Rasyonel fonksiyonların çözümü. Bazı fonksiyonların entegrasyonu

Rasyonel bir fonksiyon, payı ve paydası polinomlar veya polinomların çarpımı olan formun bir kesridir.

Örnek 1. Adım 2.

.

Belirsiz katsayıları, bu bireysel kesirde olmayan, ancak diğer sonuçta ortaya çıkan kesirlerde bulunan polinomlarla çarpıyoruz:

Parantezleri açıyoruz ve orijinal integrandın payını elde edilen ifadeye eşitliyoruz:

Eşitliğin her iki tarafında da x'in aynı kuvvetlerine sahip terimler arıyoruz ve onlardan bir denklem sistemi oluşturuyoruz:

.

Tüm x'leri iptal ederiz ve eşdeğer bir denklem sistemi elde ederiz:

.

Böylece, integralin basit kesirlerin toplamına son açılımı şöyle olur:

.

Örnek 2. Adım 2. 1. adımda, orijinal kesirin paylarında belirlenmemiş katsayılara sahip basit kesirlerin toplamına aşağıdaki ayrıştırmasını elde ettik:

.

Şimdi belirsiz katsayıları aramaya başlıyoruz. Bunu yapmak için, fonksiyon ifadesindeki orijinal kesrin payını, kesirlerin toplamını ortak bir paydaya indirgedikten sonra elde edilen ifadenin payına eşitliyoruz:

Şimdi bir denklem sistemi oluşturup çözmeniz gerekiyor. Bunu yapmak için, değişkenin katsayılarını, fonksiyonun orijinal ifadesinin payındaki karşılık gelen dereceye ve önceki adımda elde edilen ifadedeki benzer katsayılara eşitliyoruz:

Ortaya çıkan sistemi çözüyoruz:

Yani buradan

.

Örnek 3. Adım 2. 1. adımda, orijinal kesirin paylarında belirlenmemiş katsayılara sahip basit kesirlerin toplamına aşağıdaki ayrıştırmasını elde ettik:

Belirsiz katsayıları aramaya başlıyoruz. Bunu yapmak için, fonksiyon ifadesindeki orijinal kesrin payını, kesirlerin toplamını ortak bir paydaya indirgedikten sonra elde edilen ifadenin payına eşitliyoruz:

Önceki örneklerde olduğu gibi bir denklem sistemi oluşturuyoruz:

X'leri azaltırız ve eşdeğer bir denklem sistemi elde ederiz:

Sistemi çözerek belirsiz katsayıların aşağıdaki değerlerini elde ederiz:

İntegralin basit kesirlerin toplamına son ayrıştırılmasını elde ederiz:

.

Örnek 4. Adım 2. 1. adımda, orijinal kesirin paylarında belirlenmemiş katsayılara sahip basit kesirlerin toplamına aşağıdaki ayrıştırmasını elde ettik:

.

Önceki örneklerden, orijinal kesrin payını, kesirin basit kesirlerin toplamına ayrıştırılmasından ve bu toplamın ortak bir paydaya getirilmesinden sonra elde edilen paydaki ifadeye nasıl eşitleneceğini zaten biliyoruz. Bu nedenle, sadece kontrol amacıyla, ortaya çıkan denklem sistemini sunuyoruz:

Sistemi çözerek belirsiz katsayıların aşağıdaki değerlerini elde ederiz:

İntegralin basit kesirlerin toplamına son ayrıştırılmasını elde ederiz:

Örnek 5. Adım 2. 1. adımda, orijinal kesirin paylarında belirlenmemiş katsayılara sahip basit kesirlerin toplamına aşağıdaki ayrıştırmasını elde ettik:

.

Bu toplamı bağımsız olarak ortak bir paydaya indirgeyerek bu ifadenin payını orijinal kesrin payına eşitliyoruz. Sonuç aşağıdaki denklem sistemi olmalıdır:

Sistemi çözerek belirsiz katsayıların aşağıdaki değerlerini elde ederiz:

.

İntegralin basit kesirlerin toplamına son ayrıştırılmasını elde ederiz:

.

Örnek 6. Adım 2. 1. adımda, orijinal kesirin paylarında belirlenmemiş katsayılara sahip basit kesirlerin toplamına aşağıdaki ayrıştırmasını elde ettik:

Bu miktarla önceki örneklerde olduğu gibi aynı işlemleri gerçekleştiriyoruz. Sonuç aşağıdaki denklem sistemi olmalıdır:

Sistemi çözerek belirsiz katsayıların aşağıdaki değerlerini elde ederiz:

.

İntegralin basit kesirlerin toplamına son ayrıştırılmasını elde ederiz:

.

Örnek 7. Adım 2. 1. adımda, orijinal kesirin paylarında belirlenmemiş katsayılara sahip basit kesirlerin toplamına aşağıdaki ayrıştırmasını elde ettik:

.

Ortaya çıkan miktarla yapılan belirli işlemlerden sonra aşağıdaki denklem sistemi elde edilmelidir:

Sistemi çözerek belirsiz katsayıların aşağıdaki değerlerini elde ederiz:

İntegralin basit kesirlerin toplamına son ayrıştırılmasını elde ederiz:

.

Örnek 8. Adım 2. 1. adımda, orijinal kesirin paylarında belirlenmemiş katsayılara sahip basit kesirlerin toplamına aşağıdaki ayrıştırmasını elde ettik:

.

Bir denklem sistemi elde etmek için halihazırda otomatikliğe getirilmiş eylemlerde bazı değişiklikler yapalım. Bazı durumlarda gereksiz hesaplamalardan kaçınmaya yardımcı olan yapay bir teknik vardır. Kesirlerin toplamını ortak bir paydaya getirerek elde ediyoruz ve bu ifadenin payını orijinal kesrin payına eşitleyerek elde ediyoruz.

2., 5.
,

3.
, 6.
.

1-3 integrallerinde sen kabul etmek . Sonra, sonra N-formül (19)'un çoklu uygulamasıyla tablo integrallerinden birine ulaşırız

,
,
.

4-6 integrallerinde türev alırken aşkın faktörü basitleştirin
,
veya
olarak alınması gereken sen.

Aşağıdaki integralleri hesaplayın.

Örnek 7.

Örnek 8.

İntegralleri kendilerine indirgemek

Eğer integral
şu forma sahiptir:

,
,
ve benzeri,

daha sonra iki kez kısmi integral aldıktan sonra orijinal integrali içeren bir ifade elde ederiz :

,

Nerede
- biraz sabit.

Ortaya çıkan denklemin çözümü , orijinal integrali hesaplamak için bir formül elde ederiz:

.

Parçalara göre entegrasyon yönteminin uygulanmasına " integrali kendisine getirmek».

Örnek 9.İntegrali hesapla
.

Sağ tarafta orijinal integral var . Sol tarafa kaydırdığımızda şunu elde ederiz:

.

Örnek 10.İntegrali hesapla
.

4.5. En basit rasyonel rasyonel kesirlerin integrali

Tanım.En basit uygun kesirler BEN , II Ve III türleri Aşağıdaki kesirler denir:

BEN. ;

II.
; (
- pozitif tamsayı);

III.
;
.

(paydanın kökleri karmaşıktır, yani:

BEN.
; (20)

II. ; (21)

III.
;

Basit kesirlerin integrallerini ele alalım.
Kesrin payını paydaki terimi izole edecek şekilde dönüştürüyoruz

, paydanın türevine eşittir.

Elde edilen iki integralden ilkini ele alalım ve onda bir değişiklik yapalım:

İkinci integralde paydayı tam kareye ekliyoruz:

=
+
. (22)

Son olarak, üçüncü türden bir kesrin integrali şuna eşittir:

Böylece, tip I'in en basit kesirlerinin integrali logaritmalarla, tip II - rasyonel fonksiyonlarla, tip III - logaritmalar ve arktanjantlarla ifade edilir.

4.6.Kesirli-rasyonel fonksiyonların integrali

Temel fonksiyonlar cinsinden ifade edilen bir integrale sahip fonksiyon sınıflarından biri, cebirsel rasyonel fonksiyonlar sınıfıdır, yani bir argüman üzerinde sonlu sayıda cebirsel işlemden kaynaklanan fonksiyonlardır.
Her rasyonel fonksiyon
iki polinomun oranı olarak temsil edilebilir
:

. (23)

Polinomların ortak köklerinin olmadığını varsayacağız.

(23) formunun bir kısmına denir doğru Payın derecesi paydanın derecesinden küçükse, yani, M< N. Aksi takdirde - yanlış.

Kesir uygun değilse, payı paydaya bölerek (polinomları bölme kuralına göre), kesri bir polinom ile uygun bir kesrin toplamı olarak sunarız:

, (24)

Nerede
- polinom, - uygun bir kesir ve polinomun derecesi
- dereceden yüksek değil ( N-1).

Örnek.

Bir polinomun entegrasyonu bir kuvvet fonksiyonunun tablo halindeki integrallerinin toplamına indirgendiğinden, rasyonel kesirlerin entegrasyonundaki ana zorluk, uygun rasyonel kesirlerin entegrasyonunda yatmaktadır.

Cebirde her uygun kesrin olduğu kanıtlanmıştır. yukarıdakilerin toplamına ayrışır tek hücreli hayvanşekli paydanın kökleri tarafından belirlenen kesirler
.

Üç özel durumu ele alalım. Burada ve ayrıca katsayının olduğunu varsayacağız. paydanın en yüksek derecesinde
bire eşit =1, yaniindirgenmiş polinom .

Durum 1. Paydanın kökleri, yani kökler
denklemler
=0, geçerli ve farklıdır. Daha sonra paydayı doğrusal faktörlerin bir ürünü olarak temsil ederiz:

ve uygun kesir, I-gotipinin en basit kesirlerine ayrıştırılır:

, (26)

Nerede
– Belirsiz katsayılar yöntemiyle bulunan bazı sabit sayılar.

Bunu yapmak için ihtiyacınız olan:

1. Genişlemenin sağ tarafını (26) ortak bir paydaya getirin.

2. Sol ve sağ tarafların payındaki aynı polinomların aynı güçlerinin katsayılarını eşitleyin. Belirlemek için bir doğrusal denklem sistemi elde ederiz
.

3. Ortaya çıkan sistemi çözün ve belirlenemeyen katsayıları bulun
.

Daha sonra kesirli-rasyonel fonksiyonun (26) integrali, formül (20) ile hesaplanan I tipinin en basit kesirlerinin integrallerinin toplamına eşit olacaktır.

Örnek.İntegrali hesapla
.

Çözüm. Paydayı Vieta teoremini kullanarak çarpanlara ayıralım:

Daha sonra integral fonksiyonu basit kesirlerin toplamına ayrıştırılır:

.

X:

Bunu bulmak için üç denklemli bir sistem yazalım.
X sol ve sağ tarafta:

.

Belirsiz katsayıları bulmanın daha basit bir yolunu gösterelim. kısmi değer yöntemi.

Eşitlik varsayalım (27)
alıyoruz
, Neresi
. İnanmak
alıyoruz
. Sonunda inanmak
alıyoruz
.

.

Durum 2. Paydanın kökü
geçerlidir, ancak aralarında birden fazla (eşit) kök vardır. Daha sonra paydayı, karşılık gelen kökün çokluğuna göre, çarpıma dahil edilen doğrusal faktörlerin çarpımı olarak temsil ederiz:

Nerede
.

Uygun kesir I ve II. tip kesirlerin toplamı ayrıştırılacaktır. Örneğin, - çokluğun paydasının kökü k ve diğer herkes ( N- k) kökleri farklıdır.

Daha sonra genişleme şöyle görünecek:

Aynı şekilde başka birden fazla kök varsa. Çoklu olmayan kökler için genişleme (28), birinci tipin en basit kesirlerini içerir.

Örnek.İntegrali hesapla
.

Çözüm. Kesri, birinci ve ikinci türün katsayıları belirlenmemiş en basit kesirlerin toplamı olarak hayal edelim:

.

Sağ tarafı ortak bir paydaya getirelim ve sol ve sağ tarafların paylarındaki polinomları eşitleyelim:

Sağ tarafta aynı derecelere sahip benzerlerini sunuyoruz X:

Bulmak için dört denklemden oluşan bir sistem yazalım.
iki polinomun oranı olarak temsil edilebilir . Bunu yapmak için katsayıları aynı güçlere eşitliyoruz X sol ve sağ tarafta

.

Durum 3. Paydanın kökleri arasında
karmaşık tek kökler vardır. Yani paydanın genişlemesi ikinci dereceden faktörleri içerir
, gerçek doğrusal faktörlere ayrıştırılamazlar ve tekrarlanmazlar.

Daha sonra, bir kesirin ayrıştırılmasında, bu tür faktörlerin her biri, tip III'ün en basit kesrine karşılık gelecektir. Doğrusal faktörler, tip I ve II'nin en basit kesirlerine karşılık gelir.

Örnek.İntegrali hesapla
.

Çözüm.
.

.

.

Bu konuda sunulan materyal, "Rasyonel kesirler. Rasyonel kesirlerin temel (basit) kesirlere ayrıştırılması" konusunda sunulan bilgilere dayanmaktadır. Bu materyali okumaya geçmeden önce en azından bu konuya göz atmanızı şiddetle tavsiye ederim. Ayrıca belirsiz integral tablosuna da ihtiyacımız olacak.

Size birkaç terimi hatırlatayım. İlgili başlıkta tartışıldılar, bu yüzden burada kendimi kısa bir formülasyonla sınırlayacağım.

İki polinomun oranına $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ denir rasyonel fonksiyon veya rasyonel bir kesir. Rasyonel kesir denir doğru, eğer $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется yanlış.

Temel (basit) rasyonel kesirler dört türden rasyonel kesirlerdir:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Not (metnin daha iyi anlaşılması için arzu edilir): show\hide

$p^2-4q koşuluna neden ihtiyaç duyulur?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Örneğin, $x^2+5x+10$ ifadesi için şunu elde ederiz: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. $p^2-4q=-15 olduğundan< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Bu arada, bu kontrol için $x^2$ katsayısının 1'e eşit olması hiç de gerekli değil. Örneğin, $5x^2+7x-3=0$ için şunu elde ederiz: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. $D > 0$ olduğundan, $5x^2+7x-3$ ifadesi çarpanlara ayrılabilir.

Rasyonel kesirlerin (doğru ve uygunsuz) örneklerinin yanı sıra rasyonel bir kesirin temel kesirlere ayrıştırılmasının örnekleri de bulunabilir. Burada sadece bunların entegrasyonuyla ilgili sorularla ilgileneceğiz. Temel kesirlerin entegrasyonuyla başlayalım. Dolayısıyla yukarıdaki dört temel kesir tipinin her birinin aşağıdaki formüller kullanılarak integrali alınması kolaydır. (2) ve (4) tipi kesirlerin integrali alınırken $n=2,3,4,\ldots$ varsayıldığını hatırlatmak isterim. Formül (3) ve (4), $p^2-4q koşulunun yerine getirilmesini gerektirir< 0$.

\begin(equation) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(equation) \begin(equation) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(equation) \begin(equation) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(denklem)

$\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ için $t=x+\frac(p)(2)$ ikamesi yapılır, bundan sonra ortaya çıkan aralık şu şekilde olur: ikiye bölünmüş. Birincisi diferansiyel işaretinin altına girilerek hesaplanacak ve ikincisi $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$ şeklinde olacaktır. Bu integral yineleme ilişkisi kullanılarak alınır

\begin(denklem) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; n\in N\end(denklem)

Böyle bir integralin hesaplanması örnek 7'de tartışılmaktadır (üçüncü bölüme bakınız).

Rasyonel fonksiyonların (rasyonel kesirler) integrallerini hesaplama şeması:

1. İntegral temel ise, (1)-(4) formüllerini uygulayın.
2. Eğer integral temel değilse, onu temel kesirlerin toplamı olarak temsil edin ve sonra (1)-(4) formüllerini kullanarak integral alın.

Rasyonel kesirleri entegre etmek için yukarıdaki algoritmanın yadsınamaz bir avantajı vardır - evrenseldir. Onlar. bu algoritmayı kullanarak entegre edebilirsiniz herhangi rasyonel kesir. Bu nedenle belirsiz bir integraldeki değişkenlerin neredeyse tüm değişiklikleri (Euler, Chebyshev, evrensel trigonometrik ikame), bu değişiklikten sonra aralığın altında rasyonel bir kesir elde edecek şekilde yapılır. Daha sonra algoritmayı buna uygulayın. Küçük bir not aldıktan sonra bu algoritmanın doğrudan uygulamasını örneklerle analiz edeceğiz.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

Prensip olarak bu integralin, formülün mekanik uygulaması olmadan elde edilmesi kolaydır. Eğer integral işaretinden $7$ sabitini çıkarırsak ve $dx=d(x+9)$ değerini hesaba katarsak şunu elde ederiz:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Detaylı bilgi için konuya bakmanızı tavsiye ederim. Bu tür integrallerin nasıl çözüldüğünü ayrıntılı olarak açıklıyor. Bu arada formül, bu paragrafta "manuel" çözülürken uygulanan dönüşümlerin aynısıyla kanıtlanmıştır.

2) Yine iki yol var: Hazır formülü kullanın veya onsuz yapın. Formülü uygularsanız $x$'ın (4 numara) önündeki katsayının kaldırılması gerekeceğini dikkate almalısınız. Bunu yapmak için bu dördünü parantezlerden çıkaralım:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\sol(x+\frac(19)(4)\sağ)^8). $$

Şimdi formülü uygulama zamanı:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \right)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$

Formülü kullanmadan yapabilirsiniz. Üstelik sabit 4$'ı parantezlerden çıkarmadan bile. $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$ değerini hesaba katarsak şunu elde ederiz:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7) )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Bu tür integrallerin bulunmasına ilişkin ayrıntılı açıklamalar “İkame yoluyla integral (diferansiyel işaret altında ikame)” konusunda verilmiştir.

3) $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$ kesirinin integralini almamız gerekiyor. Bu kesir $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ yapısına sahiptir, burada $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Ancak bunun gerçekten üçüncü türün temel kesri olduğundan emin olmak için $p^2-4q koşulunun karşılanıp karşılanmadığını kontrol etmeniz gerekir.< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Aynı örneği hazır bir formül kullanmadan çözelim. Paydanın türevini payda izole etmeye çalışalım. Bu ne anlama gelir? $(x^2+10x+34)"=2x+10$ olduğunu biliyoruz. Payda yalnız bırakmamız gereken $2x+10$ ifadesidir. Şu ana kadar pay sadece $4x+7$ içeriyor, ancak bu çok uzun sürmeyecek. Pay'a aşağıdaki dönüşümü uygulayalım:

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$

Artık payda gerekli ifade $2x+10$ görünür. İntegralimiz şu şekilde yeniden yazılabilir:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

İntegrali ikiye bölelim. Buna göre integralin kendisi de "çatallıdır":

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \sağ)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

İlk önce ilk integralden bahsedelim, yani. yaklaşık $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$ olduğundan, integralin payı paydanın diferansiyelini içerir. Kısacası, bunun yerine $( 2x+10)dx$ ifadesinin yerine $d(x^2+10x+34)$ yazıyoruz.

Şimdi ikinci integral hakkında birkaç söz söyleyelim. Paydada tam bir kare seçelim: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Ayrıca $dx=d(x+5)$ hesabını da hesaba katıyoruz. Şimdi daha önce elde ettiğimiz integrallerin toplamı biraz farklı bir biçimde yeniden yazılabilir:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

İlk integralde $u=x^2+10x+34$ yerine koyarsak, o zaman $\int\frac(du)(u)$ biçimini alır ve ikinci formülü basitçe uygulayarak elde edilebilir. . İkinci integrale gelince, $u=x+5$ değişikliği onun için de uygundur, bundan sonra $\int\frac(du)(u^2+9)$ biçimini alacaktır. Bu belirsiz integraller tablosundaki en saf on birinci formüldür. İntegrallerin toplamına dönersek, şunu elde ederiz:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5) )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Formülü uygularken aldığımız cevabın aynısını aldık ki bu kesinlikle şaşırtıcı değil. Genel olarak formül, bu integrali bulmak için kullandığımız yöntemlerle aynı yöntemlerle kanıtlanır. Dikkatli okuyucunun burada bir sorusu olabileceğine inanıyorum, bu yüzden onu formüle edeceğim:

Soru No.1

Belirsiz integraller tablosundaki ikinci formülü $\int \frac(d(x^2+10x+34)(x^2+10x+34)$ integraline uygularsak, aşağıdakileri elde ederiz:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Çözümde neden modül yoktu?

1. sorunun cevabı

Soru tamamen doğal. Modül yalnızca herhangi bir $x\in R$ için $x^2+10x+34$ ifadesinin sıfırdan büyük olması nedeniyle eksikti. Bunu çeşitli şekillerde göstermek oldukça kolaydır. Örneğin, $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ ve $(x+5)^2 ≥ 0$ olduğundan $(x+5)^2+9 > 0$ . Tam kare seçimini kullanmadan farklı düşünebilirsiniz. $10^2-4\cdot 34=-16'dan beri< 0$, то $x^2+10x+34 >Herhangi bir $x\in R$ için 0$ (eğer bu mantıksal zincir şaşırtıcıysa, ikinci dereceden eşitsizlikleri çözmek için grafiksel yönteme bakmanızı tavsiye ederim). Her durumda, $x^2+10x+34 > 0$ olduğundan, $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, yani. Bir modül yerine normal parantezleri kullanabilirsiniz.

1 numaralı örneğin tüm noktaları çözüldü, geriye kalan tek şey cevabı yazmak.

Cevap:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+C$.

Örnek No.2

$\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$ integralini bulun.

İlk bakışta, $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ integrand kesri üçüncü türün temel kesrine çok benzer; $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ile. Görünüşe göre tek fark, $x^2$'ın önündeki $3$ katsayısıdır, ancak katsayıyı kaldırmak uzun sürmez (parantezlerin dışına koyun). Ancak bu benzerlik ortadadır. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ kesri için $p^2-4q koşulu zorunludur< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

$x^2$ öncesindeki katsayımız bire eşit değil, dolayısıyla $p^2-4q koşulunu kontrol edin< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$ olduğundan $3x^2-5x-2$ ifadesi çarpanlara ayrılabilir. Bu, $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ kesirinin üçüncü türden bir temel kesir olmadığı anlamına gelir ve $\int\frac(7x+12)(3x^2-) uygulanır ) 5x-2)dx$ formülünün integraline ulaşmak mümkün değildir.

Eğer verilen rasyonel kesir temel kesir değilse, o zaman temel kesirlerin toplamı olarak temsil edilmesi ve sonra entegre edilmesi gerekir. Kısacası patikadan yararlanın. Rasyonel bir kesirin temel kesirlere nasıl ayrıştırılacağı ayrıntılı olarak yazılmıştır. Paydayı çarpanlara ayırarak başlayalım:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\end(hizalanmış)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$

Alt interkal fraksiyonu bu formda sunuyoruz:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

Şimdi $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ kesrini temel parçalara ayıralım:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+ \frac(1)(3)\right)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\sağ). $$

$A$ ve $B$ katsayılarını bulmak için iki standart yol vardır: belirlenmemiş katsayılar yöntemi ve kısmi değerlerin yerine konulması yöntemi. $x=2$ ve ardından $x=-\frac(1)(3)$ yerine kısmi değer ikame yöntemini uygulayalım:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\sağ); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Katsayılar bulunduğundan geriye kalan tek şey bitmiş genişlemeyi yazmaktır:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

Prensip olarak bu girişi bırakabilirsiniz, ancak daha doğru seçeneği seviyorum:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

Orijinal integrale dönersek, ortaya çıkan genişlemeyi onun yerine koyarız. Daha sonra integrali ikiye bölüp her birine formülü uyguluyoruz. Sabitleri hemen integral işaretinin dışına yerleştirmeyi tercih ederim:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Cevap: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

Örnek No.3

$\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$ integralini bulun.

$\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$ kesirini entegre etmemiz gerekiyor. Pay ikinci dereceden bir polinom içerir ve payda üçüncü dereceden bir polinom içerir. Paydaki polinomun derecesi paydadaki polinomun derecesinden küçük olduğundan, yani; 2 dolar< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

Tek yapmamız gereken verilen integrali üçe bölüp formülü her birine uygulamak. Sabitleri hemen integral işaretinin dışına yerleştirmeyi tercih ederim:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Cevap: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

Bu konuya ilişkin örneklerin analizinin devamı ikinci bölümde yer almaktadır.

Rasyonel fonksiyonların entegrasyonu Kesirli - rasyonel fonksiyon En basit rasyonel kesirler Rasyonel bir kesirin basit kesirlere ayrıştırılması Basit kesirlerin integrali Genel kural rasyonel kesirlerin entegrasyonu

derece polinomu Kesirli-rasyonel fonksiyon Kesirli-rasyonel fonksiyon bir fonksiyondur orana eşit iki polinom: Payın derecesi paydanın derecesinden küçükse, yani m ise rasyonel kesir denir.< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

Kesirli - rasyonel fonksiyon Uygunsuz bir kesri doğru forma indirgeyin: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 63 x 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

En basit rasyonel kesirler Formun uygun rasyonel kesirleri: Bunlara türlerin en basit rasyonel kesirleri denir. balta A); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

Rasyonel bir kesirin basit kesirlere ayrıştırılması Teorem: Paydası çarpanlara ayrılmış herhangi bir uygun rasyonel kesir: ayrıca, basit kesirlerin toplamı şeklinde benzersiz bir şekilde temsil edilebilir: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx)

Rasyonel bir kesirin basit kesirlere ayrıştırılması Teoremin formülasyonunu aşağıdaki örnekleri kullanarak açıklayalım: A, B, C, D... belirsiz katsayılarını bulmak için iki yöntem kullanılır: katsayıları karşılaştırma yöntemi ve yöntem. bir değişkenin kısmi değerleri. Bir örnek kullanarak ilk yönteme bakalım. 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x

Rasyonel bir kesrin basit kesirlere ayrıştırılması Kesri basit kesirlerin toplamı olarak gösterin: En basit kesirleri ortak bir paydaya getirelim Ortaya çıkan kesirlerin paylarını ve orijinal kesirleri eşitleyin Katsayıları aynı kuvvetlere eşitleyin x)52)(1( 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52)(1()1)(()52(2 2 xxx x.CBxxx.A 33252 222 xx.CBx.Cx.Bx.AAx.Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

En basit kesirlerin integrali En basit rasyonel kesirlerin integrallerini bulalım: Bir örnek kullanarak tip 3 kesirlerin integraline bakalım. dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. A k

Basit kesirlerin integralidx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t 9 23 2 9 322 t dtt 9 9 2 3 2 2 t td 33 2 t arktgt 33 2 9 ln 2 32 C x arktgxx 3 1 3 2 102 ln

Basit kesirlerin integrali Yer değiştirme kullanan bu tür bir integral: iki integralin toplamına indirgenir: İlk integral, diferansiyel işaretinin altına t getirilerek hesaplanır. İkinci integral şu ​​yineleme formülü kullanılarak hesaplanır: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk dt'de N dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt

Basit kesirlerin integrali a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t tarctg 2223)1)(13(2232 332 t t C t t tarctg 222)1 (4)1(

Rasyonel kesirlerin integrali için genel kural Kesir uygunsuzsa, bunu bir polinom ve uygun kesirin toplamı olarak gösterin. Uygun bir rasyonel kesirin paydasını çarpanlara ayırdıktan sonra, bunu belirlenmemiş katsayılara sahip basit kesirlerin toplamı olarak temsil edin. Katsayıları karşılaştırma yöntemiyle veya bir değişkenin kısmi değerleri yöntemiyle belirlenmemiş katsayıları bulun. Polinomu ve elde edilen basit kesirlerin toplamını entegre edin.

Örnek Kesri doğru forma koyalım. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx xx xx 23 2 2 2 48 52 5 xxx 5105 23 48 2 x

Örnek Bir uygun kesrin paydasını çarpanlara ayıralım Kesri basit kesirlerin toplamı olarak gösterelim xxx xx değişkeninin kısmi değerleri yöntemini kullanarak belirlenmemiş katsayıları bulalım 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2) )1(1 x C x B x A 2 2)1 ()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx

Örnek dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln

“Tıpkı bir sanatçı veya şair gibi bir matematikçi de modeller yaratır. Ve eğer kalıpları daha istikrarlıysa, bu sadece fikirlerden oluştuğu içindir... Bir matematikçinin desenleri, tıpkı bir sanatçının veya şairin desenleri gibi, güzel olmalı; Renkler veya kelimeler gibi fikirlerin de birbiriyle uyumlu olması gerekir. Güzellik ilk şart: Dünyada çirkin matematiğe yer yok».

G.H.Hardy

Birinci bölümde, oldukça basit fonksiyonların artık ifade edilemeyen ters türevlerinin olduğu belirtilmişti. temel işlevler. Bu bağlamda, antitürevlerinin temel fonksiyonlar olduğunu doğru bir şekilde söyleyebileceğimiz fonksiyon sınıfları çok büyük pratik önem kazanır. Bu fonksiyon sınıfı şunları içerir: rasyonel fonksiyonlar, iki cebirsel polinomun oranını temsil eder. Birçok problem rasyonel kesirlerin entegrasyonuna yol açmaktadır. Bu nedenle bu tür fonksiyonları entegre edebilmek çok önemlidir.

2.1.1. Kesirli rasyonel fonksiyonlar

Rasyonel kesir(veya kesirli rasyonel fonksiyon) iki cebirsel polinomun ilişkisidir:

nerede ve polinomlardır.

şunu hatırlatalım polinom (polinom, tüm rasyonel fonksiyon) Nderece formun bir fonksiyonu denir

Nerede – gerçek sayılar. Örneğin,

– birinci dereceden polinom;

– dördüncü dereceden polinom vb.

Rasyonel kesir (2.1.1) denir doğru, eğer derece, dereceden düşükse, yani. N<M aksi takdirde kesir denir yanlış.

Herhangi bir uygunsuz kesir, bir polinomun (tam kısım) ve uygun bir kesirin (kesirli kısım) toplamı olarak temsil edilebilir. Uygunsuz bir kesirin tam ve kesirli kısımlarının ayrılması, polinomları bir "köşe" ile bölme kuralına göre yapılabilir.

Örnek 2.1.1. Aşağıdaki uygunsuz rasyonel kesirlerin tam ve kesirli kısımlarını tanımlayın:

A) , B) .

Çözüm . a) “Köşe” bölme algoritmasını kullanarak şunu elde ederiz:

Böylece elde ederiz

.

b) Burada ayrıca “köşe” bölme algoritmasını kullanıyoruz:

Sonuç olarak şunu elde ederiz:

.

Özetleyelim. Genel durumda, rasyonel bir kesirin belirsiz integrali, polinomun ve uygun rasyonel kesrin integrallerinin toplamı olarak temsil edilebilir. Polinomların ters türevlerini bulmak zor değildir. Bu nedenle, aşağıda esas olarak uygun rasyonel kesirleri ele alacağız.

2.1.2. En basit rasyonel kesirler ve bunların entegrasyonu

Uygun rasyonel kesirler arasında dört tür vardır ve bunlar şöyle sınıflandırılır: en basit (temel) rasyonel kesirler:

bir tamsayı nerede, , yani ikinci dereceden üç terimli gerçek kökleri yoktur.

1. ve 2. türdeki basit kesirlerin integralini almak büyük zorluklar yaratmaz:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Şimdi 3. türdeki basit kesirlerin integralini ele alalım, ancak 4. türdeki kesirleri dikkate almayacağız.

Formun integralleriyle başlayalım

.

Bu integral genellikle paydanın tam karesinin ayrılmasıyla hesaplanır. Sonuç, aşağıdaki formun bir tablo integralidir

veya .

Örnek 2.1.2.İntegralleri bulun:

A) , B) .

Çözüm . a) İkinci dereceden bir üç terimliden tam bir kare seçin:

Buradan buluyoruz

b) İkinci dereceden bir üç terimliden tam bir kareyi izole ederek şunu elde ederiz:

Böylece,

.

İntegrali bulmak için

paydanın türevini payda izole edebilir ve integrali iki integralin toplamına genişletebilirsiniz: bunlardan ilki ikame yoluyla görünüşe geliyor

,

ve ikincisi - yukarıda tartışılana.

Örnek 2.1.3.İntegralleri bulun:

.

Çözüm . Dikkat . Paydanın türevini payda izole edelim:

İlk integral ikame kullanılarak hesaplanır :

İkinci integralde paydadaki tam kareyi seçiyoruz

Sonunda elde ettik

2.1.3. Uygun rasyonel kesir açılımı
basit kesirlerin toplamı için

Herhangi bir uygun rasyonel kesir basit kesirlerin toplamı olarak benzersiz bir şekilde temsil edilebilir. Bunu yapmak için paydanın çarpanlara ayrılması gerekir. Yüksek cebirden, gerçek katsayılı her polinomun