Birinchi tartibli differentsial tenglama chiziqli if deyiladi. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarni yechishga misollar

Ko'pincha faqat eslatma differensial tenglamalar talabalarni noqulay his qiladi. Nima uchun bu sodir bo'lmoqda? Ko'pincha, chunki materialning asoslarini o'rganishda bilimda bo'shliq paydo bo'ladi, buning natijasida difursni keyingi o'rganish shunchaki qiynoqlarga aylanadi. Nima qilish kerakligi, qanday qaror qabul qilish kerakligi, qaerdan boshlash kerakligi aniq emas?

Biroq, biz sizga difurlar ko'rinadigan darajada qiyin emasligini ko'rsatishga harakat qilamiz.

Differensial tenglamalar nazariyasining asosiy tushunchalari

Maktabdan biz noma'lum x ni topishimiz kerak bo'lgan eng oddiy tenglamalarni bilamiz. Asosan differensial tenglamalar faqat ulardan bir oz farq qiladi - o'zgaruvchi o'rniga X siz ulardagi funktsiyani topishingiz kerak y(x) , bu tenglamani o'ziga xoslikka aylantiradi.

D differensial tenglamalar katta amaliy ahamiyatga ega. Bu atrofimizdagi dunyoga hech qanday aloqasi bo'lmagan mavhum matematika emas. Ko'pgina haqiqiy tabiiy jarayonlar differentsial tenglamalar yordamida tasvirlangan. Masalan, simning tebranishlari, garmonik osilatorning harakati, mexanika masalalarida differensial tenglamalardan foydalanib, jismning tezligi va tezlanishini toping. Shuningdek DU biologiya, kimyo, iqtisod va boshqa ko‘plab fanlarda keng qo‘llaniladi.

Differensial tenglama (DU) y(x) funksiyaning hosilalari, funksiyaning o‘zi, mustaqil o‘zgaruvchilar va turli kombinatsiyalardagi boshqa parametrlarni o‘z ichiga olgan tenglamadir.

Differensial tenglamalarning ko‘p turlari mavjud: oddiy differensial tenglamalar, chiziqli va chiziqli bo‘lmagan, bir jinsli va bir jinsli bo‘lmagan, birinchi va yuqori tartibli differensial tenglamalar, qisman differensial tenglamalar va boshqalar.

Differensial tenglamaning yechimi uni o'ziga xoslikka aylantiruvchi funksiyadir. Masofadan boshqarish pultining umumiy va maxsus echimlari mavjud.

Differensial tenglamaning umumiy yechimi - bu tenglamani o'ziga xoslikka aylantiruvchi umumiy yechimlar to'plami. Differensial tenglamaning qisman yechimi qanoatlantiradigan yechimdir qo'shimcha shartlar, dastlab belgilangan.

Differensial tenglamaning tartibi aniqlanadi eng yuqori tartib unga kiritilgan hosilalar.

Oddiy differensial tenglamalar

Oddiy differensial tenglamalar bitta mustaqil o'zgaruvchini o'z ichiga olgan tenglamalar.

Birinchi tartibli eng oddiy oddiy differensial tenglamani ko'rib chiqamiz. Bu shunday ko'rinadi:

Bu tenglamani oddiygina o'ng tomonini integrallash orqali yechish mumkin.

Bunday tenglamalarga misollar:

Ajraladigan tenglamalar

IN umumiy ko'rinish bu turdagi tenglama quyidagicha ko'rinadi:

Mana bir misol:

Bunday tenglamani yechishda siz o'zgaruvchilarni ajratib, uni quyidagi shaklga keltirishingiz kerak:

Shundan so'ng, ikkala qismni birlashtirish va yechimni olish qoladi.

Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar

Bunday tenglamalar quyidagicha ko'rinadi:

Bu yerda p(x) va q(x) mustaqil o‘zgaruvchining ba’zi funksiyalari, y=y(x) esa kerakli funksiyadir. Mana shunday tenglamaga misol:

Bunday tenglamani yechishda ko'pincha ular ixtiyoriy doimiyni o'zgartirish usulidan foydalanadilar yoki kerakli funktsiyani boshqa ikkita y(x)=u(x)v(x) funktsiyaning mahsuloti sifatida ifodalaydilar.

Bunday tenglamalarni echish uchun ma'lum tayyorgarlik talab etiladi va ularni "bir qarashda" olish juda qiyin bo'ladi.

Ajraladigan o'zgaruvchilar bilan differentsial tenglamani yechish misoli

Shunday qilib, biz masofadan boshqarishning eng oddiy turlarini ko'rib chiqdik. Endi ulardan birining yechimini ko'rib chiqamiz. Bu ajratiladigan o'zgaruvchilarga ega tenglama bo'lsin.

Birinchidan, keling, hosilani ko'proq tanish shaklda qayta yozamiz:

Keyin biz o'zgaruvchilarni ajratamiz, ya'ni tenglamaning bir qismida biz barcha "men" ni, ikkinchisida esa "X" ni yig'amiz:

Endi ikkala qismni birlashtirish qoladi:

Biz birlashamiz va olamiz umumiy yechim bu tenglamadan:

Albatta, differensial tenglamalarni yechish o‘ziga xos san’atdir. Siz bu qanday turdagi tenglama ekanligini tushunishingiz kerak, shuningdek, u yoki bu shaklga olib kelish uchun u bilan qanday o'zgarishlarni amalga oshirish kerakligini ko'rishni o'rganishingiz kerak, shunchaki farqlash va integrasiya qilish qobiliyati haqida gapirmang. Va DE ni hal qilishda muvaffaqiyatga erishish uchun sizga amaliyot kerak (hamma narsada bo'lgani kabi). Va agar sizda bo'lsa hozirgi paytda differensial tenglamalar qanday yechilishini aniqlashga vaqtingiz yo‘q, yoki Koshi muammosi tomog‘ingizga suyakdek yopishib qolgan, yoki bilmaysiz, mualliflarimizga murojaat qiling. Qisqa vaqt ichida biz sizga tayyor va batafsil yechimni taqdim etamiz, uning tafsilotlarini siz uchun qulay bo'lgan istalgan vaqtda tushunishingiz mumkin. Shu bilan birga, biz "Differensial tenglamalarni qanday echish kerak" mavzusidagi videoni tomosha qilishni taklif qilamiz:

Menimcha, biz differensial tenglamalar kabi ulug'vor matematik vositaning tarixidan boshlashimiz kerak. Barcha differentsial va integral hisoblar singari, bu tenglamalar 17-asr oxirida Nyuton tomonidan ixtiro qilingan. U o'zining ushbu maxsus kashfiyotini shu qadar muhim deb hisobladiki, u hatto xabarni shifrladi, uni bugungi kunda shunday tarjima qilish mumkin: "Tabiatning barcha qonunlari differensial tenglamalar bilan tasvirlangan". Bu mubolag'a bo'lib tuyulishi mumkin, ammo bu haqiqat. Har qanday fizika, kimyo, biologiya qonunlarini bu tenglamalar orqali tasvirlash mumkin.

Matematiklar Eyler va Lagranj differentsial tenglamalar nazariyasini ishlab chiqish va yaratishga ulkan hissa qo'shdilar. 18-asrda ular hozirda oliy o'quv yurtlarida o'qiyotganlarini kashf etdilar va rivojlantirdilar.

Anri Puankare tufayli differentsial tenglamalarni o'rganishda yangi bosqich boshlandi. U "differensial tenglamalarning sifat nazariyasini" yaratdi, u kompleks o'zgaruvchining funktsiyalari nazariyasi bilan birgalikda topologiya - fazo va uning xususiyatlari haqidagi fanga katta hissa qo'shdi.

Differensial tenglamalar nima?

Ko'p odamlar bir iboradan qo'rqishadi, ammo bu maqolada biz ushbu juda foydali matematik apparatning mohiyatini batafsil bayon qilamiz, bu aslida nomidan ko'rinadigan darajada murakkab emas. Birinchi tartibli differensial tenglamalar haqida gapirishni boshlash uchun, avvalo, ushbu ta'rif bilan bog'liq bo'lgan asosiy tushunchalar bilan tanishishingiz kerak. Va biz differentsialdan boshlaymiz.

Differensial

Ko'pchilik bu tushunchani maktabdan beri bilishadi. Biroq, keling, buni batafsil ko'rib chiqaylik. Funksiya grafigini tasavvur qiling. Biz uni shu darajada oshirishimiz mumkinki, uning har qanday segmenti to'g'ri chiziq shaklini oladi. Keling, bir-biriga cheksiz yaqin bo'lgan ikkita nuqtani olaylik. Ularning koordinatalari (x yoki y) orasidagi farq cheksiz kichik bo'ladi. U differensial deb ataladi va dy (y ning differentsial) va dx (x ning differentsial) belgilari bilan belgilanadi. Differensial chekli miqdor emasligini tushunish juda muhim va bu uning ma'nosi va asosiy vazifasidir.

Endi biz keyingi elementni ko'rib chiqishimiz kerak, bu biz uchun differentsial tenglama tushunchasini tushuntirishda foydali bo'ladi. Bu hosiladir.

Hosil

Biz hammamiz bu tushunchani maktabda eshitganmiz. Hosila deb funksiyaning ortishi yoki kamayish tezligi deyiladi. Biroq, bu ta'rifdan ko'p narsa noaniq bo'lib qoladi. Keling, hosilani differentsiallar orqali tushuntirishga harakat qilaylik. Bir-biridan minimal masofada joylashgan ikkita nuqtali funksiyaning cheksiz kichik segmentiga qaytaylik. Ammo bu masofada ham funktsiya ma'lum miqdorda o'zgarishi mumkin. Va bu o'zgarishni tasvirlash uchun ular hosila bilan kelishdi, aks holda uni differentsiallar nisbati sifatida yozish mumkin: f(x)"=df/dx.

Endi lotinning asosiy xususiyatlarini ko'rib chiqishga arziydi. Ulardan faqat uchtasi bor:

1. Yig'indi yoki farqning hosilasi hosilalarning yig'indisi yoki farqi sifatida ifodalanishi mumkin: (a+b)"=a"+b" va (a-b)"=a"-b".
2. Ikkinchi xususiyat ko'paytirish bilan bog'liq. Ko‘paytmaning hosilasi bir funktsiyaning hosilasi bilan boshqa funksiyaning hosilasi yig‘indisidir: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. Farqning hosilasini quyidagi tenglik shaklida yozish mumkin: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Bu xususiyatlarning barchasi biz uchun birinchi tartibli differensial tenglamalar yechimini topishda foydali bo'ladi.

Qisman hosilalari ham bor. Aytaylik, bizda x va y o‘zgaruvchilarga bog‘liq bo‘lgan z funksiyasi bor. Bu funktsiyaning qisman hosilasini hisoblash uchun, aytaylik, x ga nisbatan, biz y o'zgaruvchini doimiy sifatida qabul qilishimiz va oddiygina farqlashimiz kerak.

Integral

Yana bir muhim tushuncha - bu integral. Aslida, bu lotinning to'liq teskarisidir. Bir necha turdagi integrallar mavjud, ammo eng oddiy differentsial tenglamalarni echish uchun bizga eng ahamiyatsizlari kerak.

Deylik, f ning x ga qandaydir bog'liqligi bor. Undan integralni olamiz va hosilasi asl funktsiyaga teng bo'lgan F(x) funksiyani olamiz (ko'pincha antiderivativ deb ataladi). Shunday qilib, F(x)"=f(x). Bundan ham hosilaning integrali asl funktsiyaga teng ekanligi kelib chiqadi.

Differensial tenglamalarni echishda integralning ma'nosi va funktsiyasini tushunish juda muhim, chunki yechimni topish uchun ularni tez-tez qabul qilish kerak bo'ladi.

Tenglamalar tabiatiga qarab farqlanadi. Keyingi bo‘limda biz birinchi tartibli differensial tenglamalarning turlarini ko‘rib chiqamiz, so‘ngra ularni yechish usullarini o‘rganamiz.

Differensial tenglamalar sinflari

"Differlar" ularda ishtirok etgan hosilalarning tartibiga ko'ra bo'linadi. Shunday qilib, birinchi, ikkinchi, uchinchi va undan ko'p tartib mavjud. Ularni bir necha sinflarga ham ajratish mumkin: oddiy va qisman hosilalar.

Ushbu maqolada biz birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalarni ko'rib chiqamiz. Shuningdek, biz quyidagi bo'limlarda misollar va ularni hal qilish usullarini muhokama qilamiz. Biz faqat ODElarni ko'rib chiqamiz, chunki bu tenglamalarning eng keng tarqalgan turlari. Oddiy bo'lganlar kichik turlarga bo'linadi: ajratiladigan o'zgaruvchilar bilan, bir hil va heterojen. Keyinchalik, ular bir-biridan qanday farq qilishini bilib olasiz va ularni qanday hal qilishni o'rganasiz.

Bundan tashqari, bu tenglamalarni shunday birlashtirish mumkinki, biz birinchi tartibli differensial tenglamalar tizimiga ega bo'lamiz. Shuningdek, biz bunday tizimlarni ko'rib chiqamiz va ularni qanday hal qilishni o'rganamiz.

Nima uchun biz faqat birinchi tartibni ko'rib chiqamiz? Chunki siz oddiy narsadan boshlashingiz kerak va differentsial tenglamalar bilan bog'liq hamma narsani bitta maqolada tasvirlab berishning iloji yo'q.

Ajraladigan tenglamalar

Bular, ehtimol, eng oddiy birinchi tartibli differensial tenglamalardir. Bularga quyidagicha yozish mumkin bo'lgan misollar kiradi: y"=f(x)*f(y). Bu tenglamani yechish uchun hosilani differentsiallar nisbati sifatida ifodalash formulasi kerak: y"=dy/dx. Undan foydalanib, quyidagi tenglamani olamiz: dy/dx=f(x)*f(y). Endi biz standart misollarni yechish usuliga murojaat qilishimiz mumkin: biz o'zgaruvchilarni qismlarga ajratamiz, ya'ni y o'zgaruvchisi bo'lgan hamma narsani dy joylashgan qismga o'tkazamiz va x o'zgaruvchisi bilan ham xuddi shunday qilamiz. dy/f(y)=f(x)dx ko’rinishdagi tenglamani olamiz, u har ikki tomonning integrallarini olish yo’li bilan yechiladi. Integralni olgandan keyin o'rnatilishi kerak bo'lgan doimiy haqida unutmang.

Har qanday "diffure" ning yechimi x ning y ga bog'liqligi funktsiyasidir (bizning holatlarimizda) yoki agar raqamli shart mavjud bo'lsa, u holda raqam ko'rinishidagi javob. Keling, ko'rib chiqaylik aniq misol butun yechim:

O'zgaruvchilarni turli yo'nalishlarda harakatlantiramiz:

Endi integrallarni olaylik. Ularning barchasini integrallarning maxsus jadvalida topish mumkin. Va biz olamiz:

ln(y) = -2*cos(x) + C

Agar kerak bo'lsa, biz "y" ni "x" funktsiyasi sifatida ifodalashimiz mumkin. Endi shart ko'rsatilmagan bo'lsa, differentsial tenglamamiz yechilgan deb aytishimiz mumkin. Shartni belgilash mumkin, masalan, y(n/2)=e. Keyin biz ushbu o'zgaruvchilarning qiymatlarini yechimga almashtiramiz va doimiy qiymatni topamiz. Bizning misolimizda bu 1.

Birinchi tartibli bir jinsli differensial tenglamalar

Endi qiyinroq qismga o'tamiz. Birinchi tartibli bir jinsli differensial tenglamalarni umumiy shaklda quyidagicha yozish mumkin: y"=z(x,y). Shuni ta'kidlash kerakki, ikkita o'zgaruvchining o'ng qo'l funktsiyasi bir jinsli bo'lib, uni ikkita bog'liqlikka bo'lish mumkin emas. : z on x va z on y , tenglamaning bir jinsli yoki yo'qligini tekshirib ko'ring: biz x = k * x va y = k * y ni almashtiramiz , keyin tenglama bir hil bo'ladi va biz uni xavfsiz tarzda yechishimiz mumkin , aytaylik: bu misollarni hal qilish printsipi ham juda oddiy.

Biz almashtirishni amalga oshirishimiz kerak: y=t(x)*x, bu erda t - x ga ham bog'liq bo'lgan ma'lum funktsiya. Keyin hosilani ifodalashimiz mumkin: y"=t"(x)*x+t. Bularning barchasini asl tenglamamizga qo'yib, uni soddalashtirib, biz ajratiladigan o'zgaruvchilar t va x bilan misol olamiz. Biz uni hal qilamiz va t(x) bog'liqligini olamiz. Biz uni olganimizda, biz shunchaki y = t (x) * x ni oldingi almashtirishimizga almashtiramiz. Keyin y ning x ga bog'liqligini olamiz.

Buni aniqroq qilish uchun misolni ko'rib chiqamiz: x*y"=y-x*e y/x .

O'zgartirish bilan tekshirishda hamma narsa kamayadi. Bu tenglama haqiqatan ham bir hil ekanligini anglatadi. Endi biz gaplashgan boshqa almashtirishni amalga oshiramiz: y=t(x)*x va y"=t"(x)*x+t(x). Soddalashtirgandan so'ng quyidagi tenglamani olamiz: t"(x)*x=-e t. Olingan misolni ajratilgan o'zgaruvchilar bilan yechamiz va olamiz: e -t =ln(C*x). Biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - almashtirish. t y/x bilan (axir, agar y =t*x bo'lsa, u holda t=y/x) va biz javobni olamiz: e -y/x =ln(x*C).

Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar

Yana bir keng mavzuni ko'rib chiqish vaqti keldi. Birinchi tartibli bir jinsli differensial tenglamalarni tahlil qilamiz. Ular oldingi ikkitasidan qanday farq qiladi? Keling, buni aniqlaylik. Umumiy shakldagi birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarni quyidagicha yozish mumkin: y" + g(x)*y=z(x). z(x) va g(x) doimiy kattaliklar bo'lishi mumkinligini aniqlab olish maqsadga muvofiqdir.

Va endi misol: y" - y*x=x 2 .

Ikkita yechim bor va biz ikkalasini ham tartibda ko'rib chiqamiz. Birinchisi, ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli.

Tenglamani shu tarzda echish uchun siz avval o'ng tomonni nolga tenglashtirishingiz va hosil bo'lgan tenglamani echishingiz kerak, bu qismlarni o'tkazgandan so'ng quyidagi shaklni oladi:

ln|y|=x 2 /2 + C;

y=e x2/2 *y C =C 1 *e x2/2 .

Endi C 1 doimiysini v(x) funksiya bilan almashtirishimiz kerak, uni topishimiz kerak.

Keling, hosilani almashtiramiz:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

Va bu ifodalarni asl tenglamaga almashtiring:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2.

Chap tomonda ikkita shart bekor qilinganini ko'rishingiz mumkin. Agar biron bir misolda bu sodir bo'lmagan bo'lsa, unda siz noto'g'ri ish qildingiz. Davom etaylik:

v"*e x2/2 = x 2.

Endi biz o'zgaruvchilarni ajratishimiz kerak bo'lgan odatiy tenglamani echamiz:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

Integralni olish uchun biz bu erda qismlar bo'yicha integratsiyani qo'llashimiz kerak. Biroq, bu bizning maqolamizning mavzusi emas. Agar siz qiziqsangiz, bunday harakatlarni o'zingiz qanday qilishni o'rganishingiz mumkin. Bu qiyin emas va etarli mahorat va ehtiyotkorlik bilan ko'p vaqt talab qilmaydi.

Keling, bir jinsli bo'lmagan tenglamalarni yechishning ikkinchi usuliga murojaat qilaylik: Bernulli usuli. Qaysi yondashuv tezroq va osonroq bo'lsa, o'zingiz qaror qilasiz.

Demak, bu usul yordamida tenglamani yechishda almashtirishni amalga oshirishimiz kerak: y=k*n. Bu erda k va n ba'zi x ga bog'liq funktsiyalardir. Keyin hosila quyidagicha ko'rinadi: y"=k"*n+k*n". Tenglamaga ikkala almashtirishni almashtiramiz:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Guruhlash:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Endi biz qavs ichidagi narsani nolga tenglashtirishimiz kerak. Endi, agar ikkita natijaviy tenglamani birlashtirsak, biz echilishi kerak bo'lgan birinchi tartibli differentsial tenglamalar tizimini olamiz:

Birinchi tenglikni oddiy tenglama sifatida yechamiz. Buning uchun siz o'zgaruvchilarni ajratishingiz kerak:

Biz integralni olamiz va olamiz: ln(n)=x 2 /2. Agar n ni ifodalasak:

Endi biz hosil bo'lgan tenglikni tizimning ikkinchi tenglamasiga almashtiramiz:

k"*e x2/2 =x 2 .

Va o'zgartirganda, biz birinchi usuldagi kabi tenglikni olamiz:

dk=x 2 /e x2/2 .

Bundan tashqari, biz keyingi harakatlarni muhokama qilmaymiz. Aytish joizki, birinchi tartibli differensial tenglamalarni yechishda dastlab katta qiyinchiliklar yuzaga keladi. Biroq, mavzuni chuqurroq o'rgansangiz, u yaxshiroq va yaxshiroq ishlay boshlaydi.

Differensial tenglamalar qayerda ishlatiladi?

Differensial tenglamalar fizikada juda faol qo'llaniladi, chunki deyarli barcha asosiy qonunlar differentsial shaklda yozilgan va biz ko'rib turgan formulalar bu tenglamalarning echimlari. Kimyoda ular xuddi shu sababga ko'ra qo'llaniladi: asosiy qonunlar ularning yordami bilan chiqariladi. Biologiyada differensial tenglamalar yirtqich va o'lja kabi tizimlarning xatti-harakatlarini modellashtirish uchun ishlatiladi. Ular, masalan, mikroorganizmlar koloniyasining ko'payish modellarini yaratish uchun ham ishlatilishi mumkin.

Differensial tenglamalar hayotda qanday yordam berishi mumkin?

Bu savolga javob oddiy: umuman emas. Agar siz olim yoki muhandis bo'lmasangiz, unda ular siz uchun foydali bo'lishi dargumon. Biroq uchun umumiy rivojlanish Differensial tenglama nima ekanligini va u qanday yechilishini bilish zarar qilmaydi. Va keyin o'g'il yoki qizning savoli "differensial tenglama nima?" sizni chalg'itmaydi. Xo'sh, agar siz olim yoki muhandis bo'lsangiz, unda har qanday fanda ushbu mavzuning ahamiyatini o'zingiz tushunasiz. Ammo eng muhimi shundaki, endi "birinchi tartibli differensial tenglamani qanday yechish kerak?" har doim javob berishingiz mumkin. Qabul qiling, odamlar hatto tushunishdan qo'rqadigan narsani tushunsangiz, har doim yoqimli.

O'qishdagi asosiy muammolar

Ushbu mavzuni tushunishdagi asosiy muammo - bu funktsiyalarni integratsiyalash va farqlashda zaif mahorat. Agar siz hosila va integrallarni qabul qilishda yomon bo'lsangiz, unda o'rganish va o'zlashtirishga arziydi. turli usullar integratsiya va farqlash, va shundan keyingina maqolada tasvirlangan materialni o'rganishni boshlaydi.

Ba'zi odamlar dx ni o'tkazish mumkinligini bilib hayron qolishadi, chunki ilgari (maktabda) dy/dx kasr bo'linmas ekani aytilgan edi. Bu erda lotin haqidagi adabiyotlarni o'qib chiqishingiz va bu tenglamalarni echishda manipulyatsiya qilinishi mumkin bo'lgan cheksiz kichik miqdorlarning nisbati ekanligini tushunishingiz kerak.

Ko'pchilik birinchi tartibli differensial tenglamalarni yechish ko'pincha qabul qilib bo'lmaydigan funksiya yoki integral ekanligini darhol anglamaydi va bu noto'g'ri tushuncha ularga juda ko'p muammolarni keltirib chiqaradi.

Yaxshiroq tushunish uchun yana nimani o'rganishingiz mumkin?

Differensial hisoblash dunyosiga ixtisoslashtirilgan darsliklar, masalan, matematik bo'lmagan mutaxassisliklar talabalari uchun matematik tahlil bo'yicha yanada chuqurroq kirishni boshlash yaxshidir. Keyin ko'proq maxsus adabiyotga o'tishingiz mumkin.

Aytish joizki, differentsial tenglamalarga qo'shimcha ravishda, integral tenglamalar ham mavjud, shuning uchun sizda doimo intiladigan narsa va o'rganish kerak bo'lgan narsa bo'ladi.

Xulosa

Umid qilamizki, ushbu maqolani o'qib chiqqandan so'ng, siz differensial tenglamalar nima ekanligini va ularni qanday qilib to'g'ri echish haqida tasavvurga ega bo'lasiz.

Har holda, matematika hayotda bizga qandaydir tarzda foydali bo'ladi. Bu mantiq va e'tiborni rivojlantiradi, ularsiz har bir inson qo'lsiz.

Bu mavzuda biz y " = P (x) · y = Q (x) ko'rinishdagi chiziqli bir jinsli bo'lmagan differensial tenglamalarni yechish usullari haqida gapiramiz. Keling, ixtiyoriy doimiyni o'zgartirish usulidan boshlaymiz va qanday foydalanishni ko'rsatamiz. Koshi masalasini yechish uchun bu usul ixtiyoriy y ni ikkita u (x) va v (x) funksiyalarning ko'paytmasi sifatida ko'rsatishni nazarda tutuvchi usulni ko'rib chiqamiz. katta raqam yechimini batafsil tahlil qilgan holda mavzu bo'yicha muammolar.

Mavzuni tahlil qilishda foydalanilgan atamalar va tushunchalar sizga notanish bo'lib qolsa, "Differensial tenglamalar nazariyasining asosiy atamalari va ta'riflari" bo'limiga qarashni tavsiya qilamiz.

Birinchi darajali LPDElarni echish uchun ixtiyoriy doimiyni o'zgartirish usuli

Qisqartirish uchun chiziqli bir hil bo'lmagan differentsial tenglamani LNDE qisqartmasi va chiziqli bir jinsli differentsial tenglamani (LODE) belgilaymiz.

y " = P (x) y = Q (x) ko'rinishdagi LNDE y " = P (x) y = 0 ko'rinishidagi LDE ga mos keladi, bilan Q(x)=0. Agar y " = P (x) y = 0 differentsial tenglamasiga qarasangiz, biz ajratiladigan o'zgaruvchilarga ega tenglama bilan ishlayotganimiz aniq bo'ladi. Biz uni integrallashimiz mumkin: y " = P (x) y = 0 ⇔ d y y = - P (x) d x , y ≠ 0 ∫ d y y = - ∫ P (x) d x ⇔ ln y + C 1 = - ∫ P (x) d x ⇔ ln y = ln C - ∫ P (x) d x , ln C = - C 1 , C ≠ 0 ⇔ e ln y = e ln C - ∫ P (x) d x ⇔ y = C e - ∫ P (x) d x

y = 0 o'zgaruvchining qiymati ham yechim ekanligini da'vo qilishimiz mumkin, chunki o'zgaruvchining bu qiymati bilan y " = P (x) y = 0 tenglama bir xillikka aylanadi. Bu holat y = C e yechimga mos keladi. - ∫ P (x ) d x qiymatda C=0.

Ma’lum bo‘lishicha, y = C e - ∫ P (x) d x LODDE ning umumiy yechimidir, bunda BILAN- ixtiyoriy doimiy.

y = C · e - ∫ P (x) d x - LOD ning yechimi y " = P (x) · y = 0 .

Bir jinsli bo'lmagan y " = P (x) y = Q (x) tenglamaning umumiy yechimini topish uchun C ni doimiy emas, balki x argumentining funktsiyasi deb hisoblaymiz. Aslida y = C ni olamiz. (x) e - ∫ P (x) d x LNDE ning umumiy yechimi bilan.

y = C (x) · e - ∫ P (x) d x ni y " = P (x) · y = Q (x) differensial tenglamaga almashtiramiz. U bir xillikka aylanadi:

y " = P (x) y = Q (x) C x e - ∫ P (x) d x + P (x) C (x) e - ∫ P (x) d x = Q (x)

Endi mahsulotni farqlash qoidasiga murojaat qilaylik. Biz olamiz:

C " (x) e - ∫ P (x) d x + C (x) e - ∫ P (x) d x + P (x) C (x) e - ∫ P (x) d x = Q ( x)

Kompleks funksiya e - ∫ P (x) d x " hosilasi e - ∫ P (x) d x · - ∫ P (x) d x " ga teng.

Endi noaniq integralning xossalarini eslaylik. Biz olamiz:

e - ∫ P (x) d x · - ∫ P (x) d x " = - e - ∫ P (x) d x · P (x)

Endi o'tishni amalga oshiramiz:

C " (x) e - ∫ P (x) d x + C (x) e - ∫ P (x) d x " + P (x) C (x) e - ∫ P (x) d x = Q (x) C " (x) e - ∫ P (x) d x - P (x) C (x) e - ∫ P (x) d x + P (x) C (x) e - ∫ P (x) d x = Q (x) ) C " (x) e - ∫ P (x) d x = Q (x)

Shunday qilib, biz birinchi tartibli eng oddiy differentsial tenglamaga keldik. Bu tenglamani yechishda funksiyani aniqlaymiz C(x). Bu bizga birinchi darajali asl LDDE yechimini quyidagicha yozishga imkon beradi:

y = C (x) e - ∫ P (x) d x

Keling, xulosa qilaylik

LPDE ni echishda ixtiyoriy doimiyni o'zgartirish usuli uch bosqichni o'z ichiga oladi:

• y = C · e - ∫ P (x) d x ko'rinishida mos keladigan LOD y " + P (x) · y = 0 ga umumiy yechim topish;
• ixtiyoriy doimiy C ning o'zgarishi, uni funktsiya bilan almashtirishdan iborat C(x);
• y = C (x) e - ∫ P (x) d x funksiyani dastlabki differensial tenglamaga qo'yish, bu erdan hisoblashimiz mumkin C(x) va javobni yozing.

Endi muammoni hal qilish uchun ushbu algoritmni qo'llaymiz.

1-misol

Koshi muammosining yechimini toping y " - 2 x y 1 + x 2 = 1 + x 2 , y (1) = 3 .

Yechim

Biz LNDDE y " - 2 x y 1 + x 2 = 1 + x 2 y (1) = 3 boshlang'ich sharti bilan ma'lum bir yechim topishimiz kerak.

Bizning misolimizda P(x) = - 2 x 1 + x 2 va Q(x)=x2+1. Keling, LODning umumiy yechimini topishdan boshlaylik. Shundan so'ng biz ixtiyoriy doimiyni o'zgartirish usulini qo'llaymiz va LPDE ning umumiy yechimini aniqlaymiz. Bu bizga kerakli aniq echimni topishga imkon beradi.

Tegishli LOD y " - 2 x y 1 + x 2 = 0 ning umumiy yechimi y = C · (x 2 + 1) funktsiyalar oilasi bo'ladi, bu erda C ixtiyoriy doimiydir.

Biz ixtiyoriy doimiy y = C (x) · (x 2 + 1) ni o'zgartiramiz va bu funktsiyani dastlabki tenglamaga almashtiramiz:
y " - 2 x y 1 + x 2 = 1 + x 2 C x · (x 2 + 1 " - 2 x · C (x) · (x 2 + 1) 1 + x 2 = 1 + x 2 C " ( x) · (x 2 + 1) + C (x) · 2 x - 2 x · C (x) = 1 + x 2 C "(x) = 1,

qaerdan C (x) = ∫ d x = x + C 1, bu erda C 1- ixtiyoriy doimiy.

Demak, y = C (x) · (x 2 + 1) = (x + C 1) · (x 2 + 1) bir jinsli bo'lmagan tenglamaning umumiy yechimidir.

Endi y (1) = 3 boshlang'ich shartini qanoatlantiradigan ma'lum bir yechim topishni boshlaylik.

y = (x + C 1) · (x 2 + 1) bo'lgani uchun y (1) = (1 + C 1) · (1 2 + 1) = 2 · (1 + C 1) . Dastlabki shartga o'tsak, biz 2 · (1 + C 1) = 3 tenglamani olamiz, undan C 1 = 1 2. Shuning uchun Koshi muammosining kerakli yechimi y = x + 1 2 (x 2 + 1) ko'rinishga ega.

Endi chiziqli bir hil bo'lmagan differentsial tenglamalarni yechishning boshqa usulini ko'rib chiqing y " + P (x) · y = Q (x) .

Birinchi darajali LPDElarni hal qilishning yana bir usuli

Noma’lum funksiyani y = u ⋅ v mahsuloti sifatida ifodalashimiz mumkin, bu yerda u va v- argument funktsiyalari x.

Biz ushbu funktsiyani birinchi darajali LNDE ga almashtirishimiz mumkin. Bizda ... bor:

y " + P (x) y = Q (x) (u v) " + P (x) u v = Q (x) u " v + u v " + P (x) u v = Q (x) u " v + u (v "+ P (x) v) = Q (x)

Agar v " + P (x) v = 0 differensial tenglamasining nolga teng bo'lmagan qisman yechimi bo'ladigan v ni topsak, u holda u ajratiladigan tenglamadan aniqlanishi mumkin u " · v = Q (x) .

Keling, oldingi misoldan foydalanib, ushbu yechim algoritmini ko'rib chiqaylik. Bu bizga mayda detallarga chalg'imasdan asosiy narsaga e'tibor qaratishga imkon beradi.

2-misol

y" - 2 x y 1 + x 2 = 1 + x 2 chiziqli bir jinsli bo'lmagan differentsial tenglamaning umumiy yechimini toping.

Yechim

U holda y = u ⋅ v bo'lsin
y " - 2 x y x 2 + 1 = x 2 + 1 ⇔ (u v) - 2 x u v x 2 + 1 = x 2 + 1 u " v + u v " - 2 x u v x 2 + 1 = x 2 + 1 u " v + u v " - 2 x v x 2 + 1 = x 2 + 1

Biz buni topamiz v, noldan tashqari, shuning uchun qavs ichidagi ifoda nolga aylanadi. Boshqacha qilib aytganda, v " - 2 x · v x 2 + 1 = 0 differentsial tenglamaning ma'lum bir yechimini topamiz.
v " - 2 x · v x 2 + 1 = 0 ⇔ d v d x = 2 x · v x 2 + 1 ⇒ d v v = 2 x d x x 2 + 1 ⇔ d v v = d (x 2 + 1) x 2 + 1 ∫ d v v = ∫ d ( x 2 + 1) x 2 + 1 ln v + C 1 = ln (x 2 + 1) + C 2

C 2 – C 1 = 0 ga mos keladigan v = x 2 + 1 maxsus yechimni olaylik.

Ushbu maxsus yechim uchun bizda mavjud
u " v + u v " - 2 x v x 2 + 1 = x 2 + 1 ⇔ u " (x 2 + 1) + u 0 = x 2 + 1 ⇔ u " = 1 ⇔ u = x +C

Demak, dastlabki chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning umumiy yechimi y = u v = (x + C) (x 2 + 1) bo'ladi.

Ikkala holatda ham javoblar bir xil. Bu shuni anglatadiki, biz maqolada taqdim etgan ikkala yechim usuli ham ekvivalentdir. Muammoni hal qilish uchun qaysi birini ishlatishni tanlash sizga bog'liq.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

a 1 (x)y" + a 0 (x)y = b(x) ko'rinishdagi birinchi tartibli tenglama chiziqli differensial tenglama deyiladi. Agar b(x) ≡ 0 bo'lsa, tenglama bir jinsli deyiladi, aks holda - heterojen. Chiziqli differentsial tenglama uchun mavjudlik va yagonalik teoremasi aniqroq shaklga ega.

Xizmat maqsadi. Onlayn kalkulyator yechimni tekshirish uchun ishlatilishi mumkin bir jinsli va bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar y"+y=b(x) ko'rinishdagi.

Teorema. a 1 (x) , a 0 (x) , b(x) [a,b] oraliqda uzluksiz, ∀x∈[a,b] uchun a 1 ≠0 boʻlsin. U holda har qanday nuqta (x 0 , y 0), x 0 ∈[a,b] uchun, yagona yechim y(x 0) = y 0 shartini qanoatlantiruvchi va butun [a,b] oraliqda aniqlangan tenglama.
a 1 (x)y"+a 0 (x)y=0 bir jinsli chiziqli differentsial tenglamani ko'rib chiqaylik.
O'zgaruvchilarni ajratib, biz yoki ikkala tomonni birlashtirib olamiz, Exp(x) = e x yozuvini hisobga olgan holda oxirgi munosabat shaklda yoziladi

Keling, ko'rsatilgan ko'rinishdagi tenglamaning yechimini topishga harakat qilaylik, unda C doimiysi o'rniga C(x) funksiyasi almashtiriladi, ya'ni ko'rinishda.

Kerakli o'zgarishlardan so'ng biz ushbu yechimni asl nusxasiga almashtiramiz Ikkinchisini birlashtirib, biz bor

bu erda C 1 qandaydir yangi doimiydir. Olingan ifodani C(x) ga almashtirib, nihoyat, dastlabki chiziqli tenglamaning yechimini olamiz
.

Misol. y" + 2y = 4x tenglamasini yeching. Tegishlisini ko'rib chiqing bir jinsli tenglama y" + 2y = 0. Uni yechib, y = Ce -2 x ni olamiz. Endi y = C(x)e -2 x ko'rinishdagi dastlabki tenglamaning yechimini qidiramiz. y va y ni almashtirish" = C "(x)e -2 x - 2C(x)e -2 x asl tenglamaga, bizda C"(x) = 4xe 2 x bor, bundan C(x) = 2xe 2 x - e 2 x + C 1 va y(x) = (2xe 2 x - e 2 x + C 1)e -2 x = 2x - 1 + C 1 e -2 x asl tenglamaning umumiy yechimi. Bu yechimda y 1 (x) = 2x-1 jismning kuch ta'siridagi harakati b(x) = 4x, y 2 (x) = C 1 e -2 x jismning to'g'ri harakati. .

Misol № 2. y"+3 y tan(3x)=2 cos(3x)/sin 2 2x birinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.
Bu bir hil tenglama emas. O'zgaruvchilarni o'zgartiramiz: y=u v, y" = u"v + uv".
3u v tg(3x)+u v"+u" v = 2cos(3x)/sin 2 2x yoki u(3v tg(3x)+v") + u" v= 2cos(3x)/sin 2 2x
Yechim ikki bosqichdan iborat:
1. u(3v tan(3x)+v") = 0
2. u"v = 2cos(3x)/sin 2 2x
1. u=0 tenglang, 3v tan(3x)+v" = 0 uchun yechim toping.
Uni quyidagi ko'rinishda taqdim etamiz: v" = -3v tg(3x)

Integratsiyalash natijasida biz quyidagilarni olamiz:

ln(v) = ln(cos(3x))
v = cos(3x)
2. v bilib, u shartdan toping: u"v = 2cos(3x)/sin 2 2x
u" cos(3x) = 2cos(3x)/sin 2 2x
u" = 2/sin 2 2x
Integratsiyalash natijasida biz quyidagilarni olamiz:
y=u v shartidan quyidagini olamiz:
y = u v = (C-cos(2x)/sin(2x)) cos(3x) yoki y = C cos(3x)-cos(2x) karyola(3x)