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1,028+lg10 2 =log1,028+2≈0,012+2=2,012.

Xulosa qilib shuni ta'kidlash kerakki, o'nlik logarifmlar jadvalidan foydalanib, har qanday logarifmning taxminiy qiymatini hisoblashingiz mumkin. Buning uchun o'nlik logarifmlarga o'tish, jadvalda ularning qiymatlarini topish va qolgan hisob-kitoblarni bajarish uchun o'tish formulasidan foydalanish kifoya.

Masalan, log 2 3 ni hisoblab chiqamiz. Logarifmning yangi bazasiga o'tish formulasiga ko'ra, bizda mavjud. O'nli logarifmlar jadvalidan log3≈0,4771 va log2≈0,3010 ni topamiz. Shunday qilib, .

Adabiyotlar ro'yxati.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. va boshqalar.Algebra va tahlilning boshlanishi: Umumta’lim muassasalarining 10-11-sinflari uchun darslik.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (texnika maktablariga kiruvchilar uchun qo'llanma).