Metode de calcul a integralelor. II. Metode de bază de integrare. Integrale din binoame diferențiale

Definiţie. Metoda de integrare, în care o integrală dată este redusă la una sau mai multe integrale de tabel prin intermediul transformărilor identice ale integrandului (sau expresiei integrandului) și aplicând proprietățile integralei nedefinite integrare directă .

Adesea, în timpul integrării directe, sunt utilizate următoarele transformări diferențiale (operația de „intrare sub semnul diferențial”):

De exemplu. 1) ;

La calcularea acestor integrale, am folosit formulele 1 și 2 din tabelul de integrale, care este prezentat mai jos.

Tabelul integralelor nedefinite de bază.

1. Metoda de integrare prin substituție (înlocuire variabilă).

Metoda de integrare prin substituire presupune introducerea unei noi variabile de integrare. În acest caz, integrala dată este redusă la o nouă integrală, care este tabelară sau reductibilă la aceasta.

Această metodă de integrare se bazează pe următoarea teoremă:

Teorema. Fie reprezentată funcția f(x) sub forma: f(x)=g(j(x))×j¢(x), atunci dacă G(u) este o antiderivată pentru g(u), atunci G( j( x)) este antiderivată a lui g(j(x)). Adică există egalitate: .

De exemplu.

1. Metoda de integrare pe părți.

Integrarea pe părți constă în reprezentarea integrandul unei integrale ca produs a doi factori u și dv, apoi folosind formula de integrare pe părți.

Teorema Fie ca funcțiile u(x) și v(x) să fie diferențiabile, atunci formula este valabilă:

Deoarece u¢(x)dx=du, v¢(x)dx=dv, formula poate fi rescrisă ca:

De exemplu.

Formula de integrare prin părți poate fi utilizată de mai multe ori în timpul procesului de soluție.

De exemplu

De exemplu

Să trecem din partea dreaptă a egalității la stânga:

Câteva tipuri de integrale care sunt convenabile de calculat folosind metoda integrării prin părți:

1. Integrarea fracțiilor raționale.

Definiţie Raţional vom numi fracții de forma , unde P n (x), Q m (x) sunt polinoame de gradul al n-lea și, respectiv, al m-lea în x. Cele mai simple fracții raționale includ fracții de patru tipuri:

Unde A și a sunt numere reale, cea mai simplă fracție primul tip;

– fracție simplă doilea tip;

– fracție simplă treilea tip;

– fracție simplă patrulea tip.

Să luăm în considerare integrarea fracțiilor din primele trei tipuri.

3) Integrarea celei mai simple fracții din al treilea tip se realizează în două etape. Să ne uităm la procesul de integrare folosind un exemplu.

(selectăm derivata numitorului în numărător pentru introducerea ulterioară sub semnul diferenţial: (x 2 +2x+3)¢=2x+2)

Definiţie Se numesc fracții raționale corecta dacă gradul polinomului din numărător este mai mic decât gradul polinomului din numitor și greşit dacă gradul polinomului din numărător este mai mare sau egal cu gradul polinomului din numitor.

În cazul unei fracții raționale improprii, este posibilă izolarea întregii părți. Pentru a face acest lucru, polinomul de la numărător este împărțit cu restul la polinomul din numitor. Coeficientul rezultat va fi partea întreagă, iar restul va fi numărătorul noii fracții raționale propriu-zise. De exemplu, să selectăm întreaga parte: .

Astfel, integrarea fracțiilor raționale în ambele cazuri se reduce la integrarea unei fracții raționale propriu-zise, ​​care nu este întotdeauna cea mai simplă fracție rațională a unuia dintre cele patru tipuri.

Să considerăm un polinom Q(x). Fie numărul a rădăcina acestui polinom, atunci Q(x)=(x-a)Q 1 (x), unde Q 1 (x) este un polinom de grad 1 mai mic decât gradul Q(x). Numărul a poate fi o rădăcină a multiplicității k, apoi Q(x) = (x-a) până la Q 2 (x), unde Q 2 (x) este un polinom de gradul k mai mic decât gradul Q(x). În plus, polinomul Q(x), împreună cu rădăcinile reale, poate avea o rădăcină complexă a+bi, atunci numărul complex a-bi va fi de asemenea o rădăcină a lui Q(x). În acest caz, Q(x)=(x 2 +px+q)Q 3 (x), unde x 2 +px+q=(x-(a+bi))(x-(a-bi)). Dacă numerele complexe indicate sunt rădăcini ale multiplicității m, atunci Q(x)=(x 2 +px+q) m Q 4 (x).

Astfel, orice polinom Q(x) poate fi reprezentat ca:

Q(x)=(x-a 1) la 1 (x-a 2) la 2 ...(x-a n) k n (x 2 +p 1 x+q 1) m 1 (x 2 +p 2 x+ q 2) m 2 …(x 2 +p s x+q s) m s.

Teorema. Orice fracție rațională proprie poate fi reprezentată ca o sumă a celor mai simple fracții raționale de tipurile 1-4.

De exemplu. Să considerăm un algoritm pentru reprezentarea unei fracții raționale propriu-zise ca sumă a celor mai simple fracții raționale de tipurile 1-4.

Deoarece numitorii fracțiilor sunt egali, evident și numărătorii trebuie să fie egali, iar această egalitate este posibilă dacă coeficienții sunt egali pentru aceleași puteri ale lui x. Astfel, înlocuind valorile acestora în locul coeficienților nedeterminați A, B, C: .

De exemplu Găsiți integrala.

Integrandul este o fracție rațională improprie. După împărțirea numărătorului la numitorul cu restul obținem: .

Să descompunăm o fracție rațională proprie în cele mai simple fracții ale ei folosind metoda coeficienților nedeterminați:

Rezultă că Rezolvând sistemul de ecuații liniare rezultat, obținem Atunci , adică = ;

O vom găsi separat

Astfel, .

1. Integrarea funcţiilor trigonometrice.

1. Să fie necesar să găsim , unde R este o funcție

Atunci când găsiți astfel de integrale, este adesea util să folosiți substituția trigonometrică universală: . Cu ajutorul acestuia, puteți trece oricând de la integrala unei funcții trigonometrice la integrala unei funcții raționale:

Х=2arctgt, .

2. Dacă funcția R(sinx, cosx) este impară în raport cu sinx, adică R(-sinx, cosx)=- R(sinx, cosx), atunci folosiți substituția cosx=t;

3. Dacă funcția R(sinx, cosx) este impară față de cosx, adică R(sinx, -cosx)=- R(sinx, cosx), atunci folosiți substituția sinx=t;

4. Dacă funcția R(sinx, cosx) este pară față de sinx și cosx, adică R(-sinx, -cosx)=R(sinx, cosx), atunci folosiți substituția tgx=t; aceeasi substitutie se aplica si in cazul .

De exemplu.

De exemplu Găsiți integrala. Integrandul este par față de sinx, atunci folosim substituția tgx=t.

5. Pentru a găsi integrale ale formei, utilizați următoarele tehnici:

a) dacă n este un număr întreg pozitiv impar, atunci folosiți substituția sinx=t;

b) dacă m este un întreg pozitiv impar, atunci folosiți substituția сosx=t;

c) dacă m și n sunt numere întregi pare nenegative, atunci se folosesc formule de reducere de ordine; ; ;

d) dacă m+n este un întreg negativ par, atunci folosiți substituția tgx=t.

De exemplu. .

De exemplu.. ; sunt reduse la integrale ale funcțiilor trigonometrice folosind următoarele substituții:

a) pentru integrală, substituție x=a×sint;

b) pentru integrală, substituția x=a×tgt;

c) pentru integrală, substituție .

Cursul 12

1 . Integrare directă – calculul integralelor folosind un tabel de integrale simple, reguli de integrare și proprietăți ale integralelor nedefinite.

Exemplul 1. +CU .

Formula de trigonometrie utilizată: .

Exemplul 2.

aici se realizează o transformare evidentă a integrandului, iar în locul variabilei de integrare X expresie acceptată (a–bx), faţă de această variabilă se obţine o integrală tabelară. Această tehnică este uneori numită „ de conducere » sub semnul diferential al unei expresii.

Serios: .

2 . Metoda de înlocuire a variabilei . Metoda de înlocuire .

Lasă y=f(x), x X . Să introducem o nouă variabilă t , punând x=(t) , t T, Apoi y=f(x)=f((t)) ;dx=(t)dt Şi

După integrarea ultimei expresii, trebuie să mergeți la vechea variabilă ca rezultat.

Această metodă este utilizată atunci când integrandul este o funcție complexă.

Exemplu. Găsiți integrala : .

Soluţie.

1. Înlocuire variabilă: x=t/4 , Apoi dx=dt/4.

Înlocuind X Şi dx în integrala originală, obținem:

= .

2. Înlocuire: 4x = t , Atunci dx = dt/4 . Primim același răspuns.

3. Metoda de integrare „pe părți” .

Lasă între ele X sunt date două funcții diferențiabile continuu u(x) Şi v(x) .

Să notăm expresia pentru diferența produsului lor:

Să integrăm părțile stânga și dreaptă ale expresiei rezultate:

Aceasta ne oferă formula pentru integrarea pe părți:

Metoda de integrare pe părți este utilizată pentru o întreagă clasă de integrale, de exemplu, atunci când integrandul conține:

1) orice funcție care nu este în tabelul integralelor simple:

sau produsul său printr-un polinom P(x) :

, .

În acest caz, pentru u ia, respectiv, , etc., și pentru dv – expresie P(x)dx ., deci unul dintre antiderivate v poate fi ușor de definit: ,

(aici, la integrare, constanta arbitrară ar trebui să fie omisă);

2) produsul unui polinom printr-o funcție trigonometrică sau printr-o exponențială: .

În acest caz, pentru u ar trebui acceptat P(x) , și pentru dv - restul integrandului: exdx, sinxdx, etc.

Operația de integrare pe părți poate fi folosită de mai multe ori, ceea ce vă permite uneori să rezolvați problema.

Exemplul 1. Găsiți integrala .

Soluţie.

Să punem ln x = u , dx =dv (Aici P(x) =1 ).

Apoi du = d(ln x) =, v = =x - unul dintre originale.

Folosind formula de integrare prin părți,

obținem:

=xln x – =x ln x – =x ln x – x +C = x(ln x – 1 ) +C .

Exemplul 2.

Găsiți integrala .

Soluţie.

Lasă x =u (P(x) =x ), =dvdu = , v =.

Folosind formula de integrare prin părți, obținem:

=x sin x – = x sin x + cos x +C .

Exemplul 3. Găsiți integrala .

Soluţie.

Să punem x =u , e x dx =dv .

Apoi du =dx , v =ex .

=xe x–=xe x – e x= e x (x – 1) +CU.

Exemplul 4. Găsiți integrala .

Soluţie.

Să punem x 2 =u , e x dx =dv .

Apoi du =2xdx , v =e x .

Folosind formula de integrare prin părți, obținem:

=x 2 ∙e x –2 .

Să aplicăm din nou integrarea pe părți (vezi exemplul 3):

x 2 e x–2 = x 2 e x– 2(xe x– e x)+C=

= e x (x 2–2x+2) +C .

4.Metoda coeficientului incert

Folosit pentru a integra funcții raționale

unde și sunt polinoame, iar gradul numărătorului este mai mic decât gradul numitorului (fracția proprie), o fracție improprie poate fi redusă la suma unui anumit polinom și a unei fracții proprii prin împărțirea unui polinom la un polinom.

Printr-o teoremă din algebră, fiecare polinom de grad n cu coeficient de conducere egal cu unu, având rădăcini distincte reale x 1 ,x 2 , ..., x n , poate fi reprezentat astfel:

Q(x )=(x – x 1 )(x – x 2 )(x – x n ).

Apoi fracția potrivită poate fi descompusă în fracții mai simple și se poate scrie:

Unde A 1 ,A 2 , ...,A n – unele numere (coeficienți nedefiniti).

Reducerea părții drepte a expresiei la un numitor comun și apoi echivalarea coeficienților la aceleași puteri X la numaratorul laturilor stanga si dreapta se obtine un sistem de ecuatii pentru determinarea coeficientilor necunoscuti A 1,A 2, ...,A n .

După aceasta, integrarea funcției raționale se reduce la constatare n integrale de forma:

Exemplu. Găsiți integrala .

Soluţie. Integrandul este o fracție propriu-zisă, să o descompunem în fracții mai simple.

Numitorul are rădăcini reale, diferite: x 1= 0 ,x 2 =2 ,x 3= –2 . Prin urmare , x3–4x= x(x–2)(x+2 ) ,

4.1. METODE SIMPLE DE INTEGRARE 4.1.1. Conceptul de integrală nedefinită

În calculul diferențial s-a luat în considerare problema găsirii derivatei sau diferențialei față de o funcție dată y= F(x), adică era necesar să se găsească f(x)= F"(x) sau dF(x)= F"(x)dx= f(x)dx. Să punem problema inversă: să restabilim funcția diferențiată, adică cunoașterea derivatei f(x)(sau diferential f(x)dx), găsiți o astfel de funcție F(x), la F"(x)= f(x). Această sarcină se dovedește a fi mult mai dificilă decât sarcina de diferențiere. De exemplu, să fie cunoscută viteza de mișcare a unui punct, dar trebuie să găsim legea

mișcările ei S= Sf),şi Pentru a rezolva asa ceva

sunt introduse sarcini, concepte și acțiuni noi.

Definiţie. Funcție diferențiabilă F(x) numit antiderivat pentru functie f(x) pe (a; b), Dacă F"(x)= f(x) pe (a; b).

De exemplu, pentru f(x) = x 2 antiderivată deoarece

Pentru f(x) = cos x antiderivata va fi F(x) = sin x, deoarece F"(x) = (sin x)" = cos x, care coincide cu f(x).

Există întotdeauna o antiderivată pentru o funcție dată? f(x)? Da, dacă această funcție este continuă pe (a; b). În plus, există un număr nenumărat de primitive și diferă unele de altele doar printr-un termen constant. Într-adevăr, păcatul x+ 2, păcat x- 2, păcat x+ c- toate aceste funcții vor fi antiderivate pentru cos x(derivata unei valori constante este 0) - fig. 4.1.

Definiţie. Expresie F(x)+ C, Unde CU- o valoare constantă arbitrară care definește setul de antiderivate pentru funcție f(x), numit integrală nedefinităși este indicată prin simbol , adică , unde semnul este semnul indefinitului

integral, f(x)- sunat funcția integrand, f (x)dx- prin integrand, x- variabila de integrare.

Orez. 4.1. Exemplu de familie de curbe integrale

Definiţie. Operația de găsire a unei antiderivate dintr-o derivată sau diferențială dată se numește integrare această funcție.

Integrarea este acțiunea inversă a diferențierii; poate fi verificată prin diferențiere, iar diferențierea este unică, iar integrarea dă răspunsul până la o constantă. Oferirea unei valori constante CU valori specifice De-

Obținem diverse funcții

fiecare dintre acestea definește o curbă pe planul de coordonate numit integrală. Toate graficele curbelor integrale sunt deplasate paralel unul cu celălalt de-a lungul axei Oi. Prin urmare, o integrală nedefinită geometric este o familie de curbe integrale.

Deci, au fost introduse noi concepte (antiderivată și integrală nedefinită) și o nouă acțiune (integrare), dar cum mai găsiți antiderivată? Pentru a răspunde cu ușurință la această întrebare, trebuie mai întâi să compilați și să memorați un tabel de integrale nedefinite ale funcțiilor elementare de bază. Se obține prin inversarea formulelor de diferențiere corespunzătoare. De exemplu, dacă

De obicei, tabelul include unele integrale obținute după aplicarea celor mai simple metode de integrare. Aceste formule sunt marcate în tabel. 4.1 cu simbolul „*” și sunt dovedite în prezentarea ulterioară a materialului.

Tabelul 4.1. Tabelul integralelor nedefinite de bază

Formula 11 de la masă. 4.1 poate arăta ca
,

deoarece. O observație similară despre formă

catâri 13:

4.1.2. Proprietățile integralelor nedefinite

Să luăm în considerare cele mai simple proprietăți ale integralei nedefinite, care ne vor permite să integrăm nu numai funcțiile elementare de bază.

1. Derivata integralei nedefinite este egala cu integrandul:

2. Diferenţiala integralei nedefinite este egală cu integrandul:

3. Integrala nedefinită a diferenţialului unei funcţii este egală cu această funcţie adăugată la o constantă arbitrară:

Exemplul 1. Exemplul 2.

4. Factorul constant poate fi scos din semnul integral: Exemplul 3.

5. Integrala sumei sau diferenței a două funcții este egală cu suma sau diferența integralelor acestor funcții:

Exemplul 4.

Formula de integrare rămâne valabilă dacă variabila de integrare este o funcție: dacă Că

O funcție arbitrară care are o derivată continuă. Această proprietate se numește invarianta.

Exemplul 5. , De aceea

Compara cu

Nu există o metodă universală de integrare. Mai jos vom prezenta câteva metode care vă permit să calculați o integrală dată folosind proprietățile 1-5 și tabelul. 4.1.

4.1.3.Integrare directă

Această metodă constă în utilizarea directă a integralelor de tabel și a proprietăților 4 și 5. Exemple.

4.1.4.Metoda de descompunere

Această metodă constă în extinderea integrandului într-o combinație liniară de funcții cu integrale deja cunoscute.

Exemple.

4.1.5. Modalitate de abonament la semnul diferential

Pentru a reduce această integrală la una tabelară, este convenabil să se facă transformări diferențiale.

1. Subsumând semnul diferenţial al unei funcţii liniare

de aici
în special, dx = d(x + b),

diferenţialul nu se modifică dacă adaugi la variabilă

sau scădeți o valoare constantă. Dacă variabila crește de mai multe ori, atunci diferența este înmulțită cu valoarea sa reciprocă. Exemple cu soluții.

Să verificăm formulele 9*, 12* și 14* din tabel. 4.1, folosind metoda subscrierii la semnul diferențial:

Q.E.D.

2. Subsumând funcțiile elementare de bază sub semnul diferențial:

Comentariu. Formulele 15* și 16* pot fi verificate prin diferențiere (vezi proprietatea 1). De exemplu,

și aceasta este funcția integrand din formula 16*.

4.1.6. Metodă pentru separarea unui pătrat perfect de un trinom pătratic

La integrarea expresiilor ca sau

separând un pătrat perfect de un trinom pătratic

toporul 2 + bx+ c este posibil să le reducă la 12*, 14*, 15* sau 16* tabelare (vezi Tabelul 4.1).

Deoarece în general această operațiune pare mai complicată decât este în realitate, ne vom limita la exemple.

Exemple.

1.

Soluţie. Aici extragem pătratul perfect din trinomul pătratic x 2 + 6x+ 9 = (x 2 + 6x+ 9) - 9 + 5 = (x+ 3) 2 - 4, iar apoi folosim metoda de subsumare a semnului diferenţial.

Folosind un raționament similar, putem calcula următoarele integrale:

2. 3.

În etapa finală a integrării, a fost utilizată formula 16*.

4.1.7. Metode de integrare de bază

Există două astfel de metode: metoda de modificare a unei variabile sau de substituție și integrarea pe părți.

Metoda de înlocuire a variabilei

Există două formule pentru schimbarea unei variabile într-o integrală nedefinită:

1) 2)

Aici, esența sunt funcțiile diferențiabile monotone

variabilelor lor.

Arta aplicării metodei constă în principal în alegerea funcțiilor astfel încât noile integrale să fie tabulare sau să se reducă la ele. Răspunsul final ar trebui să revină la vechea variabilă.

Rețineți că substituția sub semnul diferențial este un caz special de înlocuire a variabilei.

Exemple.

Soluţie.Ar trebui să introduceți o nouă variabilă aicitastfel încât să scape de rădăcina pătrată. Să punemx+ 1 = t, Apoi x= t 2+ 1 și dx = 2 tdt:

Soluţie.Înlocuirea x- 2 per t, obținem un monom în numitor și după împărțirea termen cu termen integrala se reduce la cea tabelară a funcției de putere:

La trecerea la o variabilă x formule folosite:

Metoda de integrare pe părți

Diferența produsului a două funcții este determinată de formula

Integrând această egalitate (vezi proprietatea 3), găsim:

De aici Aceasta este formula integrare prin

piese.

Integrarea pe părți presupune reprezentarea subiectivă a integrandului în formă u . dV, si in acelasi timp integrala ar trebui să fie mai ușor decât În caz contrar aplicare

metoda nu are sens.

Deci, metoda integrării pe părți presupune capacitatea de a izola factorii de integrand uŞi dV luând în considerare cerințele de mai sus.

Prezentăm o serie de integrale tipice care pot fi găsite prin metoda integrării pe părți. 1. Integrale ale formei

Unde P(x)- polinom; k- constantă. În acest caz u= P(x) și dV- toți ceilalți factori.

Exemplul 1.

2.Integrale de tip

Aici punem alți factori.

Exemplul 2.

Exemplul 3.
Exemplul 4.

Orice rezultat poate fi verificat prin diferențiere. De exemplu, în acest caz

Rezultatul este corect.

3.Integrale ale formei

unde a, b- const. Pentru u ar trebui să ia e ax , păcat bx sau cos bx.

Exemplul 5.

De aici ajungem Exemplul 6.

De aici

Exemplul 7.
Exemplul 8.

Soluţie.Aici trebuie să faceți mai întâi o schimbare a variabilei și apoi să integrați pe părți:

Exemplul 9.
Exemplul 10.

Soluţie. Această integrală poate fi găsită cu succes egal fie prin înlocuirea variabilei 1 + x 2 = t 2, fie prin integrarea prin părți:

Munca independentă

Efectuați integrarea directă (1-10).

Aplicați metode simple de integrare (11-46).

Efectuați integrarea folosind metode de schimbare a variabilei și integrare prin părți (47-74).

Integrarea directă este înțeleasă ca o metodă de integrare în care o integrală dată este redusă la una sau mai multe integrale de tabel prin transformări identice ale integrandului și aplicarea proprietăților integralei nedefinite.

Exemplul 1. Găsi.

 Împărțind numărătorul la numitor, obținem:

=
.

Rețineți că nu este nevoie să puneți o constantă arbitrară după fiecare termen, deoarece suma lor este și o constantă arbitrară, pe care o scriem la sfârșit.

Exemplul 2. Găsi
.

 Transformăm integrandul astfel:

.

Aplicând integrala tabelului 1, obținem:

.

Exemplul 3.

Exemplul 4.

Exemplul 5.

=
.

În unele cazuri, găsirea integralelor este simplificată prin utilizarea tehnicilor artificiale.

Exemplul 6. Găsi
.

 Înmulțiți integrantul cu
găsim

=
.

Exemplul 7.

Exemplul 8 .

2. Integrarea prin schimbarea metodei variabilei

Nu este întotdeauna posibil să se calculeze o integrală dată prin integrare directă și, uneori, aceasta este asociată cu mari dificultăți. În aceste cazuri, se folosesc alte tehnici. Una dintre cele mai eficiente este metoda de înlocuire variabilă. Esența sa constă în faptul că prin introducerea unei noi variabile de integrare este posibilă reducerea unei integrale date la una nouă, care este relativ ușor de luat direct. Există două variante ale acestei metode.

a) Metoda de subsumare a unei funcţii sub semnul diferenţial

Prin definiţia diferenţialului funcţiei
.

Tranziția în această egalitate de la stânga la dreapta se numește „rezumarea factorului”
sub semnul diferenţial”.

Teorema privind invarianța formulelor de integrare

Orice formulă de integrare își păstrează forma atunci când înlocuiește variabila independentă cu orice funcție diferențiabilă de la aceasta, adică dacă

, atunci
,

Unde
- orice functie diferentiabila a x. Valorile sale trebuie să aparțină intervalului în care funcția definit si continuu.

Dovada:

Din ce
, ar trebui
. Să luăm acum funcția
. Pentru diferenta sa, datorita proprietatii de invarianta a formei primei diferentiale a functiei , avem

Să fie necesar să se calculeze integrala
. Să presupunem că există o funcție diferențiabilă
și funcția
astfel încât integrand
poate fi scris ca

aceste. calcul integral
se reduce la calcularea integralei
și înlocuirea ulterioară
.

Exemplul 1. .

Exemplul 2. .

Exemplul 3 . .

Exemplul 4 . .

Exemplul 5 .
.

Exemplul 6 . .

Exemplul 7 . .

Exemplul 8. .

Exemplul 9. .

Exemplul 10 . .

Exemplul 11.

Exemplul 12 . FindI=
(0).

 Să reprezentăm funcția integrand sub forma:

Prin urmare,

Astfel,
.

Exemplul 12a. Găsi eu=
,
.

 Din moment ce
,

prin urmare eu= . 

Exemplul 13. Găsi
(0).

 Pentru a reduce această integrală la una tabelară, împărțim numărătorul și numitorul integrandului la :

.

Am plasat un factor constant sub semnul diferenţial. Considerând-o ca o nouă variabilă, obținem:

.

Să calculăm și integrala, care este importantă atunci când integrăm funcții iraționale.

Exemplul 14. FindI=
( X O,O0).

 Avem
.

Aşa,

( X O,O0).

Exemplele prezentate ilustrează importanța capacității de a prezenta un dat

expresie diferentiala
la minte
, Unde există o funcție de la xŞi g– o funcție mai simplu de integrat decât f.

În aceste exemple, transformări diferențiale precum

Unde b– valoare constantă

,

,

,

folosit adesea la găsirea integralelor.

În tabelul integralelor de bază s-a presupus că x există o variabilă independentă. Cu toate acestea, acest tabel, după cum reiese din cele de mai sus, își păstrează pe deplin sensul dacă este sub xînţelege orice funcţie continuu diferenţiabilă a unei variabile independente. Să generalizăm o serie de formule din tabelul integralelor de bază.

3a.
.

4.
.

5.
=
.

6.
=
.

7.
=
.

8.
( X O,O0).

9.
(O0).

Operația de rezumare a unei funcții
sub semnul diferenţial este echivalent cu schimbarea variabilei X la o nouă variabilă
. Următoarele exemple ilustrează acest punct.

Exemplul 15. FindI=
.

 Să înlocuim variabila folosind formula
, Atunci
, adică
șiI=
.

Înlocuirea u expresia lui
, în sfârșit obținem

I=
.

Transformarea efectuată echivalează cu subsumarea semnului diferențial al funcției
.

Exemplul 16. Găsi
.

 Să punem
, Atunci
, unde
. Prin urmare,

Exemplul 17. Găsi
.

 Să
, Atunci
, sau
. Prin urmare,

În concluzie, observăm că moduri diferite de integrare a aceleiași funcții conduc uneori la funcții care sunt diferite în aparență. Această aparentă contradicție poate fi eliminată dacă arătăm că diferența dintre funcțiile obținute este o valoare constantă (vezi teorema demonstrată în Lecția 1).

Exemple:

Rezultatele diferă într-o cantitate constantă, ceea ce înseamnă că ambele răspunsuri sunt corecte.

b) I=
.

Este ușor de verificat că oricare dintre răspunsuri diferă unul de celălalt doar printr-o cantitate constantă.

b) Metoda de substituire (metoda de introducere a unei noi variabile)

Fie integrala
(
- continuu) nu poate fi transformat direct în formă tabelară. Să facem o înlocuire
, Unde
- o funcție care are o derivată continuă. Apoi
,
Şi

. (3)

Formula (3) se numește modificarea formulei variabilei în integrala nedefinită.

Cum să alegi înlocuirea potrivită? Acest lucru se realizează prin practică în integrare. Dar este posibil să se stabilească o serie de reguli generale și unele tehnici pentru cazuri speciale de integrare.

Regula pentru integrarea prin substituire este următoarea.

Determinați la ce integrală de tabel este redusă această integrală (după transformarea mai întâi a integrandului, dacă este necesar).

Determinați ce parte a integrandului să înlocuiți cu o nouă variabilă și notați această înlocuire.

Găsiți diferențele ambelor părți ale înregistrării și exprimați diferența vechii variabile (sau o expresie care conține această diferență) în termeni de diferența noii variabile.

Faceți o înlocuire sub integrală.

Găsiți integrala rezultată.

Se face o înlocuire inversă, de ex. treceți la vechea variabilă.

Să ilustrăm regula cu exemple.

Exemplul 18. Găsi
.

Exemplul 19. Găsi
.

=
.

Găsim această integrală prin însumare
sub semnul diferential.

=.

Exemplul 20. Găsi
(
).

, adică
, sau
. De aici
, adică
.

Astfel avem
. Înlocuirea exprimarea sa prin x, găsim în sfârșit integrala, care joacă un rol important în integrarea funcțiilor iraționale:
(
).

Elevii au poreclit această integrală „logaritmul lung”.

Uneori, în loc de înlocuire
este mai bine să se efectueze o înlocuire variabilă a formularului
.

Exemplul 21. Găsi
.

Exemplul 22. Găsi
.

 Să folosim înlocuirea
. Apoi
,
,
.

Prin urmare, .

Într-un număr de cazuri, găsirea integralei se bazează pe utilizarea metodelor de integrare directă și subsumarea funcțiilor sub semnul diferențial în același timp (vezi exemplul 12).

Să ilustrăm această abordare combinată a calculării integralei, care joacă un rol important în integrarea funcțiilor trigonometrice.

Exemplul 23. Găsi
.

=
.

Aşa,
.

O altă abordare pentru calcularea acestei integrale:

.

Exemplul 24. Găsi
.

Rețineți că alegerea unei înlocuiri de succes este de obicei dificilă. Pentru a le depăși, trebuie să stăpânești tehnica diferențierii și să ai o bună cunoaștere a integralelor de tabel.

Se numește o funcție F(x) diferențiabilă într-un interval dat X antiderivată a funcției f(x), sau integrala lui f(x), dacă pentru fiecare x ∈X este valabilă următoarea egalitate:

F " (x) = f(x). (8.1)

Găsirea tuturor antiderivatelor pentru o funcție dată se numește ea integrare. Funcție integrală nedefinită f(x) pe un interval dat X este mulțimea tuturor funcțiilor antiderivate pentru funcția f(x); denumire -

Dacă F(x) este o antiderivată pentru funcția f(x), atunci ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

unde C este o constantă arbitrară.

Tabelul integralelor

Direct din definiție obținem principalele proprietăți ale integralei nedefinite și o listă de integrale tabelare:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

Lista integralelor tabelare

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = arctan x + C

8. = arcsin x + C

10. = - ctg x + C

Înlocuire variabilă

Pentru a integra multe funcții, utilizați metoda de înlocuire a variabilei sau substituții, permițându-vă să reduceți integralele la formă tabelară.

Dacă funcția f(z) este continuă pe [α,β], funcția z =g(x) are o derivată continuă și α ≤ g(x) ≤ β, atunci

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

Mai mult, după integrarea din partea dreaptă, trebuie făcută înlocuirea z=g(x).

Pentru a dovedi, este suficient să scrieți integrala originală sub forma:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

De exemplu:

Metoda de integrare pe părți

Fie u = f(x) și v = g(x) funcții care au continuu . Apoi, conform lucrării,

d(uv))= udv + vdu sau udv = d(uv) - vdu.

Pentru expresia d(uv), antiderivatul va fi evident uv, deci formula este valabilă:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Această formulă exprimă regula integrare pe părți. Conduce integrarea expresiei udv=uv"dx la integrarea expresiei vdu=vu"dx.

De exemplu, doriți să găsiți ∫xcosx dx. Să punem u = x, dv = cosxdx, deci du=dx, v=sinx. Apoi

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Regula integrării pe părți are un domeniu de aplicare mai limitat decât înlocuirea variabilelor. Dar există clase întregi de integrale, de exemplu,

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax și altele, care sunt calculate precis folosind integrarea pe părți.

Integrală definită

Conceptul de integrală definită este introdus după cum urmează. Fie definită o funcție f(x) pe un interval. Să împărțim segmentul [a,b] în n părți prin puncte a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i =x i - x i-1. Se numește o sumă de forma f(ξ i)Δ x i suma integrală, iar limita sa la λ = maxΔx i → 0, dacă există și este finită, se numește integrală definită funcţiile f(x) ale o la b si este desemnata:

F(ξ i)Δx i (8.5).

Funcția f(x) în acest caz este numită integrabil pe interval, se numesc numerele a și b limitele inferioare și superioare ale integralei.

Pentru o integrală definită sunt valabile următoarele proprietăți:

4), (k = const, k∈R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

Ultima proprietate este numită teorema valorii medii.

Fie f(x) continuă pe . Apoi pe acest segment există o integrală nedefinită

∫f(x)dx = F(x) + C

si are loc formula Newton-Leibniz, legând integrala definită cu integrala nedefinită:

F(b) - F(a). (8,6)

Interpretare geometrică: integrala definită este aria unui trapez curbiliniu delimitată de sus de curba y=f(x), drepte x = a și x = b și un segment al axei Bou.

Integrale improprii

Se numesc integralele cu limite infinite și integralele funcțiilor discontinue (nemărginite). nu a ta. Integrale improprii de primul fel - Acestea sunt integrale pe un interval infinit, definite după cum urmează:

(8.7)

Dacă această limită există și este finită, atunci se numește integrala improprie convergentă a lui f(x) pe intervalul [a,+ ∞), și se numește funcția f(x). integrabil pe un interval infinit[a,+ ∞). În caz contrar, se spune că integrala este nu există sau diverge.

Integrale improprii pe intervalele (-∞,b] și (-∞, + ∞) sunt definite în mod similar:

Să definim conceptul de integrală a unei funcții nemărginite. Dacă f(x) este continuă pentru toate valorile x segmentul , cu excepția punctului c, la care f(x) are o discontinuitate infinită, atunci integrala improprie a celui de-al doilea fel de f(x) variind de la a la b suma se numeste:

dacă aceste limite există și sunt finite. Desemnare:

Exemple de calcule integrale

Exemplul 3.30. Calculați ∫dx/(x+2).

Soluţie. Să notăm t = x+2, atunci dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

Exemplul 3.31. Găsiți ∫ tgxdx.

Soluţie.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Fie t=cosx, atunci ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Soluţie.

Exemplu3.33. Găsiți .

Soluţie. = .

Exemplu3.34 . Găsiți ∫arctgxdx.

Soluţie. Să integrăm pe părți. Să notăm u=arctgx, dv=dx. Atunci du = dx/(x 2 +1), v=x, de unde ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; deoarece
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Exemplu3.35 . Calculați ∫lnxdx.

Soluţie. Aplicând formula de integrare prin părți, obținem:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Atunci ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Exemplu3.36 . Calculați ∫e x sinxdx.

Soluţie. Să notăm u = e x, dv = sinxdx, apoi du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. De asemenea, integrăm integrala ∫e x cosxdx prin părți: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Avem:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Am obținut relația ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, din care 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Exemplu 3.37. Calculați J = ∫cos(lnx)dx/x.

Soluţie. Deoarece dx/x = dlnx, atunci J= ∫cos(lnx)d(lnx). Înlocuind lnx prin t, ajungem la integrala tabelului J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Exemplu 3.38 . Calculați J = .

Soluţie. Considerând că = d(lnx), înlocuim lnx = t. Atunci J = .

Exemplu 3.39 . Calculați integrala J = .

Soluţie. Avem: . Prin urmare =
=
=.

introdus astfel: sqrt(tan(x/2)).