Qaysi chiziq funksiya grafigiga teguvchi deyiladi? Nishab burchagi tangensi sifatida tangensning burchak koeffitsienti

Funksiya grafigiga teginish tenglamasi

P. Romanov, T. Romanova,
Magnitogorsk,
Chelyabinsk viloyati

Funksiya grafigiga teginish tenglamasi

Maqola ITAKA+ mehmonxona majmuasi ko‘magida chop etilgan. Severodvinsk kema quruvchilari shahrida bo'lganingizda, siz vaqtinchalik uy-joy topish muammosiga duch kelmaysiz. , “ITHAKA+” mehmonxona majmuasining http://itakaplus.ru veb-saytida siz shaharda istalgan muddatga, kunlik to‘lov bilan kvartirani osongina va tez ijaraga olishingiz mumkin.

Ta'lim taraqqiyotining hozirgi bosqichida uning asosiy vazifalaridan biri ijodiy fikrlaydigan shaxsni shakllantirishdir. Talabalarda ijodkorlik qobiliyati, agar ular ilmiy-tadqiqot faoliyati asoslariga muntazam jalb qilingan taqdirdagina rivojlanishi mumkin. Talabalarning ijodiy kuchlari, qobiliyatlari va iste’dodlaridan foydalanishlari uchun to‘laqonli bilim va ko‘nikmalar shakllanadi. Shu munosabat bilan maktab matematika kursining har bir mavzusi bo'yicha asosiy bilim va ko'nikmalar tizimini shakllantirish muammosi kam emas. Shu bilan birga, to'liq ko'nikmalar individual vazifalarning emas, balki ularning puxta o'ylangan tizimining didaktik maqsadi bo'lishi kerak. Keng ma'noda tizim deganda yaxlitlik va barqaror tuzilishga ega bo'lgan o'zaro bog'langan o'zaro ta'sir qiluvchi elementlar to'plami tushuniladi.

Talabalarga funksiya grafigiga teginish uchun tenglama yozishni o‘rgatish texnikasini ko‘rib chiqamiz. Asosan, tangens tenglamani topishning barcha muammolari chiziqlar to'plamidan (to'plam, oila) ma'lum bir talabni qondiradiganlarni tanlash zarurati bilan bog'liq - ular ma'lum bir funktsiya grafigiga teginishdir. Bunday holda, tanlov amalga oshiriladigan qatorlar to'plami ikki shaklda belgilanishi mumkin:

a) xOy tekisligida yotgan nuqta (chiziqlarning markaziy qalami);
b) burchak koeffitsienti (to'g'ri chiziqlarning parallel nurlari).

Shu munosabat bilan, tizim elementlarini ajratish uchun "Funksiya grafigiga tegish" mavzusini o'rganishda biz ikkita turdagi muammolarni aniqladik:

1) u o'tgan nuqta bilan berilgan tangensga oid masalalar;
2) qiyaligi bilan berilgan tangensga oid masalalar.

Tangens masalalarni yechishga o'rgatish A.G. tomonidan taklif qilingan algoritm yordamida amalga oshirildi. Mordkovich. Uning ma'lum bo'lganlardan tubdan farqi shundaki, teginish nuqtasining abssissasi a harfi bilan belgilanadi (x0 o'rniga) va shuning uchun tangens tenglama shaklni oladi.

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0) bilan solishtiring). Ushbu uslubiy texnika, bizningcha, o'quvchilarga joriy nuqtaning koordinatalari qayerda yozilganligini tez va oson tushunish imkonini beradi. umumiy tangens tenglamasi va aloqa nuqtalari qayerda.

y = f(x) funksiya grafigiga teginish tenglamasini tuzish algoritmi.

1. Tangens nuqtaning abssissasini a harfi bilan belgilang.
2. f(a) ni toping.
3. f "(x) va f "(a) ni toping.
4. Topilgan a, f(a), f "(a) sonlarni y = f(a) = f "(a)(x – a) umumiy tangens tenglamaga almashtiring.

Bu algoritm talabalarning operatsiyalarni mustaqil aniqlashi va ularni amalga oshirish ketma-ketligi asosida tuzilishi mumkin.

Amaliyot shuni ko'rsatdiki, algoritm yordamida har bir asosiy masalani ketma-ket hal qilish funksiya grafigiga teginish tenglamasini bosqichma-bosqich yozish ko'nikmalarini rivojlantirishga imkon beradi va algoritm qadamlari harakatlar uchun mos yozuvlar nuqtasi bo'lib xizmat qiladi. . Bu yondashuv P.Ya tomonidan ishlab chiqilgan aqliy harakatlarning bosqichma-bosqich shakllanishi nazariyasiga mos keladi. Galperin va N.F. Talyzina.

Birinchi turdagi vazifalarda ikkita asosiy vazifa aniqlandi:

tangens egri chiziqda yotgan nuqtadan o'tadi (1-masala);
tangens egri chiziqda yotmagan nuqtadan o'tadi (2-masala).

1-topshiriq. Funksiya grafigiga teginish tenglamasini yozing M(3; – 2) nuqtada.

Yechim. M(3; – 2) nuqta tangens nuqtadir, chunki

1. a = 3 – teginish nuqtasining abtsissasi.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – tangens tenglama.

2-masala. M(– 3; 6) nuqtadan o‘tuvchi y = – x 2 – 4x + 2 funksiya grafigiga barcha tegmalarning tenglamalarini yozing.

Yechim. M(– 3; 6) nuqta tangens nuqta emas, chunki f(– 3) nuqta. 6 (2-rasm).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – tangens tenglama.

Tangens M(– 3; 6) nuqtadan o'tadi, shuning uchun uning koordinatalari tangens tenglamasini qanoatlantiradi.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Agar a = – 4 bo‘lsa, tangens tenglama y = 4x + 18 bo‘ladi.

Agar a = – 2 bo‘lsa, tangens tenglama y = 6 ko‘rinishga ega bo‘ladi.

Ikkinchi turda asosiy vazifalar quyidagilar bo'ladi:

tangens qandaydir chiziqqa parallel (3-muammo);
tangens berilgan chiziqqa ma'lum burchak ostida o'tadi (4-masala).

3-masala. y = x 3 – 3x 2 + 3 funksiya grafigiga y = 9x + 1 to‘g‘riga parallel bo‘lgan barcha tangenslar tenglamalarini yozing.

Yechim.

1. a – teginish nuqtasining abtsissasi.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Lekin, boshqa tomondan, f "(a) = 9 (parallellik sharti). Bu 3a 2 – 6a = 9 tenglamani yechishimiz kerakligini bildiradi. Uning ildizlari a = – 1, a = 3 (3-rasm) ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – tangens tenglama;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – tangens tenglama.

4-masala. y = 0,5x 2 – 3x + 1 funksiya grafigiga y = 0 to‘g‘ri chiziqqa 45° burchak ostida o‘tuvchi teginish tenglamasini yozing (4-rasm).

Yechim. f "(a) = tan 45° shartidan a ni topamiz: a – 3 = 1^a = 4.

1. a = 4 – teginish nuqtasining abtsissasi.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – tangens tenglama.

Boshqa har qanday muammoni hal qilish bir yoki bir nechta asosiy muammolarni hal qilish bilan bog'liqligini ko'rsatish oson. Misol sifatida quyidagi ikkita muammoni ko'rib chiqing.

1. y = 2x 2 – 5x – 2 parabolaga teglar tenglamalarini yozing, agar teglar to‘g‘ri burchak ostida kesishsa va ulardan biri abssissa 3 nuqtada parabolaga tegsa (5-rasm).

Yechim. Tangens nuqtasining abssissasi berilganligi sababli yechimning birinchi qismi 1-asosiy masalaga keltiriladi.

1. a = 3 - to'g'ri burchakning bir tomonining teginish nuqtasining absissasi.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – birinchi tangens tenglamasi.

Keling, a – birinchi tangensning qiyalik burchagi. Tangenslar perpendikulyar bo'lganligi sababli, ikkinchi tangensning moyillik burchagi. Birinchi tangensning y = 7x – 20 tenglamasidan tg a = 7. Keling, topamiz

Bu ikkinchi tangensning qiyaligi ga teng ekanligini bildiradi.

Keyingi yechim asosiy vazifa 3 ga tushadi.

B(c; f(c)) ikkinchi chiziqning teginish nuqtasi bo'lsin

1. – ikkinchi teginish nuqtasining absissasi.
2.
3.
4.
– ikkinchi tangens tenglamasi.

Eslatma. Talabalar k 1 k 2 = – 1 perpendikulyar chiziqlar koeffitsientlari nisbatini bilsalar, tangensning burchak koeffitsientini osonroq topish mumkin.

2. Funksiyalarning grafiklariga barcha umumiy tangenslar tenglamalarini yozing

Yechim. Vazifa umumiy tangenslarning teginish nuqtalarining abssissasini topish, ya’ni 1-asosiy masalani umumiy shaklda yechish, tenglamalar sistemasini tuzish va keyin uni yechishdan iborat (6-rasm).

1. y = x 2 + x + 1 funksiya grafigida yotgan teginish nuqtasining abssissasi a bo lsin.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Funktsiya grafigida yotgan teginish nuqtasining abssissasi c bo'lsin
2.
3. f "(c) = c.
4.

Tangenslar umumiy bo'lgani uchun

Demak, y = x + 1 va y = – 3x – 3 umumiy tangenslardir.

Ko'rib chiqilayotgan vazifalarning asosiy maqsadi talabalarni muayyan tadqiqot ko'nikmalarini (tahlil qilish, taqqoslash, umumlashtirish, gipoteza qo'yish va boshqalar) talab qiladigan murakkabroq muammolarni hal qilishda asosiy muammo turini mustaqil ravishda tan olishga tayyorlashdir. Bunday vazifalarga asosiy vazifa komponent sifatida kiritilgan har qanday vazifa kiradi. Misol tariqasida funksiyani uning tangenslari turkumidan topish masalasini (1-masalaga teskari) ko'rib chiqamiz.

3. Nima uchun b va c y = x va y = – 2x chiziqlar y = x 2 + bx + c funksiya grafigiga teginish?

Yechim.

y = x 2 + bx + c parabola bilan y = x to'g'ri chiziqning teginish nuqtasining abssissasi t bo'lsin; p - y = x 2 + bx + c parabola bilan y = – 2x to'g'ri chiziqning teginish nuqtasining abssissasi. U holda y = x tangens tenglamasi y = (2t + b)x + c – t 2, y = – 2x tangens tenglamasi y = (2p + b)x + c – p 2 ko‘rinishida bo‘ladi. .

Keling, tenglamalar tizimini tuzamiz va yechamiz

Javob:

Mustaqil ravishda hal qilinadigan muammolar

1. y = 2x 2 – 4x + 3 funksiya grafigiga grafikning y = x + 3 chiziq bilan kesishgan nuqtalarida chizilgan tangenslar tenglamalarini yozing.

Javob: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.

2. y = x 2 – ax funksiya grafigiga abscissa x 0 = 1 bo‘lgan grafaning nuqtasida chizilgan tangens a ning qaysi qiymatlari uchun M(2; 3) nuqtadan o‘tadi?

Javob: a = 0,5.

3. y = px – 5 to‘g‘ri chiziq p ning qaysi qiymatlari uchun y = 3x 2 – 4x – 2 egri chizig‘iga tegadi?

Javob: p 1 = – 10, p 2 = 2.

4. y = 3x – x 3 funksiya grafigining barcha umumiy nuqtalarini va bu grafikga P(0; 16) nuqta orqali chizilgan tangensini toping.

Javob: A(2; – 2), B(– 4; 52).

5. y = x 2 + 6x + 10 parabola bilan toʻgʻri chiziq orasidagi eng qisqa masofani toping.

Javob:

6. y = x 2 – x + 1 egri chizig‘ida grafikning tangensi y – 3x + 1 = 0 to‘g‘ri chiziqqa parallel bo‘lgan nuqtani toping.

Javob: M(2; 3).

7. y = x 2 + 2x – funksiya grafigiga teginish tenglamasini yozing. 4x |, bu unga ikki nuqtada tegadi. Chizma qiling.

Javob: y = 2x – 4.

8. y = 2x – 1 chiziq y = x 4 + 3x 2 + 2x egri chiziqni kesishmasligini isbotlang. Ularning eng yaqin nuqtalari orasidagi masofani toping.

Javob:

9. y = x 2 parabolada x 1 = 1, x 2 = 3 abscissalar bilan ikkita nuqta olinadi. Bu nuqtalar orqali sekant o'tkaziladi. Parabolaning qaysi nuqtasida unga tegish sekantga parallel bo'ladi? Sekant va tangens tenglamalarini yozing.

Javob: y = 4x – 3 – sekant tenglama; y = 4x – 4 – tangens tenglama.

10. q burchakni toping y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1 funksiya grafigiga teglar orasidagi, abscissalar 0 va 1 bo‘lgan nuqtalarda chizilgan.

Javob: q = 45°.

11. Funksiya grafigining tangensi qaysi nuqtalarda Ox o‘qi bilan 135° burchak hosil qiladi?

Javob: A(0; – 1), B(4; 3).

12. A(1; 8) nuqtada egri chiziqqa tangens chiziladi. Koordinata o'qlari orasidagi tangens segmentining uzunligini toping.

Javob:

13. y = x 2 – x + 1 va y = 2x 2 – x + 0,5 funksiyalarning grafiklariga barcha umumiy tangenslar tenglamasini yozing.

Javob: y = – 3x va y = x.

14. Funksiya grafigiga teglar orasidagi masofani toping x o'qiga parallel.

Javob:

15. y = x 2 + 2x – 8 parabola x o‘qini qanday burchaklarda kesib o‘tishini aniqlang.

Javob: q 1 = arktan 6, q 2 = arktan (– 6).

16. Funksiya grafigi Barcha nuqtalarni toping, ularning har biridagi tangens koordinatalarning musbat yarim o'qlarini kesib, ulardan teng segmentlarni kesib tashlaydi.

Javob: A(– 3; 11).

17. y = 2x + 7 to'g'ri va y = x 2 – 1 parabola M va N nuqtalarda kesishadi. M va N nuqtalarda parabolaga teguvchi to'g'ri chiziqning kesishish K nuqtasini toping.

Javob: K(1; – 9).

18. b ning qaysi qiymatlari uchun y = 9x + b chiziq y = x 3 – 3x + 15 funksiya grafigiga teginishdir?

Javob: – 1; 31.

19. y = kx – 10 to‘g‘ri chiziq k ning qaysi qiymatlari uchun y = 2x 2 + 3x – 2 funksiya grafigi bilan faqat bitta umumiy nuqtaga ega? Topilgan k qiymatlari uchun nuqtaning koordinatalarini aniqlang.

Javob: k 1 = – 5, A(– 2; 0); k 2 = 11, B(2; 12).

20. y = bx 3 – 2x 2 – 4 funksiya grafigiga abscissa x 0 = 2 nuqtada chizilgan tangens b ning qaysi qiymatlari uchun M(1; 8) nuqtadan o‘tadi?

Javob: b = – 3.

21. Choʻqqisi Ox oʻqi boʻlgan parabola B nuqtada A(1; 2) va B(2; 4) nuqtalardan oʻtuvchi chiziqqa tegib turadi. Parabola tenglamasini toping.

Javob:

22. y = x 2 + kx + 1 parabola k koeffitsientining qaysi qiymatida Ox o'qiga tegadi?

Javob: k = d 2.

23. y = x + 2 to'g'ri chiziq va y = 2x 2 + 4x – 3 egri chizig'i orasidagi burchaklarni toping.

29. Funksiya grafigiga teglar va Ox o‘qining musbat yo‘nalishi 45° bo‘lgan generatorlar orasidagi masofani toping.

Javob:

30. y = x 2 + ax+b ko‘rinishdagi barcha parabolalarning cho‘qqilari y = 4x – 1 to‘g‘riga teginish joyini toping.

Javob: to'g'ri chiziq y = 4x + 3.

Adabiyot

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. Algebra va tahlilning boshlanishi: maktab o'quvchilari va oliy o'quv yurtlariga kiruvchilar uchun 3600 ta muammo. - M., Bustard, 1999 yil.
2. Mordkovich A. Yosh o'qituvchilar uchun to'rtinchi seminar. Mavzu: Hosila ilovalari. – M., “Matematika”, 21/94-son.
3. Aqliy harakatlarni bosqichma-bosqich o'zlashtirish nazariyasi asosida bilim va ko'nikmalarni shakllantirish. / Ed. P.Ya. Galperina, N.F. Talyzina. – M., Moskva davlat universiteti, 1968 yil.

Siz lotin nima ekanligini allaqachon bilasizmi? Agar yo'q bo'lsa, avval mavzuni o'qing. Demak, siz lotinni bilasiz deysiz. Keling, hozir tekshiramiz. Argumentning o'sishi teng bo'lganda funktsiyaning o'sishini toping. Siz boshqardingizmi? Bu ishlashi kerak. Endi funksiyaning nuqtadagi hosilasini toping. Javob: . Bo'ldimi? Agar siz ushbu misollardan biron birida qiyinchiliklarga duch kelsangiz, mavzuga qaytib, uni qayta o'rganishingizni qat'iy tavsiya qilaman. Mavzu juda katta ekanligini bilaman, lekin aks holda uzoqqa borishdan ma'no yo'q. Ba'zi funktsiyaning grafigini ko'rib chiqing:

Grafik chizig'ida ma'lum bir nuqtani tanlaymiz. Uning abtsissasi bo'lsin, u holda ordinata teng bo'ladi. Keyin nuqtaga yaqin abscissa bilan nuqtani tanlaymiz; uning ordinatasi:

Keling, ushbu nuqtalar orqali to'g'ri chiziq chizamiz. U sekant deb ataladi (xuddi geometriyadagi kabi). To'g'ri chiziqning o'qqa moyillik burchagini deb belgilaymiz. Trigonometriyada bo'lgani kabi, bu burchak x o'qining musbat yo'nalishidan soat miliga teskari yo'nalishda o'lchanadi. Burchak qanday qiymatlarni olishi mumkin? Ushbu to'g'ri chiziqni qanday egishingizdan qat'iy nazar, yarmi yuqoriga yopishib qoladi. Shuning uchun mumkin bo'lgan maksimal burchak , minimal mumkin bo'lgan burchak esa . Ma'nosi, . Burchak kiritilmagan, chunki bu holda to'g'ri chiziqning pozitsiyasi to'liq mos keladi va kichikroq burchakni tanlash mantiqan to'g'ri keladi. Rasmdagi shunday nuqtani olaylikki, to'g'ri chiziq abscissa o'qiga parallel, a esa ordinata o'qi bo'lsin:

Rasmdan ko'rinib turibdiki, a. Keyin o'sish nisbati:

(chunki u to'rtburchaklar shaklida).

Keling, endi kamaytiraylik. Shunda nuqta nuqtaga yaqinlashadi. U cheksiz kichik bo'lganda, nisbat nuqtadagi funktsiyaning hosilasiga teng bo'ladi. Sekant bilan nima bo'ladi? Nuqta nuqtaga cheksiz yaqin bo'ladi, shuning uchun ularni bir xil nuqta deb hisoblash mumkin. Ammo egri chiziq bilan faqat bitta umumiy nuqtaga ega bo'lgan to'g'ri chiziq bundan boshqa narsa emas tangens(bu holda, bu shart faqat kichik hududda - nuqta yaqinida bajariladi, ammo bu etarli). Aytishlaricha, bu holatda sekant oladi chegara pozitsiyasi.

Sekantning o'qqa qiyshayish burchagi deb ataymiz. Keyin hosila ekanligi ma'lum bo'ladi

ya'ni hosila berilgan nuqtadagi funksiya grafigiga teginish burchagining tangensiga teng.

Tangens chiziq bo'lgani uchun, endi chiziq tenglamasini eslaylik:

Koeffitsient nimaga javob beradi? To'g'ri chiziqning qiyaligi uchun. Bu shunday deyiladi: qiyalik. Bu nima degani? Va to'g'ri chiziq va o'q orasidagi burchakning tangensiga teng ekanligi! Shunday qilib, shunday bo'ladi:

Ammo biz bu qoidani ortib borayotgan funktsiyani hisobga olgan holda oldik. Funktsiya pasaysa nima o'zgaradi? Ko'raylikchi:
Endi burchaklar to'g'ridan-to'g'ri. Va funktsiyaning o'sishi salbiy. Keling, yana bir bor ko'rib chiqaylik: . Boshqa tomondan, . Biz olamiz: , ya'ni hamma narsa o'tgan safargidek. Keling, yana nuqtani nuqtaga yo'naltiramiz va sekant cheklovchi pozitsiyani egallaydi, ya'ni nuqtadagi funktsiya grafigiga teguvchiga aylanadi. Shunday qilib, yakuniy qoidani shakllantiramiz:
ma'lum bir nuqtada bu nuqtadagi funksiya grafigiga teginish burchagining tangensiga yoki (bu bir xil) bu tangensning qiyaligiga teng:

Bu shunday hosilaning geometrik ma'nosi. Xo'sh, bularning barchasi qiziq, lekin bu bizga nima uchun kerak? Bu yerga misol:
Rasmda funksiyaning grafigi va abscissa nuqtasida unga tegish ko'rsatilgan. Nuqtadagi funksiya hosilasining qiymatini toping.
Yechim.
Yaqinda aniqlaganimizdek, tangens nuqtasidagi hosilaning qiymati tangensning qiyaligiga teng bo'lib, u o'z navbatida bu tegning abscissa o'qiga moyillik burchagi tangensiga teng: . Demak, hosilaning qiymatini topish uchun tangens burchakning tangensini topishimiz kerak. Rasmda koordinatalari bizga ma'lum bo'lgan tangensda yotgan ikkita nuqtani belgilab oldik. Shunday qilib, keling, ushbu nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri burchakli uchburchakni qurishni yakunlaymiz va tangens burchakning tangensini topamiz!

Tangensning o'qga moyillik burchagi. Bu burchakning tangensini topamiz: . Shunday qilib, funktsiyaning nuqtadagi hosilasi teng bo'ladi.
Javob:. Endi o'zingiz sinab ko'ring:

Javoblar:

Bilish hosilaning geometrik ma'nosi, biz mahalliy maksimal yoki minimal nuqtadagi hosila nolga teng bo'lgan qoidani juda oddiy tushuntira olamiz. Haqiqatan ham, ushbu nuqtalarda grafikning tangensi "gorizontal", ya'ni x o'qiga parallel:

Parallel chiziqlar orasidagi burchak nimaga teng? Albatta, nol! Va nolning tangensi ham nolga teng. Shunday qilib, hosila nolga teng:

Bu haqda ko'proq "Funktsiyalarning monotonligi" mavzusida o'qing. Ekstremal nuqtalar."

Endi ixtiyoriy tangenslarga e'tibor qarataylik. Aytaylik, bizda qandaydir funksiya bor, masalan, . Biz uning grafigini chizdik va bir nuqtada unga tangens chizmoqchimiz. Masalan, bir nuqtada. Biz o'lchagichni olamiz, uni grafikaga biriktiramiz va chizamiz:

Bu chiziq haqida nima bilamiz? Koordinata tekisligidagi chiziq haqida bilish uchun eng muhim narsa nima? To'g'ri chiziq chiziqli funktsiyaning tasviri bo'lganligi sababli, uning tenglamasini bilish juda qulay bo'ladi. Ya'ni, tenglamadagi koeffitsientlar

Ammo biz allaqachon bilamiz! Bu o'sha nuqtadagi funktsiyaning hosilasiga teng bo'lgan tangensning qiyaligi:

Bizning misolimizda bu shunday bo'ladi:

Endi uni topishgina qoladi. Bu armutni otish kabi oddiy: axir - qiymati. Grafik jihatdan, bu chiziqning ordinat o'qi bilan kesishish koordinatasi (oxir-oqibat, o'qning barcha nuqtalarida):

Keling, uni chizamiz (shuning uchun u to'rtburchaklar). Keyin (tangens va x o'qi orasidagi bir xil burchakka). Nimaga teng va nimaga teng? Rasmda aniq ko'rinib turibdiki, a. Keyin biz olamiz:

Olingan barcha formulalarni to'g'ri chiziq tenglamasiga birlashtiramiz:

Endi o'zingiz qaror qiling:

Toping tangens tenglamasi nuqtadagi funksiyaga.
Parabolaning tangensi o'qni burchak ostida kesib o'tadi. Shu tangens tenglamasini toping.
Chiziq funksiya grafigining tangensiga parallel. Tangens nuqtaning abtsissasini toping.
Chiziq funksiya grafigining tangensiga parallel. Tangens nuqtaning abtsissasini toping.

Yechimlar va javoblar:

FUNKSIYA grafigiga TANGENT TENGLASHISHI. QISQA TA'RIF VA ASOSIY FORMULALAR

Muayyan nuqtadagi funktsiyaning hosilasi ushbu nuqtadagi funksiya grafigiga teginish tangensiga yoki bu tangensning qiyaligiga teng:

Nuqtadagi funksiya grafigiga teginish tenglamasi:

Tangens tenglamani topish algoritmi:

Xo'sh, mavzu tugadi. Agar siz ushbu satrlarni o'qiyotgan bo'lsangiz, demak siz juda zo'rsiz.

Chunki odamlarning atigi 5 foizi o‘z kuchi bilan biror narsani o‘zlashtira oladi. Va agar siz oxirigacha o'qisangiz, unda siz ushbu 5% ga kirasiz!

Endi eng muhimi.

Siz ushbu mavzu bo'yicha nazariyani tushundingiz. Va takror aytaman, bu... bu shunchaki ajoyib! Siz allaqachon tengdoshlaringizning aksariyatidan yaxshiroqsiz.

Muammo shundaki, bu etarli bo'lmasligi mumkin ...

Sabab?

Yagona davlat imtihonini muvaffaqiyatli topshirganlik uchun, kollejga byudjetga kirish uchun va ENG MUHIM, umrbod.

Men sizni hech narsaga ishontirmayman, faqat bitta narsani aytaman ...

Yaxshi ma'lumotga ega bo'lgan odamlar, olmaganlarga qaraganda ko'proq pul oladilar. Bu statistika.

Lekin bu asosiy narsa emas.

Asosiysi, ular BAXTLI (Bunday tadqiqotlar bor). Ehtimol, ularning oldida yana ko'p imkoniyatlar ochilib, hayot yanada yorqinroq bo'ladimi? Bilmayman...

Lekin o'zingiz o'ylab ko'ring...

Yagona davlat imtihonida boshqalardan yaxshiroq bo'lish va oxir-oqibat ... baxtli bo'lish uchun nima qilish kerak?

SHU MAVZU BO'YICHA MUAMMOLARNI YECHIB QOLING.

Imtihon paytida sizdan nazariya so'ralmaydi.

Sizga kerak bo'ladi vaqtga qarshi muammolarni hal qilish.

Va agar siz ularni hal qilmagan bo'lsangiz (KO'P!), Agar biror joyda ahmoqona xatoga yo'l qo'yasiz yoki shunchaki vaqtingiz bo'lmaydi.

Bu xuddi sportdagidek - aniq g'alaba qozonish uchun buni ko'p marta takrorlash kerak.

To'plamni xohlagan joyingizda toping, albatta yechimlar, batafsil tahlillar bilan va qaror qiling, qaror qiling, qaror qiling!

Siz bizning vazifalarimizdan foydalanishingiz mumkin (ixtiyoriy) va biz, albatta, ularni tavsiya qilamiz.

Vazifalarimizdan yaxshiroq foydalanish uchun siz hozir o'qiyotgan YouClever darsligining ishlash muddatini uzaytirishga yordam berishingiz kerak.

Qanaqasiga? Ikkita variant mavjud:

Ushbu maqoladagi barcha yashirin vazifalarni oching -
Darslikning barcha 99 ta maqolasidagi barcha yashirin vazifalarga kirishni oching - Darslik sotib oling - 899 rubl

Ha, bizning darsligimizda 99 ta shunday maqola bor va ulardagi barcha vazifalar va yashirin matnlarga kirish darhol ochilishi mumkin.

Barcha yashirin vazifalarga kirish saytning BUTUN muddati davomida taqdim etiladi.

Yakunida...

Bizning vazifalarimiz sizga yoqmasa, boshqalarni toping. Faqat nazariya bilan to'xtamang.

"Tushundim" va "Men hal qila olaman" - bu mutlaqo boshqa ko'nikmalar. Sizga ikkalasi ham kerak.

Muammolarni toping va ularni hal qiling!

a) xOy tekisligida yotgan nuqta (chiziqlarning markaziy qalami);
b) burchak koeffitsienti (to'g'ri chiziqlarning parallel nurlari).

Shu munosabat bilan, tizim elementlarini ajratish uchun "Funksiya grafigiga tegish" mavzusini o'rganishda biz ikkita turdagi muammolarni aniqladik:

1) u o'tgan nuqta bilan berilgan tangensga oid masalalar;
2) qiyaligi bilan berilgan tangensga oid masalalar.

y = f(a) + f "(a)(x – a)

y = f(x) funksiya grafigiga teginish tenglamasini tuzish algoritmi.

1. Tangens nuqtaning abssissasini a harfi bilan belgilang.
2. f(a) ni toping.
3. f "(x) va f "(a) ni toping.
4. Topilgan a, f(a), f "(a) sonlarni y = f(a) = f "(a)(x – a) umumiy tangens tenglamaga almashtiring.

Bu algoritm talabalarning operatsiyalarni mustaqil aniqlashi va ularni amalga oshirish ketma-ketligi asosida tuzilishi mumkin.

Birinchi turdagi vazifalarda ikkita asosiy vazifa aniqlandi:

tangens egri chiziqda yotgan nuqtadan o'tadi (1-masala);
tangens egri chiziqda yotmagan nuqtadan o'tadi (2-masala).

1-topshiriq. Funksiya grafigiga teginish tenglamasini yozing M(3; – 2) nuqtada.

Yechim. M(3; – 2) nuqta tangens nuqtadir, chunki

1. a = 3 – teginish nuqtasining abtsissasi.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – tangens tenglama.

2-masala. M(– 3; 6) nuqtadan o‘tuvchi y = – x 2 – 4x + 2 funksiya grafigiga barcha tegmalarning tenglamalarini yozing.

Yechim. M(– 3; 6) nuqta tangens nuqta emas, chunki f(– 3) 6 (2-rasm).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – tangens tenglama.

Tangens M(– 3; 6) nuqtadan o'tadi, shuning uchun uning koordinatalari tangens tenglamasini qanoatlantiradi.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Agar a = – 4 bo‘lsa, tangens tenglama y = 4x + 18 bo‘ladi.

Agar a = – 2 bo‘lsa, tangens tenglama y = 6 ko‘rinishga ega bo‘ladi.

Ikkinchi turda asosiy vazifalar quyidagilar bo'ladi:

tangens qandaydir chiziqqa parallel (3-muammo);
tangens berilgan chiziqqa ma'lum burchak ostida o'tadi (4-masala).

3-masala. y = x 3 – 3x 2 + 3 funksiya grafigiga y = 9x + 1 to‘g‘riga parallel bo‘lgan barcha tangenslar tenglamalarini yozing.

1. a – teginish nuqtasining abtsissasi.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Lekin, boshqa tomondan, f "(a) = 9 (parallellik sharti). Bu 3a 2 – 6a = 9 tenglamani yechishimiz kerakligini bildiradi. Uning ildizlari a = – 1, a = 3 (3-rasm) ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – tangens tenglama;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – tangens tenglama.

4-masala. y = 0,5x 2 – 3x + 1 funksiya grafigiga y = 0 to‘g‘ri chiziqqa 45° burchak ostida o‘tuvchi teginish tenglamasini yozing (4-rasm).

Yechim. f "(a) = tan 45° shartidan a ni topamiz: a – 3 = 1 ^ a = 4.

1. a = 4 – teginish nuqtasining abtsissasi.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – tangens tenglama.

Boshqa har qanday muammoni hal qilish bir yoki bir nechta asosiy muammolarni hal qilish bilan bog'liqligini ko'rsatish oson. Misol sifatida quyidagi ikkita muammoni ko'rib chiqing.

1. y = 2x 2 – 5x – 2 parabolaga teglar tenglamalarini yozing, agar teglar to‘g‘ri burchak ostida kesishsa va ulardan biri abssissa 3 nuqtada parabolaga tegsa (5-rasm).

Yechim. Tangens nuqtasining abssissasi berilganligi sababli yechimning birinchi qismi 1-asosiy masalaga keltiriladi.

1. a = 3 - to'g'ri burchakning bir tomonining teginish nuqtasining absissasi.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – birinchi tangens tenglamasi.

Birinchi tangensning qiyalik burchagi a bo'lsin. Tangenslar perpendikulyar bo'lganligi sababli, ikkinchi tangensning moyillik burchagi. Birinchi tangensning y = 7x – 20 tenglamasidan tg a = 7 ga egamiz.

Bu ikkinchi tangensning qiyaligi ga teng ekanligini bildiradi.

Keyingi yechim asosiy vazifa 3 ga tushadi.

B(c; f(c)) ikkinchi chiziqning teginish nuqtasi bo'lsin

1. – ikkinchi teginish nuqtasining absissasi.
2.
3.
4.
– ikkinchi tangens tenglamasi.

Eslatma. Talabalar k 1 k 2 = – 1 perpendikulyar chiziqlar koeffitsientlari nisbatini bilsalar, tangensning burchak koeffitsientini osonroq topish mumkin.

2. Funksiyalarning grafiklariga barcha umumiy tangenslar tenglamalarini yozing

1. y = x 2 + x + 1 funksiya grafigida yotgan teginish nuqtasining abssissasi a bo lsin.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Funktsiya grafigida yotgan teginish nuqtasining abssissasi c bo'lsin
2.
3. f "(c) = c.
4.

Tangenslar umumiy bo'lgani uchun

Demak, y = x + 1 va y = – 3x – 3 umumiy tangenslardir.

3. Nima uchun b va c y = x va y = – 2x chiziqlar y = x 2 + bx + c funksiya grafigiga teginish?

Keling, tenglamalar tizimini tuzamiz va yechamiz

Javob:

Ushbu maqolada biz topish uchun barcha turdagi muammolarni tahlil qilamiz

Keling, eslaylik hosilaning geometrik ma'nosi: agar biror nuqtada funksiya grafigiga tangens chizilgan boʻlsa, u holda tangensning qiyalik koeffitsienti (tangens bilan oʻqning musbat yoʻnalishi orasidagi burchak tangensiga teng) funksiya hosilasiga teng boʻladi. nuqtada.

Keling, koordinatali tangensning ixtiyoriy nuqtasini olaylik:

Va to'g'ri uchburchakni ko'rib chiqing:

Bu uchburchakda

Bu yerdan

Bu nuqtadagi funksiya grafigiga chizilgan tangens tenglamasi.

Tangens tenglamani yozish uchun biz faqat funksiya tenglamasini va tangens chizilgan nuqtani bilishimiz kerak. Keyin va ni topishimiz mumkin.

Tangens tenglama masalalarining uchta asosiy turi mavjud.

1. Aloqa nuqtasi berilgan

2. Tangens qiyalik koeffitsienti, ya'ni nuqtadagi funksiya hosilasining qiymati berilgan.

3. Tangens o'tkaziladigan, lekin teginish nuqtasi bo'lmagan nuqtaning koordinatalari berilgan.

Keling, har bir vazifa turini ko'rib chiqaylik.

1 . Funksiya grafigiga teginish tenglamasini yozing nuqtada .

b) nuqtadagi hosilaning qiymatini toping. Avval funksiyaning hosilasini topamiz

Topilgan qiymatlarni tangens tenglamaga almashtiramiz:

Keling, tenglamaning o'ng tomonidagi qavslarni ochamiz. Biz olamiz:

Javob: .

2. Funktsiyalar grafigiga teginish nuqtalarining abssissalarini toping x o'qiga parallel.

Agar tangens x o'qiga parallel bo'lsa, demak, tangens va o'qning musbat yo'nalishi orasidagi burchak nolga teng, shuning uchun tangens burchakning tangensi nolga teng. Bu funktsiyaning hosilasi qiymatini bildiradi aloqa nuqtalarida nolga teng.

a) funksiyaning hosilasini toping .

b) hosilani nolga tenglashtiramiz va tangens o'qga parallel bo'lgan qiymatlarni topamiz:

Har bir omilni nolga tenglashtirib, biz quyidagilarni olamiz:

Javob: 0;3;5

3. Funksiya grafigiga teglar tenglamalarini yozing , parallel Streyt .

Tangens chiziqqa parallel. Bu chiziqning qiyaligi -1 ga teng. Tangens bu chiziqqa parallel bo'lgani uchun, tangensning qiyaligi ham -1 ga teng. Ya'ni biz tangensning qiyaligini bilamiz, va shu bilan, teginish nuqtasida hosila qiymati.

Bu tangens tenglamani topish uchun ikkinchi turdagi masala.

Shunday qilib, bizga tegish nuqtasida hosilaning funktsiyasi va qiymati berilgan.

a) Funktsiyaning hosilasi -1 ga teng bo'lgan nuqtalarni toping.

Birinchidan, hosila tenglamasini topamiz.

hosilasini -1 soniga tenglashtiramiz.

Funktsiyaning nuqtadagi qiymati topilsin.

(shart bo'yicha)

b) nuqtadagi funksiya grafigiga teginish tenglamasini toping.

Funktsiyaning nuqtadagi qiymati topilsin.

(shart bo'yicha).

Keling, bu qiymatlarni tangens tenglamaga almashtiramiz:

Javob:

4 . Egri chiziqqa teginish tenglamasini yozing , nuqtadan o'tish

Birinchidan, nuqta teginish nuqtasi yoki yo'qligini tekshiramiz. Agar nuqta tangens nuqta bo'lsa, u funksiya grafigiga tegishli bo'lib, uning koordinatalari funksiya tenglamasini qanoatlantirishi kerak. Nuqta koordinatalarini funksiya tenglamasiga almashtiramiz.

Sarlavha="1sqrt(8-3^2))">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и !} aloqa nuqtasi emas.

Bu tangens tenglamani topish uchun oxirgi turdagi masala. Birinchi narsa teginish nuqtasining abtsissasini topishimiz kerak.

Keling, qiymatni topamiz.

Aloqa nuqtasi bo'lsin. Nuqta funksiya grafigining tangensiga tegishli. Agar biz ushbu nuqtaning koordinatalarini tangens tenglamaga almashtirsak, biz to'g'ri tenglikni olamiz:

Funktsiyaning bir nuqtadagi qiymati .

Funktsiyaning nuqtadagi hosilasining qiymati topilsin.

Birinchidan, funksiyaning hosilasini topamiz. Bu .

Nuqtadagi hosila teng .

Tangens tenglamaga va ifodalarini almashtiramiz. Biz tenglamani olamiz:

Keling, bu tenglamani yechamiz.

Kasrning soni va maxrajini 2 ga kamaytiring:

Keling, tenglamaning o'ng tomonini umumiy maxrajga keltiramiz. Biz olamiz:

Keling, kasrning numeratorini soddalashtiramiz va ikkala tomonni ko'paytiramiz - bu ifoda noldan qat'iy katta.

Biz tenglamani olamiz

Keling, buni hal qilaylik. Buning uchun ikkala qismni kvadratga aylantiramiz va tizimga o'tamiz.

Title="delim(lbrace)(matritsa(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 ))))( )">!}

Birinchi tenglamani yechamiz.

Kvadrat tenglamani yechamiz, olamiz

Ikkinchi ildiz title="8-3x_0>=0) shartiga javob bermaydi">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Nuqtadagi egri chiziqqa teginish tenglamasini yozamiz. Buning uchun qiymatni tenglamaga almashtiring - Biz allaqachon yozib olganmiz.

Javob:
.