Интегрирование дробно рациональных функций. Интегрирование рациональных функций
2.,
5.
,
3.
,
6.
.
В интегралах 1-3 качествеu принимают. Тогда, послеn -кратного применения формулы (19) придем к одному из табличных интегралов
,
,
.
В интегралах 4-6 при дифференцировании
упроститься трансцендентный множитель
,
или
,
который следует принять заu
.
Вычислить следующие интегралы.
Пример 7.
Пример 8.
Приведение интегралов к самому себе
Если подынтегральная функция
имеет
вид:
,
,
и так далее,
то после двукратного интегрирования по частям получим выражение, содержащее исходный интеграл :
,
где
- некоторая постоянная.
Разрешая полученное уравнение относительно , получим формулу для вычисления исходного интеграла:
.
Этот случай применения метода интегрирования по частям называется «приведение интеграла к самому себе ».
Пример 9.
Вычислить интеграл
.
В правой части стоит исходный интеграл . Перенеся его в левую часть, получим:
.
Пример 10.
Вычислить интеграл
.
4.5. Интегрирование простейших правильных рациональных дробей
Определение. Простейшими правильными дробями I , II и III типов называются следующие дроби:
I . ;
II
.
;
(
- целое положительное число);
III
.
;
(корни знаменателя комплексные, то
есть:
.
Рассмотрим интегралы от простейших дробей.
I
.
;
(20)
II . ; (21)
III
.
;
Преобразуем числитель дроби таким
образом, чтобы выделить в числителе
слагаемое
,
равное производной знаменателя.
Рассмотрим первый из двух полученных интегралов и сделаем в нем замену:
Во втором интеграле дополним знаменатель до полного квадрата:
Окончательно, интеграл от дроби третьего типа равен:
=
+
.
(22)
Таким образом, интеграл от простейших дробей I-го типа выражается через логарифмы,II–го типа – через рациональные функции,III-го типа – через логарифмы и арктангенсы.
4.6.Интегрирование дробно-рациональных функций
Одним из классов функций, которые имеют интеграл, выраженный через элементарные функции, является класс алгебраических рациональных функций, то есть функций, получающихся в результате конечного числа алгебраических операций над аргументом.
Всякая рациональная функция
может
быть представлена в виде отношения двух
многочленов
и
:
. (23)
Будем предполагать, что многочлены не имеют общих корней.
Дробь вида (23) называется правильной , если степень числителя меньше степени знаменателя, то есть,m < n . В противном случае –неправильной .
Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов), представим дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби:
, (24)
где
- многочлен,- правильная дробь, причем степень
многочлена
- не выше степени (n
-1).
Пример.
Так как интегрирование многочлена сводится к сумме табличных интегралов от степенной функции, то основная трудность при интегрировании рациональных дробей заключается в интегрировании правильных рациональных дробей.
В алгебре доказано, что всякая правильная
дробь
разлагается
на сумму рассмотренных вышепростейших
дробей, вид которых определяется корнями
знаменателя
.
Рассмотрим три частных случая. Здесь
и далее будем считать, что коэффициент
при старшей степени знаменателя
равен
единице=1,
то есть
многочлен приведенный
.
Случай 1.
Корни знаменателя, то есть,
корни
уравнения
=0,
действительны и различны. Тогда
знаменатель представим в виде произведения
линейных множителей:
а правильная дробь разлагается на простейшие дроби I-готипа:
, (26)
где
–
некоторые постоянные числа, которые
находятся методом неопределенных
коэффициентов.
Для этого необходимо:
1. Привести правую часть разложения (26) к общему знаменателю.
2. Приравнять коэффициенты при одинаковых
степенях тождественных многочленов,
стоящих в числителе левой и правой
частей. Получим систему линейных
уравнений для определения
.
3. Решить полученную систему и найти
неопределенные коэффициенты
.
Тогда интеграл дробно-рациональной функции (26) будет равен сумме интегралов от простейших дробей I-готипа, вычисляемых по формуле (20).
Пример.
Вычислить интеграл
.
Решение. Разложим знаменатель на множители, используя теорему Виета:
Тогда, подынтегральная функция разлагается на сумму простейших дробей:
.
х :
Запишем систему трех уравнений для
нахождения
х
в левой и
правой частях:
.
Укажем более простой способ нахождения неопределенных коэффициентов, называемый методом частных значений .
Полагая в равенстве (27)
получим
,
откуда
.
Полагая
получим
.
Наконец, полагая
получим
.
.
Случай 2.
Корня знаменателя
действительны,но среди них есть кратные (равные)
корни. Тогда знаменатель представим в
виде произведения линейных множителей,
входящих в произведение в той степени,
какова кратность соответствующего
корня:
где
.
Правильная дробь будет разлагаться сумму дробейI–го иII-го типов. Пусть, например,- корень знаменателя кратностиk , а все остальные (n - k ) корней различны.
Тогда разложение будет иметь вид:
Аналогично, если существуют другие кратные корни. Для некратных корней в разложение (28) входят простейшие дроби первого типа.
Пример.
Вычислить интеграл
.
Решение. Представим дробь в виде суммы простейших дробей первого и второго рода с неопределенными коэффициентами:
.
Приведем правую часть к общему знаменателю и приравняем многочлены, стоящие в числителях левой и правой части:
В правой части приведем подобные при одинаковых степенях х :
Запишем систему четырех уравнений для
нахождения
и.
Для этого приравняем коэффициенты при
одинаковых степеняхх
в левой и
правой части
.
Случай 3.
Среди корней знаменателя
есть
комплексные однократные корни. То есть,
в разложение знаменателя входят множители
второй степени
,
не разложимые на действительные линейные
множители, причем они не повторяются.
Тогда в разложении дроби каждому такому множителю будет соответствовать простейшая дробь IIIтипа. Линейным множителям соответствуют простейшие дробиI–го иII-го типов.
Пример.
Вычислить интеграл
.
Решение.
.
.
.
Интегрирование рациональных функций Дробно – рациональная функция Простейшие рациональные дроби Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Интегрирование простейших дробей Общее правило интегрирования рациональных дробей
многочлен степени n. Дробно – рациональная функция Дробно – рациональной функцией называется функция, равная отношению двух многочленов: Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, то есть m < n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P
Дробно – рациональная функция Привести неправильную дробь к правильному виду: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 63 x 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x
Простейшие рациональные дроби Правильные рациональные дроби вида: Называются простейшими рациональными дробями типов. ax A); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,
Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Теорема: Всякую правильную рациональную дробь, знаменатель которой разложен на множители: можно представить, притом единственным образом в виде суммы простейших дробей: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx. M)(
Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Поясним формулировку теоремы на следующих примерах: Для нахождения неопределенных коэффициентов A, B, C, D … применяют два метода: метод сравнивания коэффициентов и метод частных значений переменной. Первый метод рассмотрим на примере. 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x
Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Представить дробь в виде суммы простейших дробей: Приведем простейшие дроби к общему знаменателю Приравняем числители получившейся и исходной дробей Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х)52)(1(332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx)52)(1()1)(()52(2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x
Интегрирование простейших дробей Найдем интегралы от простейших рациональных дробей: Интегрирование дроби 3 типа рассмотрим на примере. dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. A k
Интегрирование простейших дробейdx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t 9 23 2 9 322 t dtt 9 9 2 3 2 2 t td 33 2 t arctg. C t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln
Интегрирование простейших дробей Интеграл данного типа с помощью подстановки: приводится к сумме двух интегралов: Первый интеграл вычисляется методом внесения t под знак дифференциала. Второй интеграл вычисляется с помощью рекуррентной формулы: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk at dt N at dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt
Интегрирование простейших дробей a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t tarctg 2223)1)(13(2232 332 t t C t t tarctg 222)1(4)1(
Общее правило интегрирования рациональных дробей Если дробь неправильная, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби. Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами Найти неопределенные коэффициенты методом сравнения коэффициентов или методом частных значений переменной. Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.
Пример Приведем дробь к правильному виду. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx xx xx 23 2 2 2 48 52 5 xxx 5105 23 48 2 xx
Пример Разложим знаменатель правильной дроби на множители Представим дробь в виде суммы простейших дробей Найдем неопределенные коэффициенты методом частных значений переменной xxx xx 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2)1(1 x C x B x A 2 2)1()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx
Пример dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln
ТЕМА: Интегрирование рациональных дробей.
Внимание! При изучении одного из основных приемов интегрирования: интегрирования рациональных дробей – требуется для проведения строгих доказательств рассматривать многочлены в комплексной области. Поэтому необходимо изучить предварительно некоторые свойства комплексных чисел и операций над ними.
Интегрирование простейших рациональных дробей.
Если P (z ) и Q (z ) – многочлены в комплексной области, то - рациональная дробь. Она называется правильной , если степень P (z ) меньше степени Q (z ) , и неправильной , если степень Р не меньше степени Q .
Любую неправильную дробь можно представить в виде: ,
P(z) = Q(z) S(z) + R(z),
a R (z ) – многочлен, степень которого меньше степени Q (z ).
Таким образом, интегрирование рациональных дробей сводится к интегрированию многочленов, то есть степенных функций, и правильных дробей, так как является правильной дробью.
Определение 5. Простейшими (или элементарными) дробями называются дроби следующих видов:
1) , 2) , 3) , 4) .
Выясним, каким образом они интегрируются.
3) (изучен ранее).
Теорема 5. Всякую правильную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей (без доказательства).
Следствие 1. Если - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена будут только простые действительные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 1-го типа:
Пример 1.
Следствие 2. Если - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена будут только кратные действительные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 1-го и 2-го типов:
Пример 2.
Следствие 3. Если - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена будут только простые комплексно - сопряженные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 3-го типа:
Пример 3.
Следствие 4. Если - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена будут только кратные комплексно - сопряженные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 3-го и 4-го типов:
Для определения неизвестных коэффициентов в приведенных разложениях поступают следующим образом. Левую и правую часть разложения , содержащего неизвестные коэффициенты, умножают на Получается равенство двух многочленов. Из него получают уравнения на искомые коэффициенты, используя, что:
1. равенство справедливо при любых значениях Х (метод частных значений). В этом случае получается сколько угодно уравнений, любые m из которых позволяют найти неизвестные коэффициенты.
2. совпадают коэффициенты при одинаковых степенях Х (метод неопределенных коэффициентов). В этом случае получается система m – уравнений с m – неизвестными, из которых находят неизвестные коэффициенты.
3. комбинированный метод.
Пример 5. Разложить дробь на простейшие.
Решение:
Найдем коэффициенты А и В.
1 способ - метод частных значений:
2 способ – метод неопределенных коэффициентов:
Ответ:
Интегрирование рациональных дробей.
Теорема 6. Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором ее знаменатель не равен нулю, существует и выражается через элементарные функции, а именно рациональные дроби, логарифмы и арктангенсы.
Доказательство.
Представим рациональную дробь в виде: . При этом последнее слагаемое является правильной дробью, и по теореме 5 ее можно представить в виде линейной комбинации простейших дробей. Таким образом, интегрирование рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена S (x ) и простейших дробей, первообразные которых, как было показано, имеют вид, указанный в теореме.
Замечание. Основную трудность при этом составляет разложение знаменателя на множители, то есть поиск всех его корней.
Пример 1. Найти интеграл
Здесь мы приводим подробные решения трех примеров интегрирования следующих рациональных дробей:
,
,
.
Пример 1
Вычислить интеграл:
.
Решение
Здесь под знаком интеграла стоит рациональная функция, поскольку подынтегральное выражение является дробью из многочленов. Степень многочлена знаменателя (3 ) меньше степени многочлена числителя (4 ). Поэтому, вначале необходимо выделить целую часть дроби.
1.
Выделим целую часть дроби. Делим x 4
на x 3 - 6
x 2 + 11
x - 6
:
Отсюда
.
2.
Разложим знаменатель дроби на множители. Для этого нужно решить кубическое уравнение:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6
.
Подставим x = 1
:
.
1
.
Делим на x - 1
:
Отсюда
.
Решаем квадратное уравнение .
.
Корни уравнения: ,
.
Тогда
.
3.
Разложим дробь на простейшие.
.
Итак, мы нашли:
.
Интегрируем.
Ответ
Пример 2
Вычислить интеграл:
.
Решение
Здесь в числителе дроби - многочлен нулевой степени (1 = x 0 ). В знаменателе - многочлен третьей степени. Поскольку 0 < 3 , то дробь правильная. Разложим ее на простейшие дроби.
1.
Разложим знаменатель дроби на множители. Для этого нужно решить уравнение третьей степени:
.
Предположим, что оно имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 3
(члена без x
). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 3, -1, -3
.
Подставим x = 1
:
.
Итак, мы нашли один корень x = 1
.
Делим x 3 + 2
x - 3
на x - 1
:
Итак,
.
Решаем квадратное уравнение:
x 2 +
x + 3 = 0
.
Находим дискриминант: D = 1 2 - 4·3 = -11
.
Поскольку D < 0
,
то уравнение не имеет действительных корней. Таким образом, мы получили разложение знаменателя на множители:
.
2.
.
(x - 1)(x 2 +
x + 3)
:
(2.1)
.
Подставим x = 1
.
Тогда x - 1 = 0
,
.
Подставим в (2.1)
x = 0
:
1 = 3
A - C
;
.
Приравняем в (2.1)
коэффициенты при x 2
:
;
0 =
A + B
;
.
.
3.
Интегрируем.
(2.2)
.
Для вычисления второго интеграла, выделим в числителе производную знаменателя и приведем знаменатель к сумме квадратов.
;
;
.
Вычисляем I 2
.
.
Поскольку уравнение x 2 +
x + 3 = 0
не имеет действительных корней, то x 2 +
x + 3 > 0
.
Поэтому знак модуля можно опустить.
Поставляем в (2.2)
:
.
Ответ
Пример 3
Вычислить интеграл:
.
Решение
Здесь под знаком интеграла стоит дробь из многочленов. Поэтому подынтегральное выражение является рациональной функцией. Степень многочлена в числителе равна 3 . Степень многочлена знаменателя дроби равна 4 . Поскольку 3 < 4 , то дробь правильная. Поэтому ее можно раскладывать на простейшие дроби. Но для этого нужно разложить знаменатель на множители.
1.
Разложим знаменатель дроби на множители. Для этого нужно решить уравнение четвертой степени:
.
Предположим, что оно имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 2
(члена без x
). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 2, -1, -2
.
Подставим x = -1
:
.
Итак, мы нашли один корень x = -1
.
Делим на x - (-1)
= x + 1
:
Итак,
.
Теперь нужно решить уравнение третьей степени:
.
Если предположить, что это уравнение имеет целый корень, то он является делителем числа 2
(члена без x
). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 2, -1, -2
.
Подставим x = -1
:
.
Итак, мы нашли еще один корень x = -1
.
Можно было бы, как и в предыдущем случае, разделить многочлен на ,
но мы сгруппируем члены:
.
Поскольку уравнение x 2 + 2 = 0
не имеет действительных корней, то мы получили разложение знаменателя на множители:
.
2.
Разложим дробь на простейшие. Ищем разложение в виде:
.
Освобождаемся от знаменателя дроби, умножаем на (x + 1) 2 (x 2 + 2)
:
(3.1)
.
Подставим x = -1
.
Тогда x + 1 = 0
,
.
Продифференцируем (3.1)
:
;
.
Подставим x = -1
и учтем, что x + 1 = 0
:
;
;
.
Подставим в (3.1)
x = 0
:
0 = 2
A + 2
B + D
;
.
Приравняем в (3.1)
коэффициенты при x 3
:
;
1 =
B + C
;
.
Итак, мы нашли разложение на простейшие дроби:
.
3.
Интегрируем.
.
Контрольную работу на интегрирование функций, в том числе и рациональных дробей задают студентам 1, 2 курсов. Примеры интегралов в основном будут интересны для математиков, экономистов, статистов. Данные примеры задавали на контрольной работе в ЛНУ им. И. Франка. Условия следующих примеров "Найти интеграл" или "Вычислить интеграл", поэтому для экономии места и Вашего времени их не выписывали.
Пример 15. Мы пришли к интегрированию дробно-рациональных функций . Они занимают особое место среди интегралов, поскольку требуют много времени на вычисление и помогают преподавателям проверить Ваши знания не только по интегрированию. Для упрощения функции под интегралом добавим и вычтем в числителе выражение, которое позволит разбить функцию под интегралом на две простые
В результате один интеграл находим довольно быстро, во втором нужно дробь разложить на суму элементарных дробей
При сведении к общему знаменателю получим такие числительные
Далее раскрываем скобки и группируем
Приравниваем значение при одинаковых степенях "икс" справа и слева. В результате придем к системе трех линейных уравнений (СЛАУ) с тремя неизвестными.
Как решать системы уравнений описано в других статьях сайта. В конечном варианте Вы получите следующее решения СЛАУ
A=4; B=-9/2; C=-7/2.
Подставляем постоянные в разложение дроби на простейшие и выполняем интегрирование
На этом пример решен.
Пример 16.
Опять нужно найти интеграл от дробно-рациональной функции. Для начала кубическое уравнение, которое содержится в знаменателе дроби разложим на простые множители
Далее выполняем разложение дроби на простейшие
Сводим правую сторону к общему знаменателю и раскрываем скобки в числителе.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Снова придем к СЛАУ с тремя неизвестными
Подставляем значения А,В,С
в разложение и вычисляем интеграл
Первые два слагаемых дают логарифм, последний тоже легко найти.
Пример 17.
В знаменателе дробно-рациональной функции имеем разницу кубов. Ее по формулам сокращенного умножения раскладываем на два простых множителя
Далее полученную дробную функцию расписываем на сумму простых дробей и сводим их под общий знаменатель
В числителе получим следующее выражение.
Из него формируем систему линейных уравнений для вычисления 3 неизвестных
A=1/3; B=-1/3; C=1/3.
Подставляем А, В, С
в формулу и выполняем интегрирование. В результате придем к такому ответу
Здесь числитель второго интеграла превращали в логарифм, при этом остаток под интегралом дает арктангенс.
Подобных примеров на интегрирование рациональных дробей в интернете очень много. Похожие примеры Вы можете найти из приведенных ниже материалов.