Kesirli rasyonel fonksiyonların integrali. Rasyonel fonksiyonların entegrasyonu

2., 5.
,

3.
, 6.
.

1-3 integrallerinde sen kabul etmek . Sonra, sonra N-formül (19)'un çoklu uygulanmasıyla tablo integrallerinden birine ulaşıyoruz

,
,
.

4-6 integrallerinde türev alırken aşkın faktörü basitleştirin
,
veya
olarak alınması gereken sen.

Aşağıdaki integralleri hesaplayın.

Örnek 7.

Örnek 8.

İntegralleri kendilerine indirgemek

Eğer integral
şu forma sahiptir:

,
,
ve benzeri,

daha sonra iki kez parça parça integral aldıktan sonra orijinal integrali içeren bir ifade elde ederiz :

Nerede
- biraz sabit.

Ortaya çıkan denklemin çözümü orijinal integrali hesaplamak için bir formül elde ederiz:

Parçalara göre entegrasyon yönteminin uygulanmasına " denir. integrali kendisine getirmek».

Örnek 9.İntegrali hesapla
.

Sağ tarafta orijinal integral var . Sol tarafa kaydırdığımızda şunu elde ederiz:

Örnek 10.İntegrali hesapla
.

4.5. En basit rasyonel rasyonel kesirlerin integrali

Tanım.En basit uygun kesirler BEN , II Ve III türleri Aşağıdaki kesirler denir:

BEN. ;

II.
; (
- pozitif tamsayı);

III.
;
.

(paydanın kökleri karmaşıktır, yani:

BEN.
; (20)

II. ; (21)

III.
;

Basit kesirlerin integrallerini ele alalım.
Kesrin payını paydaki terimi izole edecek şekilde dönüştürüyoruz

, paydanın türevine eşittir.

Elde edilen iki integralden ilkini ele alalım ve onda bir değişiklik yapalım:

İkinci integralde paydayı tam kareye ekliyoruz:

=
+
. (22)

Son olarak, üçüncü türden bir kesrin integrali şuna eşittir:

Böylece, tip I'in en basit kesirlerinin integrali logaritmalarla, tip II - rasyonel fonksiyonlarla, tip III - logaritmalar ve arktanjantlarla ifade edilir.

4.6.Kesirli-rasyonel fonksiyonların integrali Temel fonksiyonlar cinsinden ifade edilen bir integrale sahip fonksiyon sınıflarından biri cebirsel sınıftır. rasyonel fonksiyonlar

yani argüman üzerinde sonlu sayıda cebirsel işlemden kaynaklanan işlevler.
Her rasyonel fonksiyon
iki polinomun oranı olarak temsil edilebilir
:

. (23)

Polinomların ortak köklerinin olmadığını varsayacağız. (23) formunun bir kısmına denir doğru Payın derecesi paydanın derecesinden küçükse, yani,< N M . Aksi takdirde -.

Kesir uygun değilse, payı paydaya bölerek (polinomları bölme kuralına göre), kesri bir polinom ile uygun bir kesrin toplamı olarak sunarız:

, (24)

Nerede
- polinom, - uygun bir kesir ve polinomun derecesi
- dereceden yüksek değil ( N-1).

Örnek.

Bir polinomun entegrasyonu bir kuvvet fonksiyonunun tablo halindeki integrallerinin toplamına indirgendiğinden, rasyonel kesirlerin entegrasyonundaki ana zorluk, uygun rasyonel kesirlerin entegrasyonunda yatmaktadır.

Cebirde her uygun kesrin olduğu kanıtlanmıştır. yukarıdakilerin toplamına ayrışır tek hücreli hayvanşekli paydanın kökleri tarafından belirlenen kesirler
.

Üç özel durumu ele alalım. Burada ve ayrıca katsayının olduğunu varsayacağız. paydanın en yüksek derecesinde
bire eşit =1, yaniazaltılmış polinom .

Durum 1. Paydanın kökleri, yani kökler
denklemler
=0, geçerli ve farklıdır. Daha sonra paydayı doğrusal faktörlerin bir ürünü olarak temsil ederiz:

ve uygun kesir, I-gotipinin en basit kesirlerine ayrıştırılır:

, (26)

Nerede
– Belirsiz katsayılar yöntemiyle bulunan bazı sabit sayılar.

Bunu yapmak için ihtiyacınız var:

1. Genişlemenin sağ tarafını (26) ortak bir paydaya getirin.

2. Sol ve sağ tarafların payındaki aynı derecedeki özdeş polinomların katsayılarını eşitleyin. Belirlemek için bir doğrusal denklem sistemi elde ederiz
.

3. Ortaya çıkan sistemi çözün ve belirsiz katsayıları bulun
.

Daha sonra kesirli-rasyonel fonksiyonun (26) integrali, formül (20) ile hesaplanan I tipinin en basit kesirlerinin integrallerinin toplamına eşit olacaktır.

Örnek.İntegrali hesapla
.

Çözüm. Paydayı Vieta teoremini kullanarak çarpanlara ayıralım:

Daha sonra integral fonksiyonu basit kesirlerin toplamına ayrıştırılır:

Bunu bulmak için üç denklemli bir sistem yazalım.
X sol ve sağ tarafta:

Belirsiz katsayıları bulmanın daha basit bir yolunu gösterelim. kısmi değer yöntemi.

Eşitlik varsayalım (27)
aldık
, Neresi
. İnanmak
aldık
. Sonunda inanmak
aldık
.

Durum 2. Paydanın kökü
geçerlidir, ancak aralarında birden fazla (eşit) kök vardır. Daha sonra paydayı, karşılık gelen kökün çokluğuna göre, çarpıma dahil edilen doğrusal faktörlerin çarpımı olarak temsil ederiz:

Nerede
.

Uygun kesir I ve II. tip kesirlerin toplamı ayrıştırılacaktır. Örneğin, - çokluğun paydasının kökü k ve diğer herkes ( N- k) kökleri farklıdır.

Daha sonra genişleme şöyle görünecek:

Aynı şekilde başka birden fazla kök varsa. Çoklu olmayan kökler için genişleme (28), birinci tipin en basit kesirlerini içerir.

Örnek.İntegrali hesapla
.

Çözüm. Kesri, birinci ve ikinci türün katsayıları belirlenmemiş en basit kesirlerin toplamı olarak hayal edelim:

Sağ tarafı ortak bir paydaya getirelim ve sol ve sağ tarafların paylarındaki polinomları eşitleyelim:

Sağ tarafta aynı derecelere sahip benzerlerini sunuyoruz X:

Bulmak için dört denklemden oluşan bir sistem yazalım.
iki polinomun oranı olarak temsil edilebilir . Bunu yapmak için katsayıları aynı güçlere eşitliyoruz X sol ve sağ tarafta

Durum 3. Paydanın kökleri arasında
karmaşık tek kökler vardır. Yani paydanın genişlemesi ikinci dereceden faktörleri içerir
, gerçek doğrusal faktörlere ayrıştırılamazlar ve tekrarlanmazlar.

Daha sonra, bir kesirin ayrıştırılmasında, bu tür faktörlerin her biri, tip III'ün en basit kesrine karşılık gelecektir. Doğrusal faktörler, tip I ve II'nin en basit kesirlerine karşılık gelir.

Örnek.İntegrali hesapla
.

Çözüm.
.

Rasyonel fonksiyonların entegrasyonu Kesirli - rasyonel fonksiyon En basit rasyonel kesirler Rasyonel bir kesirin basit kesirlere ayrıştırılması Basit kesirlerin integrali Genel kural rasyonel kesirlerin entegrasyonu

derece polinomu Kesirli-rasyonel fonksiyon Kesirli-rasyonel fonksiyon bir fonksiyondur orana eşit iki polinom: Payın derecesi paydanın derecesinden küçükse, yani m ise rasyonel kesir denir.< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

Kesirli - rasyonel fonksiyon Uygunsuz bir kesri doğru forma indirgeyin: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 63 x 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

En basit rasyonel kesirler Formun uygun rasyonel kesirleri: Bunlara türlerin en basit rasyonel kesirleri denir. balta A); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

Rasyonel bir kesirin basit kesirlere ayrıştırılması Teorem: Paydası çarpanlara ayrılmış herhangi bir uygun rasyonel kesir: ayrıca, basit kesirlerin toplamı şeklinde benzersiz bir şekilde temsil edilebilir: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx)

Rasyonel bir kesirin basit kesirlere ayrıştırılması Teoremin formülasyonunu aşağıdaki örnekleri kullanarak açıklayalım: A, B, C, D... belirsiz katsayılarını bulmak için iki yöntem kullanılır: katsayıları karşılaştırma yöntemi ve yöntem. bir değişkenin kısmi değerleri. Bir örnek kullanarak ilk yönteme bakalım. 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x

Rasyonel bir kesrin basit kesirlere ayrıştırılması Kesri basit kesirlerin toplamı olarak gösterin: En basit kesirleri ortak bir paydaya getirelim Ortaya çıkan kesirlerin paylarını ve orijinal kesirleri eşitleyin Katsayıları aynı kuvvetlere eşitleyin x)52)(1( 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52)(1()1)(()52(2 2 xxx x.CBxxx.A 33252 222 xx.CBx.Cx.Bx.AAx.Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

En basit kesirlerin integrali En basit rasyonel kesirlerin integrallerini bulalım: Bir örnek kullanarak tip 3 kesirlerin integraline bakalım. dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. A k

Basit kesirlerin integralidx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t 9 23 2 9 322 t dtt 9 9 2 3 2 2 t td 33 2 t arktgt 33 2 9 ln 2 32 C x arktgxx 3 1 3 2 102 ln

Basit kesirlerin integrali Yer değiştirme kullanan bu tür bir integral: iki integralin toplamına indirgenir: İlk integral, diferansiyel işaretinin altına t getirilerek hesaplanır. İkinci integral şu yineleme formülü kullanılarak hesaplanır: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk dt'de N dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt

Basit kesirlerin integrali a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t tarctg 2223)1)(13(2232 332 t t C t t tarctg 222)1 (4)1(

Rasyonel kesirlerin integrali için genel kural Kesir uygunsuzsa, bunu bir polinom ve uygun kesirin toplamı olarak gösterin. Uygun bir rasyonel kesirin paydasını çarpanlara ayırdıktan sonra, bunu belirlenmemiş katsayılara sahip basit kesirlerin toplamı olarak temsil edin. Katsayıları karşılaştırma yöntemiyle veya bir değişkenin kısmi değerleri yöntemiyle belirlenmemiş katsayıları bulun. Polinomu ve elde edilen basit kesirlerin toplamını entegre edin.

Örnek Kesri doğru forma koyalım. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx xx xx 23 2 2 2 48 52 5 xxx 5105 23 48 2 x

Örnek Bir uygun kesrin paydasını çarpanlara ayıralım Kesri basit kesirlerin toplamı olarak gösterelim xxx xx değişkeninin kısmi değerleri yöntemini kullanarak belirlenmemiş katsayıları bulalım 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2) )1(1 x C x B x A 2 2)1 ()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx

Örnek dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln

KONU: Rasyonel kesirlerin integrali.

Dikkat! Temel entegrasyon yöntemlerinden biri olan rasyonel kesirlerin integralini incelerken, kesin kanıtları gerçekleştirmek için karmaşık alandaki polinomları dikkate almak gerekir. Bu nedenle gerekli önceden çalış Karmaşık sayıların bazı özellikleri ve bunlarla ilgili işlemler.

Basit rasyonel kesirlerin integrali.

Eğer P(z) Ve Q(z) karmaşık alandaki polinomlar ise rasyonel kesirlerdir. Buna denir (23) formunun bir kısmına denir, eğer derece P(z) daha az derece Q(z) , Ve . Aksi takdirde -, eğer derece R bir dereceden az değil Q.

Herhangi bir uygunsuz kesir şu şekilde temsil edilebilir: ,

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

A R(z) – derecesi dereceden küçük olan polinom Q(z).

Dolayısıyla rasyonel kesirlerin entegrasyonu, polinomların, yani kuvvet fonksiyonlarının ve uygun kesirlerin entegrasyonuna iner, çünkü bu bir uygun kesirdir.

Tanım 5. En basit (veya temel) kesirler aşağıdaki kesir türleridir:

1) , 2) , 3) , 4) .

Nasıl entegre olduklarını öğrenelim.

3) (daha önce okuduk).

Teorem 5. Her uygun kesir, basit kesirlerin toplamı olarak temsil edilebilir (kanıt olmadan).

Sonuç 1. Eğer uygun bir rasyonel kesir ise ve polinomun kökleri arasında yalnızca basit gerçek kökler varsa, o zaman kesirin basit kesirlerin toplamına ayrıştırılmasında yalnızca 1. türden basit kesirler olacaktır:

Örnek 1.

Sonuç 2. Eğer uygun bir rasyonel kesir ise ve polinomun kökleri arasında yalnızca birden fazla gerçek kök varsa, o zaman kesirin basit kesirlerin toplamına ayrıştırılmasında yalnızca 1. ve 2. türlerin basit kesirleri olacaktır. :

Örnek 2.

Sonuç 3. Eğer uygun bir rasyonel kesir ise ve polinomun kökleri arasında yalnızca basit karmaşık eşlenik kökler varsa, o zaman kesirin basit kesirlerin toplamına ayrıştırılmasında yalnızca 3. türden basit kesirler olacaktır:

Örnek 3.

Sonuç 4. Eğer uygun bir rasyonel kesir ise ve polinomun kökleri arasında yalnızca birden fazla karmaşık eşlenik kök varsa, o zaman kesirin basit kesirlerin toplamına ayrıştırılmasında yalnızca 3. ve 4.'ün basit kesirleri olacaktır. türleri:

Yukarıdaki açılımlarda bilinmeyen katsayıları belirlemek için aşağıdaki şekilde ilerleyin. Bilinmeyen katsayılar içeren açılımın sol ve sağ tarafları çarpılır. İki polinomun eşitliği elde edilir. Buradan, gerekli katsayılar için denklemler aşağıdakiler kullanılarak elde edilir:

1. eşitlik X'in herhangi bir değeri için doğrudur (kısmi değer yöntemi). Bu durumda, herhangi bir m'nin bilinmeyen katsayıları bulmasına izin veren herhangi bir sayıda denklem elde edilir.

2. Katsayılar X'in aynı dereceleri için çakışır (belirsiz katsayılar yöntemi). Bu durumda, bilinmeyen katsayıların bulunduğu m - bilinmeyenli bir m - denklem sistemi elde edilir.

3. kombine yöntem.

Örnek 5. Bir kesri genişletin en basitine.

Çözüm:

A ve B katsayılarını bulalım.

Yöntem 1 - özel değer yöntemi:

Yöntem 2 – belirlenmemiş katsayılar yöntemi:

Cevap:

Rasyonel kesirlerin integrali.

Teorem 6. Herhangi bir rasyonel kesirin, paydasının sıfıra eşit olmadığı herhangi bir aralıktaki belirsiz integrali mevcuttur ve temel işlevler, yani rasyonel kesirler, logaritmalar ve arktanjantlar aracılığıyla ifade edilir.

Kanıt.

Şu formda rasyonel bir kesir hayal edelim: . Bu durumda son terim bir öz kesirdir ve Teorem 5'e göre basit kesirlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak gösterilebilir. Böylece rasyonel bir kesrin entegrasyonu bir polinomun entegrasyonuna indirgenir. S(X) ve ters türevleri gösterildiği gibi teoremde belirtilen forma sahip olan basit kesirler.

Yorum. Bu durumda asıl zorluk, paydanın çarpanlara ayrılması, yani tüm köklerinin aranmasıdır.

Örnek 1. İntegrali bulun

Burada aşağıdaki rasyonel kesirlerin integralinin alınmasına ilişkin üç örnek için ayrıntılı çözümler sunuyoruz:
, , .

Örnek 1

İntegrali hesaplayın:
.

Çözüm

Burada integral işareti rasyonel bir fonksiyondur, çünkü integral polinomların bir kesridir. Payda polinom derecesi ( 3 ) pay polinomunun derecesinden küçüktür ( 4 ). Bu nedenle öncelikle kesirin tamamını seçmeniz gerekir.

1. Kesrin tamamını seçelim. x'i böl 4 x tarafından 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:

Buradan
.

2. Kesrin paydasını çarpanlarına ayıralım. Bunu yapmak için kübik denklemi çözmeniz gerekir:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
x = yerine koyalım 1 :
.

1 . 1 :

Buradan
.
x'e böl -
.
İkinci dereceden bir denklemin çözümü.
Denklemin kökleri: , .
.

3. Daha sonra

.

Kesri en basit haline ayıralım.
.
Böylece şunu bulduk:

Bütünleşelim.

Cevap

İntegrali hesaplayın:
.

Çözüm

Örnek 2 Burada kesrin payı sıfır dereceli bir polinomdur ( 1 =x0 0 < 3 ). Payda üçüncü dereceden bir polinomdur. Çünkü

1. ise kesir doğrudur. Bunu basit kesirlere ayıralım.
.
Kesrin paydasını çarpanlarına ayıralım. Bunu yapmak için üçüncü derece denklemi çözmeniz gerekir: 3 En az bir tam kökü olduğunu varsayalım. O halde bu sayının böleni
1, 3, -1, -3 .
x = yerine koyalım 1 :
.

(x'siz üye). Yani kökün tamamı şu sayılardan biri olabilir: 1 Böylece bir kök x = bulduk . x'i böl 1 :

3 + 2 x - 3
.

x'te -
Bu yüzden, İkinci dereceden denklemin çözümü:.
X 2 + x + 3 = 0 Diskriminantı bulun: D =< 0 ise denklemin gerçek kökleri yoktur. Böylece paydanın çarpanlara ayrılmasını elde ettik:
.

2.
.
(x - 1)(x 2 + x + 3):
(2.1) .
x = yerine koyalım 1 . 1 = 0 ,
.

O zaman x- (2.1) yerine koyalım 0 :
x =;
.

1 = 3 A - C (2.1) hadi eşitleyelim 2 :
;
x için katsayılar;
.

3. Böylece şunu bulduk:
(2.2) .
0 = A + B

;
;
.

İkinci integrali hesaplamak için paydaki paydanın türevini seçip paydayı kareler toplamına indirgeriz. 2 .

.
I hesapla İkinci dereceden denklemin çözümü: Denklemden beri x gerçek kökleri yoktur, bu durumda x 2 + x + 3 > 0

. (2.2) :
.

Bütünleşelim.

Bu nedenle modül işareti ihmal edilebilir.

İntegrali hesaplayın:
.

Çözüm

teslim ediyoruz 3 Örnek 3 4 Burada integral işaretinin altında polinomların bir kısmı var. Bu nedenle integral rasyonel bir fonksiyondur. Paydaki polinomun derecesi eşittir 3 < 4 .

1. Kesirin paydasının polinomunun derecesi şuna eşittir:
.
Kesrin paydasını çarpanlarına ayıralım. Bunu yapmak için üçüncü derece denklemi çözmeniz gerekir: 2 En az bir tam kökü olduğunu varsayalım. O halde bu sayının böleni
1, 2, -1, -2 .
x = yerine koyalım -1 :
.

(x'siz üye). Yani kökün tamamı şu sayılardan biri olabilir: -1 . .:

3 + 2 x - 3
.

Çünkü
.
ise kesir doğrudur. Bu nedenle basit kesirlere ayrıştırılabilir. Ancak bunu yapmak için paydayı çarpanlara ayırmanız gerekir. 2 En az bir tam kökü olduğunu varsayalım. O halde bu sayının böleni
1, 2, -1, -2 .
x = yerine koyalım -1 :
.

Kesrin paydasını çarpanlarına ayıralım. Bunu yapmak için dördüncü derece denklemi çözmeniz gerekir: -1 (-1) = x + 1
.

Şimdi üçüncü derece denklemi çözmemiz gerekiyor: 2 + 2 = 0 Bu denklemin bir tamsayı köküne sahip olduğunu varsayarsak, o zaman bu sayının böleni olur
.

2. Böylece başka bir kök x = bulduk
.
. Önceki durumda olduğu gibi polinomu ile bölmek mümkün olabilir, ancak terimleri gruplandıracağız::
(3.1) .
x = yerine koyalım -1 Denklemden beri x 1 = 0 ,
.

gerçek kökleri olmadığında paydanın çarpanlara ayrılmasını elde ederiz: (3.1) :

;

.
x = yerine koyalım -1 Kesri en basit haline ayıralım. Şu formda bir genişletme arıyoruz: 1 = 0 :
;
; .

O zaman x- (3.1) yerine koyalım 0 :
Kesrin paydasından kurtuluruz, ile çarparız;
.

1 = 3 A - C (3.1) hadi eşitleyelim 3 :
;
(x + 1) 2 (x 2 + 2);
.

.
.

3. Böylece şunu bulduk:

.

Sonra x + Haydi farklılaşalım ve şunu hesaba katın: x +

0 = 2 Bir + 2 B + D

1 = B+C

Böylece basit kesirlere ayrıştırmayı bulduk:

Daha sonra parantezleri açın ve gruplayın

Sağdaki ve soldaki “x”in aynı kuvvetleri için değeri eşitliyoruz. Sonuç olarak üçlü bir sisteme ulaşıyoruz. doğrusal denklemler(SLAU) üç bilinmeyenli.

Denklem sistemlerinin nasıl çözüleceği sitedeki diğer makalelerde anlatılmaktadır. Son versiyonda aşağıdaki SLAE çözümünü alacaksınız
bir=4; B=-9/2; C=-7/2.
Kesirlerin basit olanlara genişletilmesinde sabitleri değiştiririz ve entegrasyonu gerçekleştiririz

Bu, örneği sonlandırıyor.

Örnek 16. Yine kesirli bir rasyonel fonksiyonun integralini bulmamız gerekiyor. Başlangıç olarak, kesrin paydasında yer alan kübik denklemi basit faktörlere ayıracağız.

Daha sonra kesri en basit formlarına ayırıyoruz.

Sağ tarafı ortak bir paydaya indirgeyip paydaki parantezleri açıyoruz.

Değişkenin aynı dereceleri için katsayıları eşitliyoruz. Üç bilinmeyenle tekrar SLAE'ye gelelim

Hadi değiştirelim A, B, C değerleri genişlemeye girin ve integrali hesaplayın

İlk iki terim logaritmayı verir, sonuncusunu bulmak da kolaydır.

Örnek 17. Kesirli rasyonel fonksiyonun paydasında küp farkı var. Kısaltılmış çarpma formüllerini kullanarak bunu iki basit faktöre ayırıyoruz

Daha sonra elde edilen kesirli fonksiyonu basit kesirlerin toplamına yazıyoruz ve bunları ortak bir paydaya indiriyoruz.

Payda aşağıdaki ifadeyi elde ederiz.

Buradan 3 bilinmeyeni hesaplamak için bir doğrusal denklem sistemi oluşturuyoruz

bir=1/3; B=-1/3; C=1/3.
A, B, C'yi formülde yerine koyuyoruz ve integral alıyoruz. Sonuç olarak şu cevaba ulaşıyoruz:

Burada ikinci integralin payı logaritmaya dönüştürülür ve integralin altındaki geri kalan arktanjantı verir.
İnternette rasyonel kesirlerin entegrasyonuyla ilgili pek çok benzer örnek var. Benzer örnekleri aşağıdaki malzemelerden bulabilirsiniz.